高中数学必修-第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)

高中数学必修5—第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）

一.数列得概念与简单表示法

知识能否忆起

1.数列得定义、分类与通项公式

（1）数列得定义：

①数列:按照一定顺序排列得一列数.

②数列得项:数列中得每一个数.

（2）数列得分类：

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

项与项间得其中

递减数列

大小关系

常数列—dn

（3）数列得通项公式：

如果数列｛〃“｝得第〃项与序号且之间得关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这

个数列得通项公式.

2.数列得递推公式

如果已知数列［为,）得首项（或前几项）,且任一项小与它得前一项或前几项）间

得关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列得递推公式.

1、对数列概念得理解

（1）数列就是按一定“顺序”排列得一列数，一个数列不仅与构成它得“数”有关，而且

还与这些“数”得排列顺序有关，这有别于集合中元素得无序性.因此，若组成两个数列得数

相同而排列次序不同，那么它们就就是不同得两个数列.

（2）数列中得数可以重复出现，而集合中得元素不能重复出现，这也就是数列与数集得区

别.

2.数列得函数特征

数列就是一个定义域为正整数集N*（或它得有限子集｛1,2,3,…,〃｝）得特殊函数，数列得通

项公式也就就是相应得函数解析式，即火〃）=斯（"CN"）.

3、考点

（一）由数列得前几项求数列得通项公式

［例1］（2012•天津南开中学月考）下列公式可作为数列｛斯｝:1,2』,2,1,2,…得通项公式得

就是（）

（一1）"+1

A.“"=1'"=2

C.an—2—sin爹D.an=----------

［自主解答］由〃"=2—sin期可得0=1,例=2,

43=104=2,…、

［答案1c

由题悟法

1.根据数列得前几项求它得一个通项公式，要注意观察每一项得特点，观察出项与〃之间

得关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列得通项公式来求.对于正

负符号变化，可用(一1)"或(一1)"+1来调整.

2.根据数列得前几项写出数列得一个通项公式就是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到

一般”得思想

以题试法

写出下面数列得一个通项公式.

(1)3,5,7,9,…；

(V、-\-3--7--1-5-3-1••••

(勿248"6'37‘

(3)3,33,333,3333,-;

/八，31313

(4)一一予不一的…、

解:(1)各项减去1后为正偶数，所以如=2〃+1、

2”—1

(2)每一项得分子比分母少1,而分母组成数列2i'2223-24,…，所以斯=-•歹、

999goo9999

(3)将数列各项改写为京于丁.丁,…，分母都就是3,而分子分别就是10-1,102-1,103

一1』。4一［,…、

所以a„=1(10H—1).

(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式得符号为(-1)”;各项绝对值得分母组成数列

1,2,3,4,…;而各项绝对值得分子组成得数列中，奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2—1,偶数

项为2+1,

2+(—IV'

所以«,,=(-1)"■—:工,也可写为

r_l

n

〃为正奇数

an=<

3

n

、〃为正偶数、

(二)由an与S“得关系求通项a„

已知数列｛四｝得前n项与S,,求数列得通项公式，其求解过程分为三步：

(1)先利用ai=Si求出m;

(2)用«-1替换中得〃得到一个新得关系，利用如=5“一S“T(〃》2)便可求出当“22

时4"得表达式；

(3)对”=1时得结果进行检验,瞧就是否符合“22时即得表达式，如果符合，则可以把数

列得通项公式合写;如果不符合，则应该分“=1与”》2两段来写.

［例2］已知数列｛斯｝得前〃项与S”,根据下列条件分别求它们得通项引、

(I)S"=2〃2+3〃;(2)Sn=3"+1、

［自主解答］(1)由题可知，当n=l时MI=5I=2X12+3XI=5,

当时，斯=5“一SI=(2〃2+3〃)一［2(〃-1)2+3(〃―1)］=4〃+1、

当〃=1时,4X1+1=5=0,故%=4”+1、

(2)当n=l时,ai=Si=3+l=4,

当心2时，

如=S”-S,i=(3"+1)—(31+1)=2X3广1、

当〃=1时,2X3Li=2/0,

一4

it—1

故如=〈,

2X3”r

、“N2、

以题试法

(2012・聊城模拟)已知数列｛斯｝得前n项与为S〃，且S〃=U1则2=()

