2023届高考数学小题狂刷卷：平面与平面垂直关系的判定（含答案）

2023届高考数学小题狂刷卷：平面与平面垂直关系的判定

一、选择题（共25小题）

1.如图PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平而有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

2.已知四棱锥P-4BC。中，底面力BCD为正方形，PA1^ABCD,则四棱锥的五个面中，互相垂

直的面共有（）

A.3组B.4组C.5组D.6组

3.下列命题中正确的是（）

A.若直线a〃平面a,直线b1a,bu平面0,则a-L3

B.若直线alb,al平面a,bJ■平面6，则al夕

C.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直

4.若a,0是两个不同的平面，Z,m是两条不同的直线，且lua,mu0（）

A.若110,则a10B.若a10,贝hJLm

C.若l〃B，则a〃/?D.若a〃氏则/〃小

5.已知直线a〃直线b,b1平面a,则（）

A.a//aB.aua

C.a1aD.a不是a的垂线

6.对于直线n和平面a,夕能得出a1/?的-一个条件是（）

A.mIn,m//a,n///?B.zn1n,an夕=m,nca

C.m//n,n1/?,maaD.m//n,m±a,

7.在三棱锥4一BCD中，如果AD_LBC,BDLAD,△BCD是锐角三角形，那么（）

A.平面ABD1平面AOCB.平面ABD1平面48c

C.平面BCD1平面4DCD.平面48c1平面BCD

8.已知不同的直线m,n,不同的平面a,/?,则下列命题正确的是（）

①若m〃a,n//a,则m〃n.

②若m〃a,mA.P，则a10.

③若mla,mln,则？i〃a.

④若mla,nLp,al/?,则m_Ln.

A.②④B.②③C.③④D.①②

9.设a,0是两个不同的平面，b是直线且bu0.“匕1戊”是％10”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：

①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意--条直线；

②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；

③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；

④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

11.长方体力BCD-&B1GD1的六个面中，与面4C垂直的面的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

12.已知直线I±平面/?,/u平面a,则（）

A.a_L0B.a//p

C.al夕或a〃/?D.a,6相交但不一定垂直

13.如图所示，四边形4BCD中，AD//BC,AD=AB,/.BCD=45",/.BAD=90".将△AOB沿

8。折起，使平面ABDJ.平面BCD,构成三棱锥则在三棱锥力--BCO中，下列结

论正确的是（）

A.平面4BD1平面4BCB.平面/WC1平面BDC

C.平面力BC1平面BDCD.平面4DC1平面4BC

14.在空间四边形ABCD中，若力B=BC,AD=CD,E为对角线4C的中点，则（）

A.平面4BD1平面BDCB.平面ABC1平面4BD

C.平面48c±平面4DCD.平面ABC1平面BEO

15.如图，在正方体ABCD-&B1GD1中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足

1DXE,则点Bi和点P构成的图形是（）

D,

A.三角形B.四边形C.曲边形D.五边形

16.在空间四边形ABC。中，AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点，下列判断正确的是

（）

A.平面4801平面BDCB.平面ABC1平面480

C.平面ABC1平面4DCD.平面ABC1平面BED

17.若不同的两点A,8到平面a的距离相等，则下列命题中一定正确的是（）

A.力，B两点在平面a的同侧

B.A,B两点在平面a的异侧

C.过A,B两点必有垂直于平面a的平面

D.过A,B两点必有平行于平面a的平面

18.如图所示，四边形ABCD中，AD//BC,AD=AB,/BCD=45。，/.BAD=90".将△ADB沿

8。折起，使平面4801平面BC。，构成三棱锥4—BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列结论

正确的是（）

A.平面ABO1平面ABCB.平面1平面BDC

C.平面4BC1平面BDCD.平面4DC1平面ABC

19.已知在空间四边形ABCD中，AD1BC,AD1BD,且ABC。是锐角三角形，则必有（）

A.平面ABD1平面ADCB.平面ABD1平面ABC

C.平面ADC1平面B0CD.平面ABC1平面BDC

20.若m,n是两条不同的直线，a,B，y是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若mu0,aJ.夕，则m1a

B.若7n1£,m//a,贝ija-L0

C.若则aly,al。，则01y

D.若aCy=7n,/?ny=n,m//n,则a〃0

21.若m,n是两条不同的直线，a,p,y是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若mu0,a10则?n_La

B.若m_L氏zn〃a则，a10

C.若a1y,al£,则81y

D.若any=m,ny=n,m//n,则a〃/?

