沪科版数学九年级下册综合训练50题（含答案）

沪科版数学九年级下册综合训练50题含答案

（填空、解答题）

一、填空题

1.如图，四边形ABCD是。O的内接四边形，ZAOC-1160,则/ADC的角度是

【答案】58°

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【详解】；/AOC和NADC都对A8C，

.,.ZADC=-ZAOC=-xll6°=58o.

22

故答案为：58。.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，

都等于这条弧所对的圆心角的一半.

2.如图是一个球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子

会.（填“逐渐变大”“逐渐变小”）

【答案】逐渐变大

【分析】在灯光下，离点光源越近，影子越大；离点光源越远，影子越小，所以当发

光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会逐渐变大.

【详解】解：根据中心投影的特点，可得：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙

面上的球的影子会逐渐变大，

故答案为逐渐变大.

【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律.中心投影的特点是：①等高的物体

垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的

影子长.②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离

点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

3.某学生想把放置在水平桌面上的一块三角板A8C（ZAC8=90,ZA=30）,绕点C

按顺时针方向旋转。角，转到AAEC的位置，其中4、8'分别是A、8的对应点，B

在W8,上（如图所示），则6角的度数为.

【答案】600

【分析】根据题意有/ACB=90。，NA=30。，进而可得NABC=60。，又有NACA，

=BCB，=NABA，=，，可得NCBB，=g（180。-〃），代入数据可得答案.

【详解】VZACB=90°,ZA=30°,

二ZABC=60°,

.•./ACA，=BCB，=NABA，=（9,NCBB，=；（180。-。），

，，=NABC=60。.

故答案为：60。.

【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每

一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素：①定点是旋

转中心；②旋转方向；③旋转角度.

4.我们学过图形变换的方式有、、.

【答案】平移旋转轴对称

【解析】略

k

5.在-3、-2、-1、1、2五个数中，若随机取一个数作为反比例函数），=一中左的

x

值，则该函数图象在第二、第四象限的概率是.

3

【答案】|

【分析】根据反比例函数的图象在第二、第四象限得出k<0,最后利用概率公式进行

求解.

【详解】•••反比例函数的图象在第二、第四象限，

，2v0,

...该函数图象在第二、第四象限的概率是1,

3

故答案为：—.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象，等可能情况下的概率计算公式，熟练掌握反

比例函数图象的特征与概率公式是解题的关键.

6.如图，在。中，半径0C垂直A8于O,A8=8,CD=2,则一。的半径是.

【答案】5

【分析】设。O的半径为r,则0D=r-2,根据垂径定理得到AD=BD=gAB=4,然后在

RSAOD中根据勾股定理得到(r-2)2+42=r2,再解方程即可.

【详解】设。O的半径为r,则OD=r-2,

VOC1AB,

；.AD=BD;AB=4,

在RSAOD中,；OD2+AD2=OA2,

(r-2)2+42=r2,解得r=5,

即。。的半径为5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理.注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且

平分弦所对的两条弧.

7.如图，已知=90。，点A绕点。顺时针旋转后的对应点A落在射线上，点

A绕点A顺时针旋转后的对应点&落在射线。8上，点A绕点&顺时针旋转后的对应

点A3落在射线。8上，…，连接AA，A4,44…，依此作法，则=

，等于_____度.(用含〃的代数式表示，〃为止整数).

90°

【分析】根据旋转的性质可得。4=。4,再由等腰三角形的性质可得444。=羊，

190°

再由旋转的性质以及等腰三角形的性质可得ZAA2Al=-ZAAlO=­f

190°

ZA43A=-ZA42A=^r，……，由此发现规律，即可求解.

【详解】解：・・•点4绕点。顺时针旋转后的对应点A落在射线。8上，

：.OA=OA,,

90°

・・・ZAAO=—,

2

:点A绕点A顺时针旋转后的对应点A2落在射线。3上，

4A=A4,

190°

・・・仪4=『4。=子

90°

・・・NA&$=180°--=157.5°,

丁点A绕点4顺时针旋转后的对应点,A3落在射线08上，

190°

・・・4A4=5"M.=5F，

...

由此发现：卬出1=930「°

90045

•••"AM=180。一彖=180-品•

故答案,为：157.5。，180°-券45°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点

到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角.三要素中只

要任意改变一个，图形就会不一样.旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改

变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点换同一方向，转动同一个角度.

4

8.如图，AB为O直径，BC是O切线，B为切点,若A5=8,tanZBCA=-,则

AC=________

【答案】10

【分析】根据切线的性质可得根据正切的定义即可求解.