AN7B、/

65

C、京D.30

解析:选D当"》2时,a"=S"一一一｝=〃(〃+1)'则a5=5X6=30'

(三)数列得性质

［例3］已知数列｛〃“｝得通项公式为%=层一21〃+20、

(1)〃为何值时,斯有最小值？并求出最小值;

(2)〃为何值时，该数列得前〃项与最小？

［自主解答］(1)因为a“=〃2—21〃+20=(〃一•2一驾■，可知对称轴方程为n=y-=10,

5,又因"GN',故”=10或〃=11时，%有最小值，其最小值为112-21X11+2O=-9O.

(2)设数列得前n项与最小，则有如<0,由〃2—21”+20<0,解得1W/W20,故数列｛”“｝从第

21项开始为正数，所以该数列得前19或20项与最小.

由题悟法

1.数列中项得最值得求法

根据数列与函数之间得对应关系，构造相应得函数斯=加7),利用求解函数最值得方法求

解，但要注意自变量得取值.

2.前〃项与最值得求法

(1)先求出数列得前n项与根据S“得表达式求解最值；

⑵根据数列得通项公式，若且册+1<0,则S”最大;若处“WO,且则S"最小，这

样便可直接利用各项得符号确定最值、

以题试法

3.(2012•江西七校联考)数列｛〃“｝得通项为=〃2:90,则数列｛斯｝中得最大值就是()

A.3V10B.19

C±19D口、®60

解析:选Can——焉，由基本不等式得,一而，由于"WN*,易知当〃=9或10时,如

最大.

二.等差数列及其前〃项与

知识能否忆起

一、等差数列得有关概念

1.定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它得前一项得差都等于同一个常数.那么这个

数列就叫做等差数列.符号表示为a“+i-斯=d("GN*,d为常数).

2.等差中项:数列a,A,b成等差数列得充要条件就是人=空，其中A叫做a,b得等差中项.

二、等差数列得有关公式

1.通项公式：〃“=v+(〃-1)"、

2.刖n项与公式:S“=〃ai+—2-4=---2---、

三、等差数列得性质

1.若n?,〃,p,qGN*,且M7+〃=p+q,｛a"｝为等差数列，则ain+an=ap+aq^

2.在等差数列｛斯｝中，砥侬3,3…仍为等差数歹U,公差为以

3.若｛斯｝为等差数列，则第跖>一£,$3"-52n，…仍为等差数列,公差为叔、

4.等差数列得增减性:©0时为递增数列，且当«!<0时前n项与S,,有最小值.以0时为递减

数列，且当ai>0时前n项与S”有最大值.

5.等差数列｛斯｝得首项就是即公差为从若其前八项之与可以写成S产A/+B〃，则A=¥，8

=0—壬当dWO时它表示二次函数，数列｛%｝得前〃项与S“=A"2+B〃就是｛如｝成等差数列得

充要条件.

1、与前”项与有关得三类问题

⑴知三求二:已知外、d、小斯、S,中得任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.

(2)5,,=耻+(a1-9”=A”?+=2A、

(3)利用二次函|数得图象确定S,得最值时,最高点得纵坐标不一定就是最大值，最低点得

纵坐标不一定就是最小值.

2.设元与解题得技巧

已知三个或四个数组成等差数列得一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且与为

定值时，可设为…，〃一2d,a-d,a,a+d,a+2d,''-,

若偶数个数成等差数列且与为定值时,可设为〃-3d,a-d,a+d,a+3d,…，其余各项再

依据等差数列得定义进行对称设元.

考点

等差数列得判断与证明

［例1］在数列｛斯｝中必=-3,如=2斯-|+2"+3(">2,且〃6N*).

⑴求。2。3得值;

(2)设与=喑(〃eN*),证明:｛儿｝就是等差数列.