22.如图所示，四边形4BCD中，AD//BC,AD=AB,Z.BCD=45°,=90。将△48。沿8。

折起，使平面4BD_L平面BCD,构成三棱锥4-BCD,则在三棱锥4-BCD中，下列命题正确

的是（）

A.平面4BD1平面ABCB.平面40c1平面BDC

C.平面ABC1平面BDCD.平面4DC1平面4BC

23.在四棱锥P—4BCD中，底面4BCC为矩形，若PA1平面力则在此四棱锥的五个面中相

互垂直的平面共有（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

24.在正四面体P—4BC中，D,E,F分别是AB,BC,。4的中点，下面四个结论中不成立的是

（）

A.BC〃平面PDFB.0FJ.平面P4E

C,平面PDE1平面ABCD.平面PDF1平面P4E

25.已知平面a与平面0相交，直线m1a,则（）

A.0内必存在直线与m平行，且存在直线与加垂直

B.P内不一定存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直

C./?内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D.p内必存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直

二、填空题（共10小题）

26.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言符号语言

判一个平面过另一

定⑯'

个平面的一条⑮

定则这两产.na邛

理

平面互相垂直⑰—

两个平面垂直，

性则•个平面内

质垂直于它们自

定—.的宜线与另

an/-L”

理一个平面垂直

27.平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面过另一个平面的____

文字语言

_，那么这两个平面垂直

符号语言,,______n0JL^

图形语言

z_7

28.在正方体ABCD-中，平面ACDr与平面BBRD的位置关系是.

29.如图，平面a〃平面氏线段GH分别交a,0于点A,B,线段GO分别交a,/?于点C,D,线

段"F分别交a,0于点F,E.已知GA=9,AB=12,BH=16,ShACF=72,则

30.ABCO是正方形，P为平面4BCD外一点，且241平面ABC。，则平面P4B,平面PBC,平面

PDC,平面P4D,平面力BCO这五个面中，互相垂直的平面有对.

31.将直角三角形力BC沿斜边上的高CD折成互相垂直的两个平面4C。和BCD,连接48,所得图

形中互相垂直的平面共有对.

32.在三棱锥P-48C中，己知PA1P8,PB1PC,PC1PA,如右图所示，则在三棱锥P-4BC

的四个面中，互相垂直的面有对.

33.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a,PB=PD=缶,

则它的5个面中，互相垂直的面有对.

34.如图，在四面体0-A8C中，若AB=CB,AD=CD,E是4c的中点，则下列结论正确的

是.（填序号）

①平面ABC1平面480；

②平面48。J.平面BDC；

③平面ABC_L平面BDE,且平丽WC1平面B0E；

④平面ABC1平面40C,且平面A0C1平面BDE.

35.如图所示，在四棱锥PABC0中，P41底面力BCD,且底面各边都相等，M是PC上的一动点,

当点M满足时，平面MBZ51平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

三、解答题(共9小题)

36.已知△BC。中，/BCD=90。，BC=CD=1,ABJL平面BCD,Z.ADB=60°,E,F分别是力C,

AD上的动点，且芸=哼=4(0</1<1).

(1)求证：不论4为何值，总有平面BEFJ.平面4BC；

(2)当4为何值时，平面BEF_L平面4CD?

37.如图，在直四棱柱ABC。-A1B1C12中，41cl，当/，E,F分别是48,BC的中点.

D)

B

(1)求证：EF〃平面4BG；

(2)求证：平面。J.平面&BG.

38.如图，在三棱锥P-ABC中，平面P4B1平面ABC,AB1BC,AP1PB,求证：平面PAC1

平面PBC.

A

39.如图所示，平面AC。，DEI平面AC。，AB=^DEf△/CD为等边三角形，F为G)的中

点.求证:

(1)AF〃平面BCE；

(2)平面BCE1平面CDE.

40.如图，四边形4BCD是正方形，PD//MA,MA1AD,P时_1平面。。M，MA=AD=\PD=1.

(1)求证：平面4BCDJ,平面4MPD.

(2)求三棱锥4-CMP的高.

41.如图，六面体ABCDE中，面DBCJL面4BC,4E_L面ABC.

(1)求证：4E〃面DBC；

(2)若4BJLBC,BD1CD,求证：面A0B1面E/JC.

42.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，P4_L平面4BCD,PA=3,F是棱24上的

一个动点，E为PD的中点.

(1)求证：平面BDF1平面PCF；

(2)若4F=1,求证：CE〃平面BDF.

43.如下图，在三棱柱48C-A$iCi中，△ABC与△&名6都为正三角形且4411而4BC,F,

&分别是AC,&G的中点.