【详解】解：8C是切线，B为切点，

・••BC-LAB,

4

A8=8,tanZBCA=-,

3

.AB-4

••—―，

BC3

BC=6,

：.AC=>JAB2+BC2

故答案为：10.

【点睛】本题考查了切线的性质，正切的定义，掌握以上知识是解题的关键.

9.如图，A、B、C是。O上三点，NOAB=56。,则NACB的度数是

【答案】34。

【详解】连接OB,

ZOAB=56°

/OBA=56°

ZAOB=68°

ZACB=34°

故答案为34。.

10.如图，一块三角形透明胶片刚好在量角器上的位置，点A、8的读数分别是80。、

30°,则=

【答案】25。

【分析】首先设半圆的圆心为O,连接OA,OB,由A点的读数为80。，B点的读数

为30。，即可求得圆心角NAOB的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆

周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得NACB的大小.

【详解】解：设半圆的圆心为O,连接OA,OB,

VA点的读数为80°,B点的读数为30°,

NAOB=80°-30°=50°,

.,.ZACB=^-ZAOB=25°.

故答案为：25°.

【点睛】此题考查了圆周角定理.此题难度不大，正确的作出辅助线是解题的关键.

11.一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的2个红球，1个白球，2个黄

球，搅匀后，从中随机同时摸出两个球，则两个球都是红球的概率为.

【答案喘

2

【分析】第一次5个球里面2个红球概率是不，摸出一个红球之后，是4个球里面1

个红球概率是“相乘得到结果.

211

【详解】解：=

5410

故答案是：—.

【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握概率的求解方法.

12.如图，旗。中，。为BC的中点，以。为圆心，8。长为半径画一弧，交AC于

点E,若NEDC=140。,8c=8,则扇形8DE的面积为一.（结果保留万）

【答案】々乃

【分析】根据N£DC=140。求得NEDB,根据BC=8,求得80,根据扇形面积公式求

出答案即可.

【详解】ZE£）C=140°,

ZEDB=180°-ZEDC=180°-140°=40°,

8c=8,。为BC的中点，

;.BD=4,

扇形BDE的面积为叱"=3万.

3609

故答案为：令灯.

【点睛】本题考查了扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键.

13.从1,-18,6中任取两个不同的数分别作为点的横纵坐标，该点在第二象限的概

率为.

【答案】|

【分析】先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到在第二象限的结果数,

最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】解：根据题意画树状图如下：

开始

由树状图可知共有6种等可能的结果，该点在第二象限的有2种情况，

21

・・・该点在第二象限的概率是-=

63

故答案为：-.

【点睛】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，第二象限点的坐标特征，正确画

出对应的树状图是解题的关键.

14.如图是古希腊数学家埃拉托斯特尼在夏至日这天测量地球子午线周长的示意图，

其中太阳光线AB//CO,CE是竖直插在球面上的木杆，AB,CE的延长线都经过圆心

0.已知B,E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则NOCE的

【分析】将地球近似的看成圆，根据弧长公式即可求解.

【详解】解：E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，

800=40000

360°

解得：ZDCE=1.2°

故答案为：7.2°

【点睛】本题考查了根据弧长公式求圆心角的度数，掌握弧长公式是解题的关键.

15.下列四个命题中，①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③弦长

相等，则弦所对的弦心距也相等；④相等的弧所对的圆心角相等，正确的有

（填序号）.

【答案】④

【分析】根据圆的概念、垂径定理、弦心距、圆心角定理逐个判断即可.

【详解】不在同一条直线上的三点确定一个圆，则命题①错误

平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，则命题②错误

在同圆或等圆中，弦长相等，则弦所对的弦心距也相等，命题③错误

由圆心角定理得：相等的弧所对的圆心角相等，则命题④正确

综上，正确的命题是④

故答案为：④.

【点睛】本题考查了圆的概念、垂径定理、弦心距、圆心角定理，熟记圆的相关概念

和定理是解题关键.

16.某博览馆有A,B两个入口和C,D,E三个出口，小明入馆游览，他从A口进E

口出的概率是.

【答案】|

0

【分析】画树状图，所有等可能的结果有6种，其中小明从A入口进，E出口出的有1

种结果，再由概率公式求解即可.

【详解】解：画树形图如图：

入口AB

/l\ZN

出口DEFDEF

由树形图可知，所有等可能的结果有6种，其中小明从A入口进，E出口出的有1种

结果，

小明从A入口进，E出口出的概率为，，

6

故答案为：7.

