初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习1.5 全称量词与存在量词（教师版）

1.5全称量词与存在量词【知识梳理】知识点一全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”知识点二含量词的命题的否定p¬p结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题【基础自测】1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是()A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3【答案】C2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．存在一条直线与已知直线不平行C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤bD．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立【答案】C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.3．下列命题中是假命题是（）A．∀x∈R，|x|+1＞0 B．∃x∈R，1＝2C．∃x∈R，|x|＜1 D．∀x∈N*，【答案】D【详解】因为∀x∈R，|x|≥0，所以∀x∈R，|x|+1＞0恒成立，真命题；取x＝1，满足，真命题；取x＝0.1，满足|x|＜1，真命题；取x＝1N*，不满足，假命题．故选：D．4．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0【答案】B【详解】命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.5．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是()A．a>－1B．a<－1C．a≥－1D．a≤－1【答案】B【详解】依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.【例题详解】一、全称量词命题与存在量词命题的辨析例1下列命题是全称量词命题的个数是（

）①任何实数都有平方根;②所有素数都是奇数;③有些一元二次方程无实数根;④三角形的内角和是．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据全称命题的定义即可判断答案.【详解】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，故选：D．跟踪训练1下列命题中，不是全称量词命题的是（

）A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数【答案】D【分析】根据全称量词命题和存在性量词的定义，逐一判断选项即可.【详解】A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题；B选项中，意思是所有的自然数都是正整数，它是全称量词命题；C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题；D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题.故选：D.二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使【答案】B【分析】根据全称量词以及存在量词命题的定义即可判断.【详解】“都是”，“必是”是全称量词，故AC错误，“至少”，“存在”是存在量词，故B，D是存在量词命题，存在，使得，不存在负数使得，故D是假命题，B是真命题．故选：B跟踪训练2下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（

）A．所有菱形的四条边都相等B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈NC．任意x∈R，x2+2x+1>0D．π是无理数【答案】A【分析】首先判断全称量词命题，再判断真假.【详解】选项A、C是全称量词命题，选项C，当时，，所以选项C是假命题，故选：A三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3(1)若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.【详解】命题“”为假命题，”是真命题，方程有实数根，则，解得，故选：A.(2)“，”是真命题，则a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意确定，根据全称命题的真假，可得，即可求得答案.【详解】由题意知，，故“，”是真命题，则，则，故选：A(3)已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得“，使”是真命题，再根据二次不等式恒成立满足的判别式关系求解即可.【详解】命题“，使”是假命题，命题“，使”是真命题，则判别式，解得.故选：C.跟踪训练3(1)已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由根的判别式列出不等关系，求出实数a的取值范围.【详解】“，方程有解”是真命题，故，解得：，故选：B(2)已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】分与两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】已知命题“，恒成立”是真命题.当时，则有恒成立，合乎题意；当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设①在上恒成立，则；