(1)求证：平面4B/i〃平面CiBF；

(2)求证：平面力B181平面

44.如图所示，该几何体由一个直三棱柱力DE-BCF和一个正四棱锥P-4BCD组合而成，AD1

AF,AE=AD=2.

(1)证明：平面P/W1平面ABFE：

(2)若四棱锥P-ABCD的体积是三棱锥P—ABF体积的4倍，求正四棱锥P-4BCD的高.

答案

D

2.C

3.B

4.A

5.C

6.C

【解析】正方体ABC。一4tBic15中，连接4C,&Ci，把4。看作直线zn,BB1看作直线九，把平

面8B1GC作为平面。，平面44修道作为平面/?.对于A虽满足ml九，m//afn〃氏但a不垂直

于0,从而否定A.类似地可否定B和D.

7.C

8.A

9.A

10.C

【解析】如果两个平面垂直，两平面内的直线并不都相互垂直，从而判断命题①不正确；

如果两个平面垂直，另一个平面内，必有无数条直线和这个平面垂直，从而判断命题②正确；

如果两个平面垂直，当其中一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时，这条直线与另一个平面

平行，所以并不是平面内的所有直线都和另一个平面垂直，从而判断命题③不正确：

根据面面垂直的性质定理可判断命题④正确，

所以正确的命题个数为2.故选：C.

11.D

12.A

13.D

【解析】因为在四边形4BC0中，AD//BC,40=48,/.BCD=45°,^BAD=90°,所以8。ICO.

又平面ABC1平面BCD,且平面48。n平面BCD=BD,故CD1平面力8D,则CD148.又AD1

AB,ADOCD=D,故平面ADC,又48u平面ABC,所以平面ABC1平面ADC.

14.D

15.B

【解析】提示：取CD的中点F,CQ的中点G,则FG"ABi，易证平面4FG/_L则和点P

构成的图形是梯形AFGB,.

D,

16.D

【解析】由已知条件得AC_LDE,AC1BE,又BEnOE=E,于是有AC_L平面BED.又ACu

平面ABC,所以平面ABCJL平面BED.

17.C

【解析】通解根据面面垂直的判定定理可得，无论48两点在何处，必有过4B两点与平面a垂

直的平面，所以选项C正确.

优解结合立体几何知识，合理作出图形，应用排除法可知4,B两点有可能在平面a的同侧、异侧或

平面a内，所以选项A,B错误；当4B两点在平面a的异侧时，就不存在过力，8两点与平面a

平行的平面，所以选项D错误.

18.D【解析】易证BD1CD.

因为平面ABD1平面BC。，且平面ABDC平面BCD=BD,CDu平面BCD,故CD1平面ABD,则

CDLAB.

y.ADLAB,ADQCD=D,AOu平面ADC,C。u平面ADC,故4BJ.平面ADC.

又48u平面力BC,

所以平面ADC1平面力BC.

19.C

【解析】因为ADIBC,AD1BD,BCCBD=B,

所以4D1平面BDC,又4Du平面4DC,

所以平面4DC1平面BDC.

20.B

21.B

22.D

【解析】由题意知，在四边形ABCD中，可证CD1BD.

因为平面4BDJL平面BCD,且两平面的交线为BD,

所以CD_L平面4BD,

从而CD_L4B.

又4BJ.AD,

所以AB1.平面ADC,

于是平面4DC1平面48c.

23.C

24.C

【解析】因为在正四面体P-ABC中，D,E,F分别是4B,BC,CA的中点,

所以DF//BC,

因为。尸u平面PDF,BC<t平面PDF,

所以BC〃平面PDF,故A正确；

因为AB=AB=PB=PC,E是BC中点,

所以AE1BC,PE1BC,

因为4EnPE=E,

所以BC1平面P4E,

因为。尸〃BC,

所以。F1平面P4E,故B正确；

因为。尸1平面PAE,DFu平面ABC,

所以平面PAE1平面ABC,

因为平面P4En平面POE=PE,且PE与平面ABC不垂直，

所以平面PDE与平面48c不垂直，故C错误；

因为DF_L平面P4E,且。Fu平面PDF,

所以平面PDF1平面PAE,故D正确.

25.C

【解析】若P内存在直线"与m平行，由m_La知n_La,从而aJ■夕，但a与夕相交确不一定垂直.

又设an/?=a,由md_a知m_La,从而0内必有直线与m垂直.