【点睛】本题考查的是树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

17.已知正六边形的外接圆的半径是5cm,则该正六边形的边长是一

【答案】5cm.

【分析】如图，求出圆心角NAOB=60。，得到AOAB为等边三角形，即可解决问题.

【详解】解：如图，AB为。O内接正六边形的一边；

o

贝|JNAOB=迎二60。，

6

VOA=OB,

AAOAB为等边三角形，

/.AB=OA=5(cm).

故答案为5cm.

【点睛】该题主要考查了正多边形和圆的有关计算；解题的关键是计算出中心角的度

数.

18.在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与两坐标轴围成一个：AO6.现将背面

完全相同，正面分别标有数1,2,3,g的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取

一张，将该卡片上的数作为点尸的横坐标，将该数的倒数作为点尸的纵坐标，则点尸

落在一AO5内的概率为.

3

【答案】|

【分析】此题可以利用列举的方法代入函数关系式或者在图中表示出来即可求概率.

【详解】由题意得，所得点有5个分别为(1,1),„(3,)6,3),在

坐标轴中画上直线y=-x+3马两坐标轴围成的AQB在平面直角坐标系中描出以上5

个点，如下图所示，可发现在AOB内的点为(L1),(2,£|,

【点睛】本题主要考查一次函数的图像，点的坐标以及等可能事件的概率公式，根据

两点法画出一次函数的图像和各个点所在的位置，是解题的关键.

19.如图，在AABC中，AC=BC=9,ZACB=90°,CD=BC,过点C作CEJ_A£>,

垂足为点H,交力B的延长线于点E,BE=36,则8。的长为

,D

A^------------------------\-----法

E

【答案】12-3夜

【分析】由AC=BC=DC,可得A、B、。三点在以C为圆心，以CB的长为半径的圆

上，如图所示，作三角形A3。的外接圆，连接AE,由勾股定理可求得AB=9夜，由

圆周角定理可得NAOB=g/ACB=45°,再由三线合一定理可得CE垂直平分线AD,

贝|JAE=Z)E,ZEAD=ZEDA=45°,故/AEZA90。，由此求解即可.

【详解】解："：AC=HC=DC,

...A、B、。三点在以C为圆心，以CB的长为半径的圆上，

如图所示，作三角形A3。的外接圆，连接AE,

VZACB=90°,AC=BC=9,

AB=\lAC2+BC2=9夜,-ZACB=45°,

,:AC=CD,CHLAD,

.♦.CE垂直平分线AD,

：.AE=DE,ZEAD=ZEDA=45°,

：.ZAED=90°,

DE=AE=JAB，-BE。=12，

BD=DE-BE=12-342，

故答案为：12-30.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂

直平分线的性质与判定，解题的关键在于根据题意得到A、8、。三点在以C为圆心,

以的长为半径的圆上.

20.一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1,那么这个几何体

的侧面积是

1

*，

H

4

【分析】由题意可知，几何体是圆锥，根据公式直接求解即可.

【详解】解：几何体为圆锥，母线长为5,底面半径为4,

则侧面积为叮1=仆4*5=20兀,

故答案为207t.

【点睛】本题考查三视图求侧面积问题，考查空间想象能力，是基础题.首先判定该

立体图形是圆锥是解决此题的关键.

21.扇形的半径为6cm,圆心角为120。，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥

底面圆的直径是cm.

【答案】4

【分析】根据弧长公式计算.

【详解】解：设此圆锥的底面半径为r,

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得

c120^-6

2m=--------

180

r=2cm.

.••直径为4cm,

故答案为4.

【点睛】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半

径等于圆锥的母线长.本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列

方程求解.

22.如图，正方形A8CD的边长为4,以点4为圆心，AO为半径，画圆弧OE得到扇

形AOE（阴影部分，点E在对角线AC上）.若扇形AOE正好是一个圆锥的侧面展开

图，则该圆锥的底面圆的半径是.

51------------------^c

【答案】:

【分析】设该圆锥的底面圆的半径为r，根据正方形的性质得到ND4C=45。，AD=

4,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧

长公式得到2仃=竺恚」，然后解方程即可.

lol)

【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为r,

•••四边形488为正方形，

.♦.ND4c=45°,AD=4,

根据题意得2〃=,解得r='.

*£1Xu42

故答案为5.

【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等

于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，同时也考查了正方形的性质，熟

练掌握这些性质是解决本题的关键.