②在上恒成立，则；③在上恒成立，则；④在上恒成立，则.四、含有一个量词的命题的否定例4(1)命题“任意x∈[0，+∞)，x3+x≥0”的否定是（

）A．任意x∈(-∞，0)，x3+x<0B．任意x∈(-∞，0)，x3+x≥0C．存在x∈[0，+∞)，x3+x<0D．存在x∈[0，+∞)，x3+x≥0【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定即可判断.【详解】“任意x∈[0，+∞)”的否定为“存在x∈[0，+∞)”，“x3+x≥0”的否定为“x3+x<0”，因此原命题的否定为“存在x∈[0，+∞)，x3+x<0”.故选：C．(2)命题：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.【详解】命题：“，”为存在量词命题，该命题的否定为“，”.故选：B.跟踪训练4(1)命题，，则是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，分析即可得到答案．【详解】由题意，命题，，由全称命题的否定为存在命题，可得：为，，故选：D．(2)命题，则命题的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】命题，的否定是，故选：C(3)“对任意x∈R，若，则”的否定是________．【答案】存在，若，则【分析】根据含全称量词命题的否定直接求解.【详解】由含全称量词命题的否定可知，“对任意，若，则”的否定是：存在，若，则.故答案为：存在，若，则五、全称量词命题、存在量词命题的综合应用例5(1)已知命题“满足，使”，(=1\*romani)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围.(=2\*romanii)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围.【答案】(=1\*romani)或；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)先求出命题为真和假时的取值范围，由此可得命题都为假命题时的取值范围，进而即可求解；(=2\*romanii)记，由题意可得，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；【详解】(=1\*romani)命题“满足，使”，为真命题时，，令，则，所以，所以命题为假时，则或，命题“”，为真命题时，，解得或，所以命题为假时，则，又因为命题都为假命题时，，即，所以命题中至少一个为真时，实数的范围是或；(=2\*romanii)由(=1\*romani)可知：命题为真命题时，，记因为是的充分不必要条件，所以，当即，也即时，满足条件；当时，，解得；综上可知：实数的范围是(2)命题：任意，成立；命题：存在，+成立.(=1\*romani)若命题为假命题，求实数的取值范围；(=2\*romanii)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.【答案】(=1\*romani)；(=2\*romanii)或或【分析】(=1\*romani)由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；(=2\*romanii)求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.【详解】(=1\*romani)由q真：，得或，所以q假：；(=2\*romanii)p真：推出，由和有且只有一个为真命题，真假，或假真，或，或或.跟踪训练5(1)已知命题，命题.(=1\*romani)若命题为真命题，求实数的取值范围；(=2\*romanii)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【答案】(=1\*romani)；(=2\*romanii).【分析】(=1\*romani)写出命题的否定，由它为真命题求解；(=2\*romanii)由(=1\*romani)易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．【详解】解：(=1\*romani)根据题意，知当时，.，为真命题，.实数的取值范围是.(=2\*romanii)由(=1\*romani)知命题为真命题时，.命题为真命题时，，解得为真命题时，.，解得，即实数的取值范围为.(2)已知，命题，不等式恒成立；命题，成立.(=1\*romani)若为真命题，求实数的取值范围；(=2\*romanii)若命题、有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.【答案】(=1\*romani)；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)当时，求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，解之即可；(=2\*romanii)求出当命题为真命题时，实数的取值范围，分两种情况讨论：真假、假真，综合可得出实数的取值范围.【详解】(=1\*romani)解：当时，，若为真命题，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.(=2\*romanii)解：若为真命题，则，解得或.=1\*GB3①若真假，则，可得；=2\*GB3②若假真，则，可得或或.综上所述，实数的取值范围是.【课堂巩固】1．下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（

）A．是无理数 B．，使为偶数C．对任意，都有 D．所有菱形的四条边都相等【答案】D【解析】利用全称命题的定义及命题的真假即可判断结论，【详解】解：对于A，是特称命题；对于B，是特称命题，是假命题；对于C，是全称命题，而，所以是假命题；对于D，是全称命题，是真命题，故选：D2．在下列命题中，是真命题的是（

）A．B．C．D．已知，则对于任意的，都有【答案】B【分析】可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/【详解】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；选项B，，，故该选项正确；选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.故选：B.3．命题：“”为假命题，则的取值范围是（