26.Iu6,I1a,交线;,a1(3,an/?=a,Iu0,I1a

27.垂线，Iu6

28.垂直

【解析】如图所示，

5

AC1BD\\

AC1BBi=ACJ.平面BBi。/

BDnBBI=B)=平面ADiC1平面BBi/D.

ACu平面

29.96

30.5

【解析】如图，可得平面P4BJ.平面ABC0,平面PAD1平面4BCD,平面P4BJ.平面PAD,

平面PBCJ■平面P4B,平面P0C1平面PAD,共5对.

31.3

【解析】平面ADC1平面BDC,平面ADC±平面4DB.平面BCD1平面4DB.

32.3

【解析】因为PA1PB,PA1PC,PBCPC=P,

所以PA_L平面PBC,

因为P4u平面PAB,P4u平面PAC,

所以平面PABJ.平面PBC,平面PAC1平面PBC.

同理可证：平面P4B1平面PAC.

33.5

【解析】平面P4B1平面4BCD,平面PAD_L平面48m平面PA8_L平面PAD,平面P48_L平面PBC,

平面PAD1平面PCD,共有5对.

34.③

【解析】因为AB=CB,且E是力C的中点，所以BE14C,同理有OE1AC,于是AC_L

平面BDE.因为ACu平面ABC,所以平面力BC1平面BDE.又由于ACu平面AC。，所以

平面AC。1平面BDE,所以③正确.

35.DM1PC（或BM1PC等）

【解析】由已知条件可知，BD±PC.

所以当DM1PC（或BM1PC）时，即有PC1平面MBD.

而PC属于平面PCD,

所以平面MB。1平面PCD.

36.(1)因为ABJL平面BCD,

所以4B1CD,

因为CD1BC且48nBe=B,

所以CDJ.平面4BC.

又因为TI=7D=乂。<2<I),

所以不论；I为何值，恒有EF〃CO,

所以EF1平面ABC,EFu平面BEF,

所以不论；I为何值，恒有平面BEF1平面ABC.

(2)由(I)知，BEJ.EF,又平面BEFJ.平面AC。,

所以BE,平面4C0,

所以BE1.AC.

因为BC=CD=1,/.BCD=90°,ZLADB=60",

所以BD=a,AB=V2tan60"=瓜

所以AC=y/AB2+BC2=歹，

由AB2=AEAC得AE=%

所以"黄，

故当4=3时，平面BEF_L平面4CD.

37.(1)连接4C,

则AC〃AiG，而E,F分别是48,BC1的中点,

所以EF//AC,

则EF〃力©,故EF〃平面4BC「

(2)因为BBi1平面4/iGDi，

所以BB1J.4C1，又AiGlBiA，

则&Q1平面。1。8名，

又41clu平面&BC],

所以平面DiDBBi1平面418G.

38.因为平面P48J.平面48C,平面P4BCI平面4BC=48,且4B1BC,

所以BC1平面P48,

所以AP1BC.

又力P1PB,

所以4P_L平面PBC.

又APu平面PAC.

所以平面PACJ.平面PBC.

39.(1)取CE的中点G,连接FG,BG,

因为F为CD的中点，G为CE的中点，

所以G尸〃。E且GF=；Z)E,

因为4B1.平面4CD,DE1平面4CD,

所以4B〃DE,

所以GF//AB,

又因为48=|0E,

所以G尸=48,

所以四边形GFAB为平行四边形，

所以AF〃BG,

因为AF<t平面BCE,BGu平面BCE,

所以AF〃平面BCE.

(2)因为△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

所以AF1CD,

因为DE_L平面4CD,4Fu平面4CD,

所以DELAF,

又因为CDnDE=D,CDc^-^CDE,DEu平面CDE,

所以AF±平面COE,

因为BG//AF,

所以BGJL平面COE,

因为BGu平面BCE,

所以平面BCE1平面COE.

40.(1)因为PMJ.平面COM,且CDu平面COM,

所以PM1CD,

又因为4BC0是正方形，

所以CO1AD,

在梯形AMP。中，PM与4”相交，

所以CD1平面AMPD,

又因为CDu平面ABC。，

所以平面Z8CD1平面4MPD.

(2)设三棱锥4-CMP的高为九，

由(I)知CD1.平面4MPD,且PM1平面CDM,

所以PM1CM,PM±DM,

因为MA=AD=gPC=1,

所以=CM=V3,PM=V2,

所以SA4Mp=%MMD=5,

SACMP=|CM-PM=i-V3-V2=^；

因为VA-CMP='c-AMP，

所以3SACMP,h=[S^.Mp•CD；

即四•八=Nx」xl,

3232

解得仁£

o

所以三棱锥A