23.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为a,以腰AB为直径的。。交BC于点

D.则BD的长为.

【答案】:a

【分析】连接AQ,由A8为直径，即可推出NAQB=90。,再根据等腰三角形的底边上的高

的性质，即可推出CD然后根据8C=*即可推出3。的长度，如图：

A

【详解】。/।\

B-----n-C

连接A£>,；AB为直径，...乙4。8=90。,即4)，86',；等腰三角形48(7,."。=

CD,"：BC=a,.,.BD=-a,故答案为，a.

22

【点睛】本题主要考查了圆周角的性质，解此题的关键在于连接40,利用至今所对的

圆周角是直角，从而得出答案.

24.婷婷和她妈妈玩猜拳游戏.规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数

之和为偶数时婷婷获胜.那么，婷婷获胜的概率为.

13

【答案】

【分析】根据题意，可用列举法、列表法或树状统计图来计算出总次数和婷婷获胜的

次数，从而求出婷婷获胜的概率

【详解】解：根据题意，一共有25个等可能的结果，即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),

(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5);

两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，

所以婷婷获胜的概率为蔡13

13

故答案为：—

【点睛】本题考查的是用列举法等来求概率，找出所有可能的结果数和满足要求的结

果数是解决问题的关键.

25.如图，正方形ABCZ)的边长为4,点P在边A8上，PE_LPC交于点E,点F

在CP上且「F=PE,G为EF的中点，若点尸沿着A8方向移动(不与4重合)，则下

列结论正确的是.(填序号即可)

①NCEP与NCPB可能相等;

②点G的运动路径是圆弧；

③点G到AD、AB的距离相等；

④点G到AB的距离的最大值为2.

【答案】①③④

PEPB\

【分析】证明放△APESR/ABCP,推出再证明RsPCEsR於BCP,

TC~~BC~2

即可判断①;

证明A、E、G、尸四点共圆，推出点G在线段AC上，即可判断②；

利用点G在线段4C上，即可判断③和④.

【详解】解：①当点尸是A8的中点时，NCEP与NCP8可能相等，理由如下:

•••四边形ABCO是正方形，且边长为4,

ZEAP=ZEPC=ZPBC=9Q°,AP=PB=2,

：.NAPE+ZCPB=9Q°,NPCB+ZCPB=90°,

：.NAPE=NPCB,

:.RsAPEsRtABCP,

.APPE_2i

••-=-=—,

BCPC42

..PB_2_1

.=-=-f

BC42

=—=-,XZEPC=ZPBC=90°,

PCBC2

:.RMCEsRmBCP,

：.ZCEP=ZCPBf

・・・NC"与NCP8可能相等，故①正确;

②连接ACPG,

'：PELPC,/.Z£PF=90°,

,:PF=PE,••.△野尸是等腰直角三角形，；./庄尸=45。，

•；G为EF的中点，；.GE=GP=GF,

二ZEGP=90°,

VZDAB=ZEGP=90°,

.M、E、G、P四点共圆，

ZGEP=ZGAP=45°,

.•.点G在线段AC上，故②不正确；

③YAC是正方形ABCD的对角线，即AC是ND4B的平分线，

.♦.点G到AO、A8的距离相等；故③正确：

④当点尸与点B重合时，点G到A8的距离最大，最大值为2.故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了四点共圆的知识，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性

质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条

件.

26.如图，二次函数y=x(x-3)(04x43)的图像，记为C-它与x轴交于点0,A,,

将G绕点A旋转180。得C?,交x轴于点4；将C?绕点为旋转180。得G，交x轴于点

Aj；........若打2020,何在这个图像连续旋转后的所得图像上，则机=.

【答案】2

【分析】求出抛物线G与X轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在X轴上

方，再根据向右平移横坐标相加表示出抛物线的解析式，然后把点P的横坐标代

入计算即可得解.

【详解】解：由一段抛物线为y=x（x—3乂04、43）,

.••图象与x轴交点坐标为：（0,0）,（3,0）；

v将G绕点A旋转180。得G，交x轴于点&,

此时与x轴交点坐标为：（3,0）,（6,0）,图像在x轴上方；

将G绕点&旋转180。得G，交x轴于点4，

此时与x轴交点坐标为：（6,0）,（9,0）,C3图像在x轴下方；

如此进行下去，直至得

•••此时与x轴的交点横坐标为（2019,0）,（2022,0）,且图象在x轴上方，

•••C674的解析式为：J674=-（X-2019）（X-2022）,

.•.点P在。674的图像上，

当x=2022时，y=2,

〃?=2；

故答案为：2.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，以及图形的旋转变换，根据坐标平移

规律得出Cm与x轴的交点坐标，进而得到解析式是解题关键.