［自主解答］(1)：出=-3,斯=2斯-1+2"+3(〃，2,且〃GN*),...42=20+22+3=1,内=

2a2+23+3=13、

(2)证明:对于任意"6N’,

an+1+3a”+311,

：bn+1-b”=2“+i―1==产［(斯+1-2斯)-3］=产［(2"+1+3)—3］=1,

.•.数列｛仇｝就是首项为生/=三担=0,公差为1得等差数列.

由题悟法

1.证明｛小｝为等差数列得方法:

(1)用定义证明:如一%-1=或1为常数,〃22)今｛斯｝为等差数列；

(2)用等差中项证明:2m+1=+%+20｛斯｝为等差数列；

(3)通项法:斯为n得一次函数O｛斯｝为等差数列；

(4)前n项与法：S,=A〃2+B〃或

2.用定义证明等差数列时，常采用得两个式子an+i-a„=d与斯一斯T=d,但它们得意义

不同,后者必须加上“〃22"，否则”=1时⑷无定义.

以题试法

1.已知数列｛如｝得前n项与S”就是〃得二次函数，且0=-2,“2=23=6、

⑴求S”；

(2)证明:数列｛斯｝就是等差数列.

解:⑴设S“=A/+B"+C(A¥O),

-2=A+B+C

0=4A+28+C

｛6=9A+3B+C

解得4=2,B=—4,C=0、故S"=2〃2—4”、

(2)证明:..•当n=l时,0=0=一2、

当”22时，斯=5"—Si=2/—4”一[2(〃-1)2—4(〃-1)]=4"-'6、

a„=4n—6(/i6+1—a,i=4,

二数列｛斯｝就是等差数列、

等差数列得基本运算

典题导入

[例2](2012•重庆高考)已知｛斯｝为等差数歹山且4|+43=8,42+"4=12、

(1)求｛为｝得通项公式；

(2)记｛斯｝得前n项与为S”,若0,浓&+2成等比数列，求正整数k得值.

[自主解答1(1)设数列｛斯｝得公差为d,由题意知

2ai+2d=8a\=2

*,解得，

2ai+44=12[d—2,

所以aa=ai+(〃-l)"=2+2(〃-1)=2”、

(2)由(1)可得S„=-^~~2.--«(«+1).

因为0,以&+2成等比数列，所以ai=aiSk+2、

从而(2Z)2=2(A+2)伏+3),即d—5k—6=0、

解得k=6或k=—1(舍去)，因此k=6、

由题悟法

a\+［n~\)d及前"项与公式S,=迎9®="，"+曲3^/,

1.等差数列得通项公式斯

共涉及五个量知其中三个就能求另外两个，体现了方程得思想.

2.数列得通项公式与前〃项与公式在解题中起到变量代换作用，而G与d就是等差数列

得两个基本量，用它们表示已知与未知就是常用方法.

以题试法

2.(1)在等差数列中，已知%=10,$5=5,则$8=、

(2)设等差数列｛如｝得前n项与为S.,若若一田=1,则公差为.

解析:(1)；%=105=5,

0+54=10

.5G+104=5、

fai=—5

解方程组得〈

ld=3、

则S8=8m+284=8X(-5)+28X3=44、

(2)依题意得S4=4”|+与4/=4小+6d3=3ai+与4/=3ai+34于就是有若詈一

当网=1,由此解得d=6,即公差为6、

答案:(1)44(2)6

等差数列得性质

典题导入

［例3］(1)等差数列｛%｝中，若0+44+。7=39,“3+〃6+49=27,则前9项与S9等于()

A.66B.99

C.I44D.297

(2)(2012•天津模拟)设等差数列｛斯｝得前n项与S“,若S4=8,&=20,则颔+在+叩+牝

=()

A.I8B.17

C.16D.15

［自主解答］(1)由等差数列得性质及卬+田+。7=39,可得3a4=39,所以四=13、同理,

由〃3+%+〃9=27,可得%=9、

前“c9(41+他)9(。4+。6)

所以$9=---2---=---2---=99、

(2)设｛小｝得公差为4则的+俏+的+恁=8一S4=12,35+a6+m+〃8)—S4=16d,解得d=

+。］2+。13+。14=54+40"=18、

［答案I(1)B(2)A

由题悟法

1.等差数列得性质就是等差数列得定义、通项公式以及前n项与公式等基础知识得推广

与变形，熟练掌握与灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.

