广东省2024-2025学年高三数学上学期第一次月考试题含解析

PAGEPAGE12广东省2024-2025学年高三数学上学期第一次月考试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则=()A． B． C． D．2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A． B． C． D．3．“”是“函数在上单调递增”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某农学院探讨员发觉，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度（单位：度）与昼夜温差（单位：℃，）近似满意函数模型．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据：）()A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.15．函数的图像大致为()6．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数的取值范围是()A． B．(-5，-4)C． D．7．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是()A． B．C． D．8．若，，则()A． B．C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．已知，且，则()A． B．C． D．10．已知，若，则实数的值可以为()A． B． C．1 D．11．已知函数，则下列说法正确的是()A．有两个不同零点B．在R上单调递增C．若函数在处取得最小值，则D．，12．已知是同时满意下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有()A． B．C．若，则 D．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的微小值为．14．当时，函数的最小值为____．15．已知为定义在R上的奇函数，且，当时，，则=.16．在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解．例如：曲线在处的切线方程为，且，若已知，则，当时等号成立，所以的最小值为3．已知函数，若数列满意，且，则数列的前10项和的最大值为；若数列满意，且，则数列的前100项和的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知等差数列中，(1)求；(2)设，的前项和为，证明：

18．（本小题满分12分）在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角的对边分别为，且满意____．(1)求；(2)若的面积为在边上，且，，求的值．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．19．（本小题满分12分）随着中国实施制造强国战略以来，中国制造渐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程限制．某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：(1)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取3件产品，记取自的产品件数为，求的分布列和数学期望；(2)该企业采纳混装的方式将全部的产品按200件一箱包装，质量指标在内的产品利润是5元，质量指标在之外的利润是3元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱产品的利润．

20．（本小题满分12分）在四棱锥中，为等边三角形，，，点为的中点．(1)求证：平面；(2)已知平面平面，求二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为4．(1)求的方程；(2)设随意过的直线交于，分别作在点处的切线，且两条切线相交于点，过作平行于的直线分别交于，求的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数在区间内有唯一极值点(1)求实数的取值范围；(2)证明：在区间内有唯一零点，且

数学参考答案一、单项选择题：1．C2．A3．A4．C5．D6．B7．D8．C二、多选题：9．AB10．ACD11．BCD12．ACD【详解】(1)由①，则由②，，，由③得，故A正确；(2)由(1)可知，故B错误；(3)由①知，，，，，即故C正确；(4)，则，由③可得，，，即，，即，；由(3)可知当，，，当，可得，，故D正确．故答案为：ACD．三、填空题：13． 14． 15． 16．70；630①易知，，所以曲线在处的切线方程为，结合图像易知，所以，所以，当且仅当时，等号成立；②曲线在处的切线为，因为，则令此切线过原点，解得或，所以曲线在处的切线方程为，结合图像易知，所以，当且仅当或时，等号成立，取，，即的前100项中有70项为3，30项为0时，等号成立．故答案为：70；630.四、解答题：17．【解析】(1)设等差数列的公差为，，所以，可得，两式相减可得：，所以，所以，可得：；由(1)知：，所以，，，原命题得证．18．【解析】(1)方案一：选条件①.由，可得，由正弦定理得，因为，所以，所以，故，又，于是，即，因为，所以方案二：选条件②．，由正弦定理得，即，，由余弦定理得又，所以(2)由题意知，得．①，即②联立①②解得而，由余弦定理得，故即的值为19．【解析】(1)解：样本中质量指标在的产品有40×10×0.015=6件，质量指标在的有40×10×0.01=4件，可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为0123所以期望(2)解：设质量指标在内有件，每箱产品的利润为元，则质量指标在外的有件，由题意知，因为，所以，所以20．【详解】(1)取的中点，连接为中点，，而平面，平面，平面，又为等边三角形，，，，，，平面，，而平面，平面，平面，又，平面，而平面，平面(2)依据条件，连接交于，连接，由对称性知，为中点，且，平面平面，且交于，平面，在中，，，，则，，又，，在正中，，.以O为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，所以，令，则，，令，则，，由图可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为21．【解析】(1)由题意，，，解得，，故椭圆为(2)由题意，，明显的斜率不为0，故设的方程为，，则，即，故，由题意可知不在轴上，即过两点的切线斜率存在，设过M点的切线方程为，与椭圆联立有整理得：，故,可得，即过点的切线方程为，即，同理可得过点的切线方程为,联立两切线方程，即相减可得，即，化简可得代入可得，故设的中点为，则，，故因为，，故，所以三点共线．又过平行于的直线分别交于易得～，取中点，依据三角形的性质有四点共线，结合椭圆的对称性有，当且仅当时取等号．故的取值范围是22．【解析】(1)，当时，，，①当时，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；②当时，明显在上递增，又因为，，所以在上有唯一零点，所以，；，，所以在上有唯一极值点，符合