27.如图，正方形ABCD的边长为3,F为CD边上一点，DF=1.将AADF绕点A顺

时针旋转90°,得到4ABE,连接EF,贝|JEF=.

【答案】275

【分析】根据旋转的性质可知4EAF=90。，AF=AE,然后根据勾股定理求出AF即可求

出EF.

【详解】解：根据旋转的性质可知4EAF=90。，AF=AE

•••DF=1,AD=3

AF=y/ACP+DF2=W+f=710

EF=>]AE2+AF2=^(Vio)2+(Vio)2=2后

故答案为：2石.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理，根据旋转得出NEAF=90。，

AF=AE是解题的关键.

28.如图，在平面直角坐标系xOy中，点4(0,8),点B(-3,4),直线/：y^kx,过点

A作AQ，/,垂足为点Q,连接AB、QB,则AQB的面积的最大值为.

【分析】如图，以04的中点M为圆心为直径作圆，过点用作交A8于点

N,延长NM交M于点。，此时AQ8的面积最大，连接BM可得，BMYAM,根

据题意得出QM=AM=4,BM=3,AB=5,由等面积法求出仞V,从而得出QN,因此

求得-AQB的面积的最大值.

如图，以0A的中点M为圆心,为直径作圆，过点M作A/N/AB交A8于点N,延长

NM交于点。，此时.AQB的面积最大，

连接BM,由题可得：40,8),"(0,4),仇一3,4),

BMLAM,QM=AM=4,BM=3,AB=5,

.\-xABxMN=-xBMxAM,

22

12

:.5MN=3x4,即MN=不，

1232

:.QN=QM+MN=4+—=—,

113?

：.SAQB=-XABXQN=-X5X—=\6,

AQB的面积的最大值为16.

故答案为：16.

【点睛】本题主要考查了圆的性质，掌握直径所对的圆周角为90。找出QN的最大值是

解题的关键.

29.如图，在平面直角坐标系中有点43,0),点B(0,3),将线段AB绕点A顺时针旋转

60。得到AC,连接BC.N为BC边上一点，M为A8延长线上一点，使BM=CN,连

接MN,将线段MN绕点N逆时针旋转120。得到NP,连接0P.当ZAOP=

时，线段OP最短.

x

【答案】75。##75度

【分析】如图，先添加辅助线，运用已知条件证明A/VBMgAAEMSAS）,得，

NM=AN=NP；然后再求得/。4/>=45。+120。=165。，由此知点尸在直线以上，根

据垂线段最短可知0P最小时的NAOP的角度.

【详解】解：过点N作N£〃A8交AC于点E,连接4V、PA,过点。作O尸_LPA交

Q4的延长线于点E

OA=OB,ZAOB=90°,

ZOAB=ZOBA=45°9

△ABC是等边三角形，NE//AB,

•e•易知△CNE是等边三角形，

:,CN=CE=NE,

BM=CN、CB=CA,

:.NE=BM,BN=AE,

•「NCSA=NCEN=60。，

:.^MBN=^NEA=\20°,

^NBM畛MEN(SAS),

:.NM=AN

.NM=NP,NA=NP,

:.^NAP=^NPAfZNAM=ZNMAf

2NNAM+2/NAP+/MNP=360°,

2ZNAM+2ZNAP=240°,

ZMAP=ZNAM+ZNAP=120°,

/.ZOAP=45。+120°=165°,

・2Q4b=180?-165?,

・••点尸在直线Q4上运动（NQ4P=165。），

根据垂线段最短可知，当点P与点尸重合时，OP的值最小，此时

ZAOP=90°-15°=75°.

故答案为：75°.

【点睛】此题是几何旋转变换的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，点到直线

的垂线段最短等知识，如何添加辅助线构造全等三角形是解此题的难点.

二、解答题

30.掷两枚普通的正方体骰子，把两个骰子的点数相加，请问下列事件中哪些是必然

发生的，哪些是不可能发生的，哪些是可能发生的？并说明原因.

(1)和为1；(2)和为4；(3)差为6；(4)和小于14

【答案】见解析

【分析】根据事件的分类的定义解题即可.

【详解】解：(1)最小的和为2,故和为1属于不可能事件，

(2)和可能为2和12之间的任意一个数，故和为4属于可能事件，

(3)差最大为5,故差为6属于不可能事件，

(4)和最大为12,故和小于14属于必然事件；

【点睛】本题主要考查事件的分类，熟悉分类标准是解题关键.