2.应用等差数列得性质解答问题得关键就是寻找项得序号之间得关系.

以题试法

3.⑴(2012•江西高考)设数列｛斯｝,｛儿｝都就是等差数列，若41+加=7,43+加=21,则a5+b5

(2)(2012•海淀期末)若数列｛斯｝满足：0=19,为+1=%一3(，工箱,则数列｛”“｝得前〃项与数

值最大时,〃得值为()

A.6B.7

C.8D.9

解析：(1)设两等差数列组成得与数列为｛C"｝,由题意知新数列仍为等差数列且C1=7,C3=

21,则C5=2C3—C1=2X21—7=35、

(2)：%+|一%=一3,；.数列｛斯｝就是以19为首项，-3为公差得等差数列,19+(”一

%会0'22—3Z20

l)X(-3)=22—3〃、设前火项与最大，则有，一八即＜

22-3(*+1)^0

解得手WZ亨、•••kGN","=7、故满足条件得〃得值为7、

答案:⑴35(2)B

三.等比数列及其前〃项与

［知识能否忆起］

1.等比数列得有关概念

⑴定义：

如果一个数列从第2项起.每一项与它得前一项得比等于同一个常数(不为零).那么这个

数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列得公比，通常用字母q表示，定义得表达式为等1

=q(〃eN*,g为非零常数).

(2)等比中项：

如果八G、匕成等比数歹IJ,那么G叫做。与。得等比中项.即:G就是。与力得等比中项

-a,G,b成等比数列0G2=a6、

2.等比数列得有关公式

(1)通项公式：4"=0〃'厂1、

^ncix

q=i

(2)刖〃项与公式：S”=<©(I—q")CLLa〃q

］_q［_q

1、

3.等比数列｛〃〃｝得常用性质

(1)在等比数列｛a”｝中，若机+〃=p+q=2«n?,〃,p,q,rGN*),则a,”%=即・%=屈、

特别地⑼斯=。2斯-1=43斯-2=…、

(2)在公比为q得等比数列｛斯｝中，数列即，丽+*,丽+2废而+3",…仍就是等比数列,公比为密

数列5,"&“一5”,53,”-52,“,”・仍就是等比数列(此时尸一1)；

an-dmCf'

1、等比数列得特征

(1)从等比数列得定义瞧，等比数列得任意项都就是非零得，公比q也就是非零常数.

(2)由a„+i=qa”,语并不能立即断言｛4“｝为等比数列，还要验证0力0、

2.等比数列得前“项与S”

(1)等比数列得前n项与S,就是用错位相减法求得得,注意这种思想方法在数列求与中得

运用.

(2)在运用等比数列得前n项与公式时，必须注意对q=1与,/Wl分类讨论，防止因忽略q

=1这一特殊情形导致解题失误

考点

等比数列得判定与证明

典题导入

［例1］已知数列｛斯｝得前n项与为S”,且%+*=〃、

⑴设金=a“一1,求证:9｝就是等比数列；

(2)求数列｛”“｝得通项公式.

［自主解答］⑴证明:；斯+5,尸〃，①

.•.4"+|+S"+l=〃+l、②

②—①得斯+i一如+%+1=1,

••24"+1Cln+1,••2(an+11)Un1,

.a„+1—11

"a„-\=r

•；首项ci="|—1,又ai+“i=1,

._1_1

..(/1—2,Cl——2'

又c.=a“一1,故｛<:“｝就是以一;为首项为公比得等比数列.

（2）由（1）可知c.=（一'•（，"r=_

在本例条件下，若数列｛瓦｝满足"=0,儿=斯一斯-1("22),证明｛b｝就是等比数列.

证明:：由(2)知跖尸1一⑸"，

・•・当心2B寸,/?”=〃〃一

又加=©=;也符合上式，，打=(；>、

空...数列｛儿｝就是等比数列.

