高中数学-反证法教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析

本课时是人民教育出版社B版教材选修2-2一第二章推理与证明的内容，

新课标下高中数学反证法是一种实用有效的数学证明方法，也体现了一种重

要的数学思想，反证法的独特的思维方法对提高学生创造性分析问题和解决问题

的思维素质有重要意义

本课是人教B版数学选修2—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间

接证明”第三课时的内容，是反证法部分。

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的

思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本

功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、

归纳，并对后继学习起到引领的作用。

证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法

和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法

是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，

本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建

立应用反证法的感觉。

教材分析

1、教材内容分析：

本课是人教B版数学选修2—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与

间接证明”第三课时的内容。

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的

思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本

功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、

归纳，并对后继学习起到引领的作用。

证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法

和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法

是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，

本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建

立应用反证法的感觉。

2、教学目标

知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培

养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：(1)在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动

充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相

互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活

中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会

使问题出现转机。

(2)通过直观感知一一观察一一操作确认的认识方法理并

掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行

的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定

定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能

力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，

在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信

心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

3、教学重点与难点

重点：1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

学情分析

一、学情分析

本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数

学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向

思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。

所教学生是理科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。

但由于学生对数的了解不多，研究不够,所以例1有困难。例2是一个数列题目，

由于学生对纯代数知识分析能力较弱，所以解决这个问题还是困难重重。本来还

设计了一个立体几何的证明，但合作探究教学时间有限只能舍弃。

二、知识准备

在初中，学生已掌握了反证法的基本内容。进入高中后，在必修一第二章已经学会了命

题之间的逻辑关系，。本节课之前，分组预习了反证法的定义等相关知识，复习了命题的否

定和无理数等相关知识。

但是，由于反证法的逻辑关系和矛盾冲突的类型比较复杂的，对于一些程度稍差的学生

来说，归纳反证法的矛盾有一定的困难。

三、课外准备

1、复习命题的否定和无理数等相关知识。

2、在练习本上练习初中一些反证法的简单习题。

四、学生的学习困难度

85%以上的学生能够轻松参与教学内容，完成各项学习任务。基础稍差的学生对于事函数奇

偶性证明有一定困难。

一、教材内容分析：

本课是人教B版数学选修2—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与

间接证明”第三课时的内容，是反证法部分。

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的

思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本

功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、

归纳，并对后继学习起到引领的作用。

证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法

和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法

是反证法，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思

维过程，建立应用反证法的感觉。

二、学生学习情况分析：

本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数

学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，

但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。

所教学生是理科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。

但由于学生对数的了解不多，研究不够，所以例1有困难。网产于:，工割二

数列知识的证明，由于学生对数列知识也有遗忘，所以解决时?教广生正理科

重。n普通班

三、设计思想I

本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅淳4手段，通过一

提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基

本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎

推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的

概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式。

个性化设计

反证法的应用需要逆向思

维，这是学生学习的一个

难点

四、教学目标

知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培

养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：(1)在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动

充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相

互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活

中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会

使问题出现转机。

(2)通过直观感知一一观察一一操作确认的认识方法理并

掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行

的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定

定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能

力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，

在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信

心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点：1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

六、学法指导

通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路

方法，自己总结反证法证题的基本步骤。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判

断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个

互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A"，这就是逻辑思维中的

“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些

矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者

已经证明为正确的命题都是真的，所以''否定的结论”必为假.再根据“排中律”，

结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于

是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.

反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们

要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教

学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的

很好教学机会.

七【教学过程】

学前准备

课前活动设计

1、复习直接证明的两种基本方法综合法和分析法，无理数相关知识，命题的否

定等。为本节课反证法的引入，反证法定义及例题一的解决做准备。

2、在练习本上通过练习常见直接词语的否定和互为逆否命题的等价关系进一步

为新课打好基础。。

课堂活动准备

(-)情境导入：问题导学

引例一：设ai,a2,as,…,a?是由数字1,2,…，7任意排列的一个数列，求

证：乘积P=(a,-l)(a2-2)…(a「7)为偶数。

引例二道旁苦李：王戎七岁，常与诸小儿游。看道边李树多子折枝，诸

儿竞走取之，唯戎不动。

人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李。”取之信然。

法国数学家阿达玛曾说

过：“反证法的证法在于

表明，若肯定定理的假设

而否定其结论，就会导致

矛盾

学生课前有做练习和预

习哦！©

【设计意图】：通过这个问题引出直接证明的弊端。引起学生尝试用其它方

法的兴趣。

请将故事改写成证明题：

已知：

求证：

证明（其他小朋友）：证明（王戎）:

引例三

设P为正整数，若P2为偶数，证明p为偶数。填空：

证明：假设,则可令p=

则p2=，显然为

这与矛盾

所以o

（二）探究新知：

1.整体感知

上面用到的证明方法与我们以前学过的证明方法不同，它不是由已知条件出

发直接证明命题的结论，而是先提出与命题结论相反的假设，推出矛盾，从而证

明命题成立，这种证明方法叫做反证法.