31.一个不透明的口袋中装有7个红色的小立方块和若干个黄色的小立方块，这些小

立方块除了颜色外其他都相同.从口袋中随机摸出一个小立方块，记下颜色，再把它

放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了300次，其中105次摸到红色的小立方

块.试估计口袋中大约有多少个黄色小立方块？

【答案】估计口袋中有13个黄色小立方块

【分析】先求出摸到红色小立方块的概率，进而求出小立方块的总数，即可得出黄色

小立方块的个数.

【详解】解：•一共摸了300次，其中105次摸到红色的小立方块，

•・・摸到红色小立方块的概率为：黑=工，

3002U

一个口袋中装有7个红色的小立方块和若干个黄色的小立方块，

7

二小立方块总数为：7^—=20(个)，

，黄色小立方块有20-7=13(个).

答：估计口袋中有13个黄色小立方块.

【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，把实际问题转化为数学问题，灵活运用概

率公式是解题的关键.

32.2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张

正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面

印有冰墩墩图案的卡片分别记为A/、A2,正面印有雪容融图案的卡片记为B,将三张

卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗

匀后再从中随机抽取一张卡片.

冰墩墩Ai冰墩墩A,雪容融B

(1)从这三张卡片中随机挑选一张，是“雪容融'’的是—事件(填“必然"“随机'’或"不

可能”);

(2)请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率.

【答案】⑴随机

(2)?

【分析】(1)根据随机事件的概念即可判断求解;

(2)画出树状图，共有9个等可能的结果，小明两次抽到冰墩墩的结果有四次，即得

解.

(1)

根据随机事件的概念，可知从这三张卡片中随机挑选一张，是“雪容融”的是随机事

件.

(2)

画树状图如图:

开始

B

A।A?BA|A?BA|A?B

共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个,

・p_4

・・尸(小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片)—§•

【点睛】本题考查了随机事件的概念以及用树状图求解随机事件概率的知识；概率=所

求情况数与总情况数之比.

33.如图，△ABC内接于。O,BD为。0的直径，ZBAC=120\0A1BC,若AB

=4.

(1)求证：四边形0ACD为菱形.

(2)求AD的长.

【答案】⑴证明见解析；(2)AD=46.

【分析】(1)由已知条件和垂径定理以及圆周角定理易证四边形0ACD为平行四边形,

再由邻边相等的平行四边形为菱形，可得结论；

(2)由(1)可知BD=2AB=8,在RsABD中利用勾股定理即可求出AD的长.

【详解】⑴证明:VOA1BC,

*,•农B=，

；.AB=AC,ZCDA=ZADB=yZCDB,

VZBAC=120°,

.,.ZBDC=180°-120°=60°,

NCDA=NADB=30。，

：BD为(DO的直径，

Z.ZBAD=90°.

；.AC=AB=gBD,ZCAD=ZCAB-ZBAD=30°,

：.AC//OD,AC=OD,

A四边形OACD为平行四边形，

又：OA=OD,

二四边形OACD为菱形；

(2)由(1)可知BD=2AB=8,

在Rt^ABD中，AD=5/g2-42=473.

【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及勾

股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记和圆有关的各种性质定理是解题

的关键.

34.已知：如图，AABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆。的半径长为r.求

△ABC的面积S.

【答案】S=1(a+b+c)r

【分析】设△ABC与。0相切与点D、E、F.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,

根据SAABC=SAAOB+SAOBC+SAOAC>即可求解

【详解】如图，设△ABC与。。相切与点D、E、F.连接OA、OB、OC、OD、OE、

OF.

则ODJLAB,OE1AC,OF±BC.

_1

,**SAAOB=yAB*OD=cr,同理，SAOBC=yar,SAOAC=5br.

*«'SAABC=SAAOB+SAOBC+SAOAC，即S=Tcr+gar+gbr=g(a+b+c)r

【点睛】本题考查了三角形的内切圆的计算，正确作出辅助线，把△ABC的面积的计

算分解成几个三角形的面积的计算是关键.

35.下面是小坟同学设计的“作一个角等于已知角''的尺规作图过程.

已知：在△ABC中，AB=BC,BO平分NABC交AC于点。.

求作：ZBPC,使NBPC=N8AC.

作法：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E和点

F,

连接EF交8。于点0；

②以点。为圆心，08的长为半径作。0；

③在劣弧48上任取一点P（不与点A、8重合），连接BP和CP.所以

ZBPC=ZBAC.