由题悟法

等比数列得判定方法

(1)定义法:若乎1=虱4为非零常数,“GN*)或卫=虱4为非零常数且〃》2,〃GN*),则｛期｝

斯一［

就是等比数列.

(2)等比中项法:若数列｛斯｝中，斯H0且居+尸如s+2(〃GN*),贝擞列｛如｝就是等比数列.

(3)通项公式法:若数列通项公式可写成a“=c”,q均就是不为0得常数,"CN*),则｛斯｝

就是等比数列.

以题试法

1.(2012・沈阳模拟)已知函数_/(x)=k)g“x,且所有项为正数得无穷数列｛〃“｝满足logna„+|—

logM,=2,则数列｛斯｝()

A.一定就是等比数列

B.一定就是等差数列

C.既就是等差数列又就是等比数列

D.既不就是等差数列又不就是等比数列

解析:选A由log„«“+i-log4“=2,得log月U=2=k>g“q2,故g2j/、又且

LinCln

所以数列｛%｝为等比数列.

等比数列得基本运算

典题导入

[例2]｛a,.｝为等比数列,求下列各值：

(l)a«—a」=24,a3a5=64,求a„：

(2)已知a2,as=36,a3+az=15,求公比q、

解：⑴设数列｛aj得公比为q,

a«—a尸adq2-124

由题意得，①

.a3a5aiq'°=64、②

由②得aiq3—土8,

将a,q3=-8代入①中，得/=-2(舍去).

将aiq3=8代入①中，得q?=4,q=±2、

当q=2时,ai=l,.*.a„=aiq"*'=2"-\

当q=-2时,ai=-1,.*.an=aiq"T=一(―2)"一'、

.•.a.=2"T或+=一(-2)"-'、

⑵：a2•38—36—33•a?»而a3+ar=15,

%3=3,3=12

.y或V

.a?=12la?-3■>

由题悟法

1.等比数列基本量得运算就是等比数列中得一类基本问题，数列中有五个量ax,n,q,an,S,„

一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.

2.在使用等比数列得前n项与公式时，应根据公比q得情况进行分类讨论，切不可忽视q

得取值而盲目用求与公式.

以题试法

2.(2012•山西适应性训练)已知数列｛”“｝就是公差不为零得等差数列,m=2,且成

等比数列.

(1)求数列｛4｝得通项公式；

(2)求数列｛3小｝得前n项与.

解:(1)设等差数列｛如｝得公差为d(dW0).

因为a2M4。8成等比数列，

所以(2+3刃2=(2+(2+74，

解得d=2、

所以如=2〃(〃WN*).

(2)由⑴知3%=32",设数列｛3%｝得前〃项与为S”，

9(1-9")9

则£=32+3，+…+32=\_9=潸-1).

等比数列得性质

典题导入

［.例3］(1)(2012・威海模拟)在由正数组成得等比数列｛小｝中，若43a4。5=31则sin(log36Zi+

log3〃2H------Flog3S)得值为()

A.|B、坐

C.lD.一坐

(2)设等比数列｛斯｝得前〃项与为S〃，若S6:S3=l:2,则S9：S3等于()

A.1：2B.2：3

C.3：4D.1：3

［自主解答］(1)因为4344〃5=3兀=屈,所以。4=3］、

log30+10g3〃2H-------F10g3«7

=10g3(〃1。2…。7)=10g3az

r,一兀7兀

=71og33十于

小

故sin(log34Zi+log3«2H-------Hog3S)=2、

(2)由等比数列得性质:S3,S6—S3,S9—S6仍成等比数列，于就是(S6—S3)2=S3・(S9—S6),

将§6=*3代入得日、

［答案］(1)B(2)C

由题悟法

等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们得通项公式与性质有许多相似之

处，其中等差数列中得“与"“倍数”可以与等比数列中得“积”“幕”相类比.关注它们之

间得异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想得推广.对于等差数列项得与或等

比数列项得积得运算，若能关注通项公式a,,=/(〃)得下标n得大小关系,可简化题目得运算.