）A．－4< B． C． D．【答案】A【分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题为假命题，即命题为真命题.首先，时，恒成立，符合题意；其次时，则且，即，综上可知，－4<故选：A4．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合二次函数的性质来求得的取值范围.【详解】依题意命题“，”为真命题，当时，成立，当时，成立，当时，函数开口向下，不恒成立.综上所述，.故选：B5．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.【详解】命题“”的否定为：“，”.因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.综上有故答案为：.6．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为_________.【答案】【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可.【详解】因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，因为集合，当时，集合，符合；当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以，综上所述：实数的取值范围为，故答案为：.7．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)，使；(3)，有.【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;对(2)举例说明不成立;对(3)举例说明成立.【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：，有．因为当时，，所以“，有”是假命题．（3）命题的否定：，使．因为当时，，所以“，使”是真命题．8．命题：“，”，命题：“，”，若，都为真命题时，求实数的取值范围．【答案】【分析】根据任意性、存在性的定义，结合二次函数的性质、一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】由，当时，二次函数单调递增，所以有，因为为真命题，所以有；因为为真命题，所以方程有实数根，因此有，或，因此要想，都为真命题，只有，或，解得，或，所以实数的取值范围为.9．已知全集，集合，集合．(1)若，求实数的范围；(2)若，，使得，求实数的范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）可先求出，即时的范围，即可求解；（2）先得到，再列出不等式，即可求解【详解】（1）若，则，当时，则，，当时，则，则不存在，综上，，，实数的范围为．（2），，使得，，且，则，，实数的范围为．10．已知命题“”为真命题，记实数m的取值为集合A．(1)求集合A；(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)实数a的取值范围为.【分析】(1)把给定命题转化为不等式恒成立，再利用判别式求解.(2)由列出不等关系，求解即可.【详解】（1）依题意，关于x的不等式恒成立，于是得，解得，所以实数的取值的集合.（2）∵是的必要不充分条件，∴.∴或，得，所以实数a的取值范围为.11．已知集合，，且.(1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；(2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据命题p为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围；（2）根据命题q为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围.【详解】（1）命题p：“，”是真命题，故，所以，解得，故m的取值范围是.（2）由于命题q为真命题，则，因为，所以，所以,当时，一定有，要想满足，则要满足，解得，故时，，故m的取值范围为.12．已知命题，为假命题．(1)求实数a的取值集合A；(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可；（2）根据题意先求得，再分情况求得的范围即可．【详解】（1）解：命题的否命题为，为真，且，解得．∴．（2）解：由解得，若“”是“”的必要不充分条件，则，∴当时，即，解得；当时，，解得，综上：或．【课时作业】1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（

）A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0B．∃x∈N，2x为偶数C．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数【答案】C【分析】根据全称量词命题的概念，结合命题的意义判定真假，从而做出判定.【详解】对A，是全称量词命题，但不是真命题(当时结论不成立），故A不正确；对B，是真命题(当时即为偶数)，但不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选：C.2．若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求实数a的取值范围.【详解】由题可知，，则有，因为，所以，因为，当且仅当即时等号成立，所以，故选:C.3．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求．【详解】因为命题“”为假命题，所以“”为真命题，所以，所以当时，，根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值，所以，故选：A.4．已知命题，则为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.【详解】含有量词的命题的否定步骤为：替换量词，否定结论.所以为.故选:C5．已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是（

）A．命题为“，”且为真命题B．命题为“，”且为假命题C．命题为“，”且为假命题D．命题为“，”且为真命题【答案】C【分析】根据含量词命题的否定形式可得到原命题，通过反例可说明原命题为假命题.【详解】命题的否定为特称命题，：，，当时，，为假命题，ABD错误，C正确.故选：C.6．（多选）命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】先求得原命题是真命题时的取值范围，再结合充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】依题意，命题“，”是真命题，所以对任意上恒成立，所以，其必要不充分条件是或.故选：CD7．（多选）若“，或”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据所给真命题、假命题成立的条件，再求出它们的交集即可得集合M满足的条件.【详解】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，可得，命题“，或”为真命题，则或，或或，显然，A，B，D选项中的区间为的子集．故选：ABD．8．已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.【答案】【分析】问题等价于有解，即或，解得答案.【详解】已知问题等价于有解，即或，解得.故答案为：9．已知，；，则p是q的______条件．（在充分不必要､必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）【答案】必要不充分【分析】将全称命题为真命题转化为不等式恒成立，利用充分必要条件判断即可求解【详解】因为，为真命题等价于不等式在上恒成立，当时，显然不成立；当时，，解得，综上，实数的取值范围为，所以，又因为，所以p是q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分.10．已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为______．【答案】【分析】由题可得，然后分类讨论根据集合的包含关系即得.【详解】由于命题，是真命题，所以,当时，，解得；当时，，解得，综上，m的取值范围是．故答案为：．11．命题“存在，使”的否定是____命题．(填“真”或“假”)

【答案】假【分析】根据命题之间的关系可知，原命题是真命题，故其否定为假命题.【详解】命题“存在，使”是真命题，如；所以其否定是假命题．故答案为：假12．已知命题，为假命题．(1)求实数a的取值集合A；(2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值集合．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用存在量词命题是假命题列出不等式，求解不等式作答.（2）根据给定条件，利用必要不充分条件的意义求解作