根据小坟设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接04OC.

"：AB=BC,8。平分Z48C,

：.BD±ACS.AD=CD.

：.OA=OC.

,/EF是线段BC的垂直平分线，

：.0B=.

：.OB=OA.

...（DO为^ABC的外接圆.

•.•点P在。。上，

:.NBPC=NBAC（）（填推理的依据）.

【答案】（1）作图见解析

（2）0C,同弧所对的圆周角相等

【分析】（1）按照步骤作图即可

（2）由垂直平分线性质，以及圆周角性质补全证明过程即可.

【详解】（1）如图所示

（2）证明：连接。A、OC.

"：AB=BC,平分NABC,

.*.BO_LAC且4Z）=C£>.

：.OA=OC.

是线段8c的垂直平分线，

：.OB=OC.

：.OB=OA.

二。。为△ABC的外接圆.

；点P在。。上，

：.NBPC=NBAC（同弧所对的圆周角相等）.

【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线性质、圆周角性质，线段垂直平分线

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，圆周角性质推论：同

弧或等弧所对的圆周角相等.

36.为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了

四个项目：A.阅读数学名著；B.讲述数学故事；C.制作数学模型；D.挑战数学游

戏要求七年级学生每人只能参加一项.为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分

学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问

题：

项目ABCD

人数/人515ab

C

B

(1)a=,b=.

(2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为度.

(3)在月末的展示活动中，“。，项目中七(1)班有3人获得一等奖，七(2)班有2人

获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比

赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率.

【答案】⑴20；10

(2)108

【分析】(1)根据A项目人数为5,占比为10%,得出总人数，然后根据。项目占比

得出。项目人数，利用总人数减去各项目人数即可得出C项目人数；

(2)利用B项目占比然后乘以360度即可得出结果；

(3)设七(1)班有3人获得一等奖分别为F、G、H；七(2)班有2人获得一等奖

分别为M、M利用列表法得出所有可能的结果，然后找出满足条件的结果即可得出

概率.

【详解】(1)解：4项目人数为5,占比为10%,

，总人数为：5口0%=50；

。项目人数为：6=50x20%=10人，

C项目人数为：a=50-10-5-15=20A,

故答案为：20；10；

(2)解：1^x360o=108°,

故答案为：108；

(3)解：设七(1)班有3人获得一等奖分别为尸、G、H-七(2)班有2人获得一

等奖分别为M、N；

列表如下：

FGHMN

FFGFHFMFN

GGFGHGMGN

HHFHGHMHN

MMFMGMHMN

NNFNGNHNM

共有20中等可能的结果，其中满足条件的有12中结果，

205

2名同学来自不同班级的概率为

【点睛】题目主要考查统计表及扇形统计图，利用树状图或列表法求概率等，理解题

意，综合运用这些知识点是解题关键.

37.如图，AB是GD的直径，AC与GO交于点F,弦AD平分DE1AC,

垂足为E

(1)试判断直线DE与GD的位置关系，并说明理由；

(2)若GO的半径为2,NBAC=60°,求线段EF的长.

【答案】⑴直线DE与GD相切；⑵EF=1.

【分析】(1)欲证明DE是OO的切线，只要证明NO£>E=9tf即可；

(2)过。作OGLA产于G,得到AR=2AG,根据直角三角形的性质得到

AG=-OA=],得到AF=2,推出四边形AODF是菱形，得到。F〃OA,

。尸=OA=2,于是得到结论.

【详解】(1)直线DE与。O相切，

连结OD.

：AD平分/B4C,

,ZOAD=ZCAD,

"：OA=OD,

：.ZOAD^ZODA,

，ZODA=ZCAD,

：.ODAC,

VDEIAC,即/AE£>=90°,

NO£>E=90",即WO£>,

；.DE是。O的切线；

(2)过O作OGJ.A尸于G,

,/AF=2AG,

ZBAC=60°,OA=2,

：.AG=-OA=],

2

二AF=2,

：.AF=OD,

六四边形AODF是菱形，

VDF//OA,DF=OA=2,

，NEFD=NBAC=60"

：.EF=-DF=\.

【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

38.如图，AB是;。的直径，点尸，C是：。上两点，连接AC,AF,OC,弦AC

平分NK48,过点。作8,4尸，交他的延长线于点D

⑴求证：co是：。的切线；

(2)若ZO4C=30。，AB=6,则弧AC的长为.