以题试法

3.(1)(2012•新课标全国卷)已知｛斯｝为等比数列,加+&7=2,的“6=—8,则G+GO=()

A.7B.5

C.-5D.-7

（2）（2012-成都模拟）已知｛。“｝就是等比数列,02=2,。5=不则“Q+O2a3+…+如。"+1=

)

A.16(l-4-n)B.16(l-2-n)

C、y(l-4-n)D、y(l-2-")

解析:（1）选D法一:

〃4+〃7=aq3+〃]g6=2

由题意得1

q3=-2

解得J

41=1

故〃i+〃io=0(l+/)=—7、

44+07=2

法二:由《

a5a6=。4。7=-8

故0+。1()=〃1(1+/)=—7、

（2）选C•・・。2=2,〃5=京・・・。1=4,4=3必出+|=（；）2，厂5、

8（1-/）32

故〃1。2+〃2。3-1-----Fa”〃〃+1=------j-=—（1-4〃）.

y一

练习题

一2345

1.（教村习题改编）数列1,予■b…得一个通项公式就是（）

A%=2〃+]B”产胃口

Can=2n~3Da"=2n+3

答案:B

2.设数列｛%｝得前〃项与S,产〃2,则制得值为()

A.15B.16

C.49D.64

解析:选A〃8=S8-$7=64-49=15、

3.已知数列｛如｝得通项公式为斯=言,则这个数列就是（）

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

〃+1n("+I)2—〃(〃+2)_______1_____

解析:选An+2/z+1(〃+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)>'

23"-|（〃为偶数）

4.（教材习题改编）已知数列｛斯｝得通项公式就是〜江大岭、则的的=

2"—5（〃为奇数）

解析：443=2X33.（2X3-5）=54、

答案：54

5.己知数列｛斯｝得通项公式为4“=P”+2且«2=1

3

贝i

8-一jn=

29/S

-X1

——-

P=4

解得1

解析:由已知得5

129

则斯=4〃+彳故。8=0

答案与

1.（2012•福建高考）等差数列｛“”｝中,0+的=10,〃4=7,则数列｛斯｝得公差为（）

A.lB.2

C.3D.4

'2ai+4d=10

解析:选B法一:设等差数列｛斯｝得公差为”,由题意得，

。|+3"=7、

a\=\

解得〈故4=2、

[4=2、

法二:•.•在等差数列｛&｝中⑼+“5=24=10,上"3=5、

又“4=7,.,.公差4=7—5=2、

2.（教材习题改编）在等差数列｛%｝中,。2+熊=笔则sin（2a4—§=（）

A近R1

A、2。、2

C.—2D.—

解析:选DVaz+06=-y,A2a4=^>

3.(2012•辽宁高考)在等差数列｛如｝中，已知々4+48=16,则该数列前11项与Su=()

A.58B.88

C.143D.176

新土二演DC11(出+。8)QQ

解析:选BSu—2—2—88、

4.在数列｛%｝中，若卬=1,%+\=an+2(〃21),则该数列得通项斯=、

解析:由4rH=。〃+2知｛诙｝为等差数列其公差为2、

故an=1+(n—1)X2=2n—1

答案:2〃一1

5.(2012•北京高考)已知｛%｝为等差数列5为其前n项与，若0=如2=。3,则。2=

&-、

解析:设｛斯｝得公差为d,

由§2=。3知,。1+〃2=。3,即2ai+d=ai+2cl,

又0=g,所以，故。2=0+d=l,

Sn=na\+%(〃一l)d=；〃+；(〃2—〃)X；

答案:1%+%

1.(2011•江西高考)｛斯｝为等差数列，公差d=-2$为其前〃项与.若Su)=Si,则0=()

A.18B.20

C.22D.24

解析:选B由S]o=&i,得如=$]一510=0。】=如+(1—ll)d=0+(-10)X(—2)=20、

2.(2012・广州调研)等差数列｛〃〃｝得前n项与为S〃,已知〃5=8,S3=6,则S]()-S7得值就是

)