课本定义：

思考：反证法的实质是什么？

2.合作交流

I、根据引例二填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤.（教师板书步

骤）

用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：

（1）;

（2）；

（3）.一

II、用反证法证明引例一

证明：（学生板演或投影）

【设计意图】：通过对这两个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反

证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保

持良好、积极的情感体验。

【设计意图】学生总结交流反证法的定义和解题步骤后，教师总结，纠正，对

比初中定义，让学生在合作中有所收获，在比较中锻炼能力。因思考（左边）

存在争议，所以课上没有交给学生。

【设计意图】引例一的疑问这里被得到了解决，前后呼应，让学生亲自感受反

证法得不可替代，同时也起到了本节课的点睛作用

III、思考：若/C为直角，证明NB一定是锐角有几种解法?

反证法适用题型：

（三）学以致用，体验成功

I.小组合作学习（课本例1）:

求证：V2不是有理数。

（1）你首选的是哪一种证明方法？

（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

自主整理证明过程.

II»方法熟用

例2证明：1,m，2不能为同一等差数列的三项.

（1）本题常见错误是什么

（2）本题推出的是什么盾？

（3）用反证法证题，矛盾的主要类型有哪些？

【设计意图】通过学生自己探究思考的不同解法，感受，总结反证法适用题型。

真正把课堂交给了学生

【设计意图】：本例是一个典型的使用反证法证明的问题，结论中含否定词语,

故考虑采用反证法。本例的难点是学生对无理数的了解很少，有理数的性质也

接触得很少，许多学生对有理数的表示也不太熟悉，因此用反证法得出矛盾的

方向也很不明确，教学中要逐步引导到位

【设计意图】：侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识自主探究

新知识根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见矛盾.和应用反证法的关键。

（四）随堂练习

1.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用

（）

①结论相反判断，即假设②原命题的结论

③公理、定理、定义等④原命题的条件

A.①④B.①&③

C.①③④D.②③

2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是

（）

A.两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D.没有一个内角是直角

3.如果两个实数之和为正数，则这两个数（）

A.一个是正数，一个是负数

B.两个都是正数

C.至少有一个正数

D.两个都是负数

4.已知x,y>0,且x+y>2.试证：生,3中至少有一个小于2.

（五）课堂小结：

通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？

由学生总结本节课的收获

（六）作业布置：

1、习题2.2.2A组1、2、题

2、反思：补充完善自己的数学成长记录，感受自己的点滴进步

（七）教学反思

1、本课就新课程理念定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中

心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习

的研究性学习方式，重点放在反证法的思想上，努力挖掘教学中蕴涵的思维价值,

培养学生的逆向思维能力。改变了传统的解决问题模式

2、“用教材教，而不是教教材”，针对学生特尽量满足不同思维层次学生的要求。

【设计意图】通过简单测试检验学生学习结果，可在课下进行。也可作为课堂

效果的评价依据

【设计意图】：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设

计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛

之笔。

评测练习

1.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用（）

①结论相反判断，即假设②原命题的结论

③公理、定理、定义等④原命题的条件

A.①④B.①&③

C.①③④D.②③

2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）

A.两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D.没有一个内角是直角

3.如果两个实数之和为正数，则这两个数（）

A.一个是正数，一个是负数

B.两个都是正数

C.至少有一个正数

D.两个都是负数

4.已知x,y>0,且x+y>2.试证：匕，中至少有一个小于2.

5.如图所示，直线。平行于平面a,4是过直线。的平面，平面a与夕相交于直线6,求证:

直线a平行于直线人

效果分析

通过本堂课的学习，9（»的学生能够轻松解决评测练习中的题目，10%的学生有一定的困

难。按照100分来计算的话，59个人参加测评，其中53人达到80分以上，6人及格良好以

上。

据学生反馈分析，分组探究教学能充分调动每一个学生的积极性，谁也不敢“走神”，

而且，以前不敢提出来的问题，现在可以在小组内畅所欲言，为了小组的积分，组内必须团

结协作，互帮互助，程度差一些的同学不耻下问，请教身边的“小老师”，程度好一些的同

学甘愿当“小老师”。所以，不论课上还是课下，学生非常喜欢学数学，效果也是很不错的。

观评记录

本节课同时作为我们学校的“和谐组”示范课，全校三十多位数学教师以及部分学校领

导进行了观摩听课。学校领导及老师们对本节课做出了积极、中肯的评价。

下面是老师代表对本节课的评课记录：

【张校长】教学目标达成意识强，贯穿教学过程始终。教学思路清晰，课堂结构严谨，教学

密度合理。

【付书记】温故到位，新课引入自然。课前复习了无理数，命题之间关系等相关知识，为本

节课解决相关例题及学习新内容做准备。另外，通过引例一。提问学生能否用直接证明方法

解决？从而引出课题，非常自然而且与本节后面的合作探究前后呼应。

【张老师】在整个教学过程中，学为主体，教为主导，设计合理的层次问题，引导学生分组

探究，而且留给学生充足的思维空间，能够很好地锻炼学生的思维能力。

【栾老师】课堂气氛活融洽、和谐、活跃，师生双边活动充分。教学方法灵活多样，有抢答，

有分组探究，有独立思考，有学生展示等，对这些活动，能够做到“收”“放”自如，动静