【答案】(1)证明见解析

(2)27

【分析】(1)根据角平分性质得到NE4C=NC4O,由根据AO=CO,得到

ZACO=ZCAO,进而得到/E4C=NACO,证明出A£)〃OC,最后根据CDLAF,

即可证明CD是二。的切线；

(2)根据皿C=3(F,得到Z4OC=120。，再根据弧长公式即可求出弧AC的长.

【详解】(1)证明：平分

ZFAC=ZCAO,

'：AO=CO,

ZACO=ZCAO,

：.ZFAC=ZACO,

：.AD//OC,

"：CDA.AF,

：.CD1OC,

,:点C在圆上，

二CD是「O的切线；

(2)解：VZDAC=30°,AB=6,

ZACO=ZC4O=Z£MC=30°,OA=OC^3,

：.ZAOC=UO0,

...弧AC的长=耳争=2万，

1OU

故答案为：2兀.

【点睛】本题考查了弧长公式，角平分线性质，平行线判定条件，圆的切线判定定理

等知识，熟练掌握弧长=覆是解题关键.

1o0

39.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O分别与BC,AC交于点D,

E,过点D作DFLAC,垂足为F.

A

（1）求证：DF为。O的切线;

（2）若AE=4五,ZCDF=22.5°,求阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析；（2）S.；=4兀-8.

【分析】（1）连接AD、OD,则ADLBC,D为BC中点.OD为中位线，则

OD〃AC,根据DF_LAC可得ODJ_DF.得证;

（2）连接OE,利用（1）的结论得NABC=NACB=67.5。,易得/BAC=45。，得出

NAOE=90。，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论.

【详解】（1）证明：连接AD,OD.

...NADB=90°,

AAD1BC,

VAB=AC,

；.D是BC的中点,

•••O是AB的中点,

；.OD〃AC,

.,.ZODF+ZDFA=180°,

VDF±AC,

.,.ZDFA=90°.

ZODF=90°.

，OD_LDF

，DF是。O的切线;

(2)连接OE,

VZADB=ZADC=90°,ZDFC=ZDFA=90°,

.../DAC=NCDF=5。，

VAB=AC,D是BC中点，

ZBAC=2ZDAC=2x22.5°=45°,

VOA=OE,

...NOEA=NBAC=45。.

；./AOE=90°,

：AE=4及，

；.0A=0E=4.

S阳修=S扇形AOE-SAAOE=47T-8.

【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的判定和性质、扇形的面积公式等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴

影部分面积.

40.如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，求这个几何体表面积的

大小（结果保留TT）.

在视图）（左视图）

俯视图

【答案】157r+12

【分析】由几何体的三视图得出该几何体的表面是由两个长方形和一个曲面再加两个

扇形围成，结合图中数据求出组合体的表面积即可.

【详解】解：由几何体的三视图可得：

该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成，

3

其侧面积为3x（二'2"2+2+2）=9兀+12,

4

一3

上下底面面积为2x：F・22=6兀，

4

故这个几何体表面积为9兀+12+6兀=15n+12.

【点睛】本题考查了由几何体三视图求几何体的表面积的应用问题，考查了空间想象

能力，由三视图复原成几何体是解决问题的关键.

41.现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它分割成几块，然后适当拼

接，制成某种特殊形状的板面（要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙），请你按

下列要求，帮助木工师傅分别设计一种方案：

（1）板面形状为非正方形的中心对称图形；

（2）板面形状为等腰梯形；

（3）板面形状为正方形.

请在方格纸中的图形上画出分割线，在相应的下边的方格纸上面画出拼接后的图形.

(1)(2)(3)

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【分析】（1）从两层之间切割，使之拼成一个长方形即可；

（2）从第一层左侧和第二层右侧切出两个全等的三角形，然后拼成一个等腰梯形即

可；

（3）在最左边两格和底层右侧两格切出两个全等的三角形，然后拼成一个正方形即

可.

【详解】（1）板面形状为非正方形的中心对称图形，

(2)板面形状为等腰梯形,

【点睛】本题以图形的分割与拼接为背景，考查了中心对称的定义和空间观念，掌握

知识点是解题关键.

42.已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数)，=±(x>0)的图象交于点4

X

(1,3)和点8(3,"),与x轴交于点C,与y轴交于点。.

(1)求反比例函数的表达式及〃的值；

(2)将△08沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图

象交于点F.

①请求出点尸的坐标；

②将线段BF绕点8旋转，在旋转过程中，求线段。尸的最大值和最小值.

图1图2