A.24B.48

C.60D.72

'。5=。1+41=8,1=0

解析:选B设等差数列｛斯｝得公差为&由题意可得。「I、」，解得.则

S3=3〃i+3d=6d=2

Sio-57=〃8+。9+〃10=3〃]+24d=48、

3.(2013•东北三校联考)等差数列｛斯｝中,的十%=4,则Iog2(2a-2a2•…・2mo)=()

A.10B.20

C.40D.2+log25

解析:选B依题意得M+。2+。3H------卜“10=0('④=5(恁+备)=20,因此有

log2(2ai・2〃2i*2Q]o)=〃i+“2+43+…+〃io=2O、

4.(2012•海淀期末)已知数列｛如｝满足⑷=1,即>0,足十]—居=1(〃£N*),那么使小<5成立得

n得最大值为()

A.4B.5

C.24D.25

解析:选c・・・屈也一忌=1,・・・数列｛屈｝就是以5=1为首项,1为公差得等差数列.，若=1

+(〃-1)=〃、又斯>0,・••斯=如、:斯<5,・'.而<5、即〃<25、故〃得最大值为24、

5.已知等差数列｛恁｝得前n项与为工，并且$0>0,$]<0,若SAS&对恒成立，则正整

数上得值为()

A.5B.6

C.4D.7

解析:选A由Sio>O,Sn<O知0>0,火0,并且的+的|<0,即%<0,又恁+恁〉。,所以。5>0,即

数列得前5项都为正数，第5项之后得都为负数，所以S5最大，则k=5、

6,数列｛斯｝得首项为3,｛瓦｝为等差数列且儿=斯+1—小(〃仁N*).若一=-2/[0=12,则«8

=()

A.OB.3

C.8D.11

解析:选B因为｛d｝就是等差数列，且加=-2自o=12,

故公差d=]0/3=2、于就是"=一6,

且d=2〃-8(〃£N*),即m+|一小=2〃-8、

所以678=^7+6=4/6+4+6=625+2+4+6=•,,=6/1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6

=3、

7.(2012・广东高考)已知递增得等差数列伍〃｝满足0=1,43=屋一4,则an=、

解析:设等差数列公差为d，■由6=员-4,得l+2d=(l+J)2—4,解得d2=4,即d=±2、

由于该数列为递增数列，故"=2、

，1+(〃-1)X2=2〃-1、

答案:2〃一1

8.已知数列｛〃〃｝为等差数列段为其前〃项与,〃7—的=43=216=9,则k=、

解析:〃7—〃5=2d=4,则d=2、—101=21—20=1,

k(k—1)

7

Sk=k+2X2=^=9,又氏GN*,故％=3、

答案：3

9.设等差数列｛〃“｝,也｝得前n项与分别为S”,7“,若对任意自然数n都有q塞2〃^—3^则

in472—J

泮了+号■得值为_______.

十3。8十仇

解析:,・・｛〃〃｝,｛与｝为等差数列，

.49।〃3〃9匚〃3仅+〃3〃6

•,儿+岳儿+儿2b62b62b6%、

..Snai+aii2t762Xll-319.您=/

•T“一从+加1—2%—4X11—3-4「・・4―41、

答案记19

10.(2011•福建高考汜知等差数列｛斯｝中,s=l,的=一3、

(1)求数列｛如｝得通项公式；

(2)若数列｛小｝得前k项与&=一35,求k得值.

解:⑴设等差数列｛为｝得公差为“，则斯=。1+(〃-1)"、

由©=1,。3=—3,可得1+24=-3,解得“=一2、

从而斯=1+(〃-1)X(—2)=3—2〃、

⑵由⑴可知斯=3—2〃，

”[1+(3-2M)].

所以S„=-----2-----=2”—/、

由5*=—35,可得2%一斤=-35,

即3—2/—35=0,解得k=1或&=-5、

又火WN*,故％=7、

11.设数列｛恁｝得前n项积为T,„T„=\-a„,

(1)证明｛｝｝就是等差数列；

(2)求数列图得前n项与S,、

T

解:⑴证明:由7；=1—a“得，当心2时,7；=1一尸

Zn-l

两边同除以7；得/一"一=1、

故a尸料=5=2

.•.｛/｝就是首项为2,公差为I得等差数列.

