高中数学必修二 10.1随机事件与概率（精讲）

10.1随机事件与概率（精讲）

思维导图

对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，

定义人常用字母E表示

----

①试验可以在相同条件下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定

特征出现哪一个结果

-------------------------------------------------------------------------

样本点随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用3表示样本点

样本°全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用C表示样本空间

空间,如果一个随机试验有〃个可能结果。I,…，则称样本空

间。=｛。1，,,,,。"｝为有限样本空间

<一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间

的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Q的子集称为随机

随机事件_事件

---------一

“作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个

必然事件八样本点发生，所以Q总会发生，我们称Q为必然事件

------O---------------------------

空集。不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为。为

不可能事件—不可能事件

----------

含义：A发生导致B发生

包含X-------------------------

含义：A与B至少一个发生

并事件（和事件）✓--------------------------

--------------------<5A\JBukA+B

含义：A与B同时发生

交事件（积事件）Z一二「二----------

-----------------------AnB^iAB

含义：A与B不能同时发生

互斥（互不相容）乂一—

------QAHB=0

含义：A与B有且仅有一个发生

-互--为-对—■立/----N--n-B--=-二0-,-/-u-B--=--Q-

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A

随机事的概率用P(A)表示

件的概率

有限性：样本空间的样本点只有有限个

特征V---------------------------------

—《等可能性：每个样本点发生的可能性相等

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含”个样本点，

八。事件/包含其中的k个样本点，则定义事件a的概率

公式-"»(0)

随

机

事!；①若事件A发生，则事件B就不发生I/---------------

件八---------------------------------K对立事件的2个特征

K互斥的3个特征

与②若事件B发生，则事件A就不发生-----------------

区别-------------------

概

斥

互③事件A,B都不发生

率

件

冢

对

与总结：事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个

事

土

件互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立

联系八是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立

-------------------------------------

性质1对任意的事件A,都有P(A)》O

概性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,P(0)=O

率

的性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)

基

本性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1—P(B)

性

性质5如果AUB,那么P(A)<P(B)

质

性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ACB).

常见考法

考点一事件类型的判断

考点二确定样本空间

考点一事件类型的判断

[例1]（2021•全国•高一课时练习）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任

取3张卡片，则下列判断不正确的是（）

A.事件“都是红色卡片”是随机事件

B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件

C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件

D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件

【一隅三反】

1.（2021•全国•高一课时练习）下列事件为确定事件的有（）

（1）在一标准大气压下，2（TC的水结冰

（2）边长为。，b的长方形面积为助

（3）抛一个硬币，落地后正面朝上

（4）平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2021•全国•高一课时练习）下列事件中，不可能事件是（）

A.三角形内角和为180。

B.三角形中大边对大角，小边对小角

C.锐角三角形中两个内角和等于90°

D.三角形中任意两边之和大于第三边

3.(2021•全国•高一课时练习)下列试验能构成事件的是()

A.掷一次硬币B.标准大气压下，水烧至1OO°C

C.从100件产品中任取3件D.某人投篮5次，恰有3次投中

考点二确定样本空间

【例2】(2021•全国•高一课时练习)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.

(1)写出对应的样本空间；

(2)求这个实验的样本空间中样本点的个数；

(3)写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.

【一隅三反】

1.(2021•全国•高一课时练习)指出下列试验的样本空间和样本点个数：

(1)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d这4个球的袋中，任取1个球;

(2)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d这4个球的袋中，任取2个球.

2.(2021•全国•高一课时练习)指出下列试验的样本空间:

(1)某人射击一次命中的整环数；

考点三事件关系的判断

【例3】（2021•云南•峨山彝族自治县第一中学高二期中）某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶

的互斥不对立事件是（）

A.至少有一次中靶B.三次都不中靶

C.恰有两次中靶D.至少两次中靶

【一隅三反】

1（2021•安徽省涡阳第一中学）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件

是（）

A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球

C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球

2.（2021•四川省仁寿第一中学校北校区）从一批产品中取出三件产品，设人=”三件产品全不是次品"，B=

“三件产品全是次品"，C="三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（）

A.｛与8互斥且为对立事件B.6与C互斥且为对立事件

C./与。存在有包含关系D.4与。不是对立事件

3.（2021•浙江•宁波赫威斯肯特学校）从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对

立的事件（）

A.至少有一个黑球与都是黑球

B.至少有一个黑球与至少有一个白球

C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球

D.至少有一个黑球与都是白球

考点四事件的运算

【例4】（2021•全国•高一专题练习）抽查10件产品，设试验的样本空间为O,"至多有1件次品”，

6="至少有两件次品"，则（）

A.AQB

B.医/

c.in屏。

D.AC\B—<s,且4U6=a

【一隅三反】

1.（2021♦全国•高一课时练习）某人打靶时，连续射击两次，事件月=”至少有一次中靶”,6=“两次都

不中靶”，则（）

A.AQBB.医力

C.D.

2（2021・湖北•应城市第一高级中学高二月考）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设4

="两次都击中飞机"，B="两次都没击中飞机"，C="恰有一枚炮弹击中飞机"，D=“至少有一枚炮

弹击中飞机”，下列关系不正确的是（）

A.AQD

B.BCD=0

C.AUC=D

D.AUB=BUD

3.（2021•全国•高一课时练习）抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或

3”为事件B,则（）

A.AcB

B.A=3

C.A+8表示向上的点数是1或2或3

D.AB表示向上的点数是1或2或3

4.(2021•全国•高一课时练习)设4B,C表示三个随机事件，试将下列事件用4B,。表示出来.

(1)三个事件都发生：

(2)三个事件至少有一个发生；

(3)/发生，B,，不发生；

(4)48都发生，。不发生；

(5)46至少有一个发生，。不发生；

(6)4B,C中恰好有两个发生.

5.(2021•全国•高一课时练习)记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A,B,

C,D,指出下列事件的含义：

⑴4UBUC；

⑵Bnc；

⑶8UCUQ.

考点五古典概型

【例5】73.(2021•广东顺德•高二期中)某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、

乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检

测结果按[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分组,得到如图所示的频率分布直方图.

甲生产线产品段就数频率分布直方图乙生产线产品段量指数频率分布直方图

(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)若产品的质量指数在[8,10]内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件

产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生

产线生产的概率.

【一隅三反】

1.(2021•贵州•贵阳六中)2021年9月26日，中国国际大数据产业增会在用行，大会指出了交通对旅游

业的发展有着深刻的影响，并引起了相关部门的高度重视.现针对贵阳市区重要道路网中的20个交通路段，

依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如下图所示.(交通指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性

指数值，记为7,其范围为[0,10],分别有五个级别：Te[0,2),畅通；Te[2.4),基本畅通；TG[4,6),

轻度拥堵；7*=[6,8),中度拥堵；Te[8,10],严重拥堵)

(1)利用频率分布直方图估计贵阳市区这20个交通路段的交通指数的众数：

(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，再从这6个路段中任取3

个，求至少有2个路段为中度拥堵的概率.

2(2021•广东•仲元中学开学考试)某汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开

始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌

汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中的参数a,估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的众数、

平均数;

(2)采取分层抽样的方式从［5,6),［6,7)两组中共抽取了6人，现从这6人中随机抽2人，求这2人来自不

同组的概率.

3.(2021•广东•广州市协和中学)某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的

大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按

年龄将这120名群众分成5组:第1组［20,30),第2组［30,40),第3组［40,50),第4组［50,60),第5组［60,70］,

得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求图中R的值；

(2)估算这120名群众的年龄的中位数(结果精确到0.1)；

(3)已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有

一名女性的概率.

考点六概率的性质

【例6-1】(2021•山西怀仁•高一期末)若随机事件A,8互斥，A,8发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,

P(B)=4«-5,则实数“的取值范围是

A.(1,2)B.律斗54

I).4,3

【例6-2】（2021•全国•高一课时练习）在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物

消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为木.那么以下理解正确的是（）

A.某顾客抽奖10次，一定能中奖1次

B.某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖

C.某顾客消费210元，一定不能中奖

D.某顾客消费1000元，至少能中奖1次

【一隅三反】

1.（2021•安徽省涡阳第一中学）下列说法正确的是（