河南省郑州市2016届高三数学下册第一次质量预测试题2

河南省郑州市2016年高三第一次质量预测文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．（2016郑州一测）设全集，集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴．2．（2016郑州一测）设（是虚数单位），则（）A． B． C． D．0【答案】C【解析】．3．（2016郑州一测）（）A． B． C． D．【答案】C【解析】．4．（2016郑州一测）函数在点处的切线斜率为（）A．0 B． C．1 D．【答案】C【解析】，∴．5．（2016郑州一测）已知函数，则在上的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】画出和的图象便知两图象有3个交点，∴在上有3个零．6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】．7．（2016郑州一测）设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵抛物线的焦点为．∴解得．8．（2016郑州一测）已知的三个顶点的坐标分别为，对于(含边界)内的任意一点，的最小值为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】．当，时，，不合题意当，时，，符合题意．9．（2016郑州一测）如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】四面体的直观图如图，∴．10．（2016郑州一测）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，当且仅当时，．时，∴．依题意，∴．11．（2016郑州一测）已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．12．（2016郑州一测）已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】D【解析】∵不等式恰有1个整数解，当时，则，不合题意；当时，则．依题意，∴，∴，故选D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2016郑州一测）函数的定义域是_______．【答案】【解析】由，解得．14．（2016郑州一测）抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为，那么直线的斜率的概率是．【答案】【解析】∵，∴．符合的为∴所求的概率．15．（2016郑州一测）的三个内角为，若，则________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴，．16．（2016郑州一测）已知向量、是平面内两个互相垂直的单位向量，若，则的最大值为________．【答案】【解析】设，．∵，∴，∴，∴，∴．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤．17．（2016郑州一测）已知等差数列满足：，前4项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解析】⑴由已知条件，解得．∴．（2）由⑴可得，∴．18．（2016郑州一测）为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通人中随机抽取理200人进行调查，当不处罚时，由80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：处罚金额（单位：元）5101520会闯红灯的人数5040200若用表中数据所得频率代替概率．（1）当处罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其它市民．现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？【解析】（1）设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件，则．∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低．（2）由题可知类市民和类市民各有40人，故分别从类市民和类市民各抽出两人，设从类市民抽出的两人分别为、，设从类市民抽出的两人分别为、．设从“类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件，则事件中首先抽出的事件有，,，，，，共6种．同理首先抽出、、的事件也各有6种．故事件共有种．设从“抽取4人中前两位均为类市民”为事件，则事件有，，，．∴．∴抽取4人中前两位均为类市民的概率是．19．（2016郑州一测）如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，．（1）若为中点，求证：∥平面；（2）若，求四棱锥的体积．【解析】（1）证明：设与交于点，连接，在矩形中，点为中点，∵为中点，∴∥，又∵平面，平面，∴∥平面．（2）取中点为，连接，平面平面，平面平面，平面，，∴平面，同理平面，∴的长即为四棱锥的高，在梯形中，∴四边形是平行四边形，，∴平面，又∵平面，∴，又，，∴平面，．注意到，∴，，∴．

20．（2016郑州一测）已知点，，曲线上任意一点到点的距离均是到点的距离的倍．（1）求曲线的方程；（2）已知，设直线交曲线于两点，直线交曲线于两点．当的斜率为时，求直线的方程．【解析】（1）设曲线上任意一点坐标为，由题意，，整理得，即为所求．（2）由题知，且两条直线均恒过点，设曲线的圆心为，则，线段的中点为，则直线：,设直线：，由，解得点，由圆的几何性质，，而，，，解之得，或，∴直线的方程为，或．21．（2016郑州一测）设函数，，．（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数与图象的交点个数．【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，函数的单调递减，当时，，函数的单调递增．综上，函数的单调增区间是，减区间是．（2）令，问题等价于求函数的零点个数，，当时，，函数为减函数，注意到，，∴有唯一零点． 当时，或时，，时，，∴函数在和单调递减，在单调递增，注意到，，∴有唯一零点．综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．

请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上．22．（2016郑州一测）如图，的平分线与和的外接圆分别相交于和，延长交过的三点的圆于点．（1）求证：；（2）若，，求的值．【解析】（1）证明：∵，，平分，∴，∴．（2）∵，，∴∽，即，由（1）知，，∴，∴．23．（2016郑州一测）已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的动点到曲线的距离的最大值．【解析】（1），即，可得，故的直角坐标方程为．（2）的直角坐标方程为，由（1）知曲线是以为圆心的圆，且圆心到直线的距离，∴动点到曲线的距离的最大值为．24．（2016郑州一测）已知函数（1）解不等式；（2）当时，函数的最小值总大于函数，试求实数的取值范围．【解析】∵，∴，或，或，解得，∴原不等式的解集为．（2）∵，当且仅当时“=”成立，∴，∴，∴,即为所求．沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