(2)由(1)知关=〃+1,则〃=〃；],

从而〃〃=1-故%=〃、

・・・数列T“.就是首项为1,公差为1得等差数列.

♦・一2

12.已知在等差数列｛斯｝中,0=31,5”就是它得前“项与50=522、

⑴求s〃；

(2)这个数列得前多少项得与最大,并求出这个最大值.

解:(l)=Sio=ai+a2T-----卜aio,

522=0+〃2-J------1-。22,又510=522,

.•.411+412H------1-6722=0,

+62)

即。=0,故。1]+。22=2。1+31d=0、

2

又,.・0=31,・・・〃=-2,

.•・1=〃〃|+-^/=31〃一〃1)=32〃一层、

(2)法一:由⑴知S?=32〃一"2,

故当71=16时S有最大值,S〃得最大值就是256、

法二:由工=32〃一/=〃(32—总欲使S?有最大值,

n+32-n\

应有1<〃<32,从而、—2一尸56,

当且仅当〃=32—〃，即n=l6时,S”有最大值256>

1.(教材习题改编)等比数列｛a“｝中,44=4厕等于()

A.4B.8

C.16D.32

解析:选C。2七6=届=16、

2.已知等比数列｛〃“｝得前三项依次为。-1,〃+1,“+4,则%=()

A.4-(1)B4勘

D“|)"

C4。"

解析:选C(a+l)2=(a-l)(fl+4)=>a=5,

m=4,q=］故如=4・

3.已知等比数列｛斯｝满足41+02=3,42+03=6,则07=()

A.64B.81

C.128D.243

解析:选A9=雳=2,

故a\+ai^=3=>ai=l,a7=1X27_1=64>

4.（2011•北京高考）在等比数列｛〃〃｝中，若0=；,〃4=4,则公比q=----

解析:“4="4,得4=1,解得4=2M+S+…+%=斗二^=2"—一、

答案:22〃」一

5.（2012•新课标全国卷）等比数列｛〃〃｝得前n项与为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=

解析:VS3+352=0,.,.41+〃2+〃3+3（〃1+。2）=0,

/.67I（4+4^+^2）=0X

Vci]#0,:.q=-2、

答案:一2

L设数列｛斯｝就是等比数列，前几项与为S〃，若S3=3S,则公比q为（）

A.—TB.1

C.一£或1D、：

解析:选C当q—1时，满足S3=3〃I=3图、

当qWl时,S3=—,_"）=4i（l+g+g2）=3aq2,

1q

解得g=_T，综上g=_：或q=l、

2.（2012・东城模拟）设数列｛〃〃｝满足:2〃〃=%1（斯£0）5"*）,且前n项与为工,则费得值为

）

C.4D.2

0（1—24）

解析:选A由题意知，数列｛斯｝就是以2为公比得等比数列，故S咎A=—1-婷2厂=号15、

3.（2012•安徽高考）公比为2得等比数列｛斯｝得各项都就是正数，且a3ml=16,则log2So=

（）

A.4B.5

C.6D.7

解析:选B=,.㈤=16、

又•••等比数列｛斯｝得各项都就是正数,...07=4、

又410=47炉=4X2'，=2'5,log24Z|0=5、

4.已知数列｛〃“｝,则“a,,a.+g+2（〃GN*）成等比数列”就是“易+i=a,&+2”得（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析:选A显然,〃61>）*,%,斯+|,%+2成等比数列,则底+|=4必）+2,反之,则不一定成立，举反

例，如数列为1,0,0,0,…

5.（2013•太原模拟）各项均为正数得等比数列｛a“｝得前n项与为S”,若&=23"=14,则$4”

等于（）

A.80B.30

C.26D.16

解析:选B设S2〃=a,S4"="由等比数列得性质知：

2（14—a）=（a—2）2,解得a—6或a=—4（舍去），

同理（6—2）仍一14）=（14-6）1所以6=S4"=30、

6.已知方程a2—+2）（f—以+2）=0得四个根组成以幼首项得等比数歹展吟=（）

A、?B、方或专

2

C、fD.以上都不对

解析:选B