江苏省连云港市2024-2025学年高二数学上学期第一次阶段测试含解析

Page142024-2025学年第一学期第一次阶段测试高二数学试卷一、单选题（每题5分，共40分）1.直线可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据直线斜率的正负值与定点即可推断结果．【详解】因为，所以AC错；当时，，故B对；故选：B2.若三条直线，和相交于一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直线与直线的交点坐标，再将交点坐标代入直线的方程中，可求得实数的值.【详解】联立，解得，即直线与直线交于点，将点的坐标代入直线的方程中，得，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用三条直线的交点坐标求参数，考查计算实力，属于基础题.3.假如方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有A.D＝E B.D＝F C.F＝E D.D＝E＝F【答案】A【解析】【详解】由题知圆心（,）在直线y＝x上，即＝，∴D＝E.故选A.考点：圆的一般方程.4.顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（）A.平行四边形 B.直角梯形C.等腰梯形 D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来推断即可得出结论.【详解】，，则，所以,与不平行，因此故构成的图形为直角梯形.故选：B.5.圆与圆的位置关系是（）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可推断出两圆的位置关系.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，两圆圆心距为，所以，，因此，两圆相交.故选：C.6.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先依据直线方程推断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.【详解】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的学问点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.7.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时依据弦长公式得最小值为.故选：B.【点睛】本题考查圆的简洁几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算实力，属于中等题.二、多选题（每题5分，共20分）9.下列说法错误是（）A.平面直角坐标系内的随意一条直线都存在倾斜角和斜率B.点关于直线的对称点为C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】AD【解析】【分析】A留意垂直于x轴的直线；B由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上推断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D留意直线也符合要求即可推断.【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误；B：由、中点为且，两点所在直线斜率为，故与垂直，正确；C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确；D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误.故选：AD10.已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.11.已知直线，动直线，则下列结论正确的是（）A.不存在，使得的倾斜角为90° B.对随意的，直线恒过定点C.对随意的，与都不重合 D.对随意的，与都有公共点【答案】BD【解析】【分析】对A，令即可推断正误；对B，化简直线方程，依据定点满意的系数为0，且满意方程即可；对C，令即可推断正误；对D，依据B可得过定点推断即可【详解】对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误；对B，，解可得，故过定点，故B正确；对C，当时，，明显与重合，故C错误；对D，过定点，而也在上，故对随意的，与都有公共点，故D正确；故选：BD12.古希腊闻名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发觉；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满意，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为 B.在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10C.在C上存在点M，使得 D.C上的点到直线的最大距离为9【答案】AD【解析】【分析】由题意可设点，由两点的距离公式代入化简可推断A选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可推断B选项.设，由已知得，联立方程求解可推断C选项；由点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此可推断D选项.【详解】解：由题意可设点，由，，，得，化简得，即，故A正确；点（1，1）到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误.设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，故C错误；C的圆心（-4，0）到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确；故选：AD.三、填空题（每题5分，共20分）13.已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率k为___________【答案】##【解析】【分析】设出直线方程，然后依据题意进行平移，最终依据两直线相同列出等式计算即可.【详解】设直线方程为，平移后直线方程为，整理得到，因为平移后方程仍是原方程，可得，即.故答案为:14.经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合能求出访直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围．【详解】解：如图，，，，，，则使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围为，，又直线倾斜角的范围是：，且直线l的倾斜角的范围为．故答案为：．15.两条平行直线：与之间的距离是____【答案】##【解析】【分析】依据两平行线的距离公式计算即可.【详解】，依据两平行线的距离公式可知故答案为:16.已知圆，圆，动点P在x轴上，动点M，N分别在圆和圆上，则圆关于x轴的对称圆的方程为___；的最小值是____【答案】①.②.【解析】【分析】求出圆的圆心坐标关于x轴的对称点坐标，即可得圆关于x轴的对称圆的方程；由题意，依据对称性，即可得答案.【详解】解：因为圆，所以圆心坐标为，半径为1，因为圆心关于x轴的对称点为，所以圆关于x轴的对称圆的方程为；由题意，设动点M关于x轴的对称点为，则在圆的对称圆上，所以.故答案为：；.四、解答题（第17题10分，其余每题12分）17.已知直线l:＋＝1.（1）假如直线l的斜率为2，求实数m的值；（2）假如直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程．【答案】（1）m＝4；（2）x＋y－1＝0.【解析】【分析】（1）解方程＝2即得解；（2）解不等式组得到的取值范围，再求出S＝－(m－1)2＋，利用二次函数求解.【小问1详解】解：直线l的方程可化为y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4.【小问2详解】解：直线l与两坐标轴的交点为(2－m，0)，(0，m)．据题意知解得0<m<2，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为S＝m(2－m)＝－(m－1)2＋.因为0＜m＜2，所以当m＝1时，S取到最大值，故所求直线l的方程为＋＝1，即x＋y－1＝0.18.在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点，且______.（1）求圆E的一般方程；（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，依据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，依据几何法确定圆心和半径即可求解，（2）依据相关点法即可求解轨迹方程.【小问1详解】方案一：选条件①.设圆的方程为，则，解得，则圆E的方程为.方案二：选条件②.直线恒过点.因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.方案三：选条件③.设圆E方程为.由题意可得，解得，则圆E的方程为，即.小问2详解】设.因为M为线段AP的中点，所以，因为点P是圆E上的动点，所以，即，所以M的轨迹方程为.19.在中，E，F分别为AB，AC的中点，建立适当的直角坐标系，求证：，且．【答案】证明见解析.【解析】【分析】建立坐标系，设出A、B、C的坐标，表示出E、F的坐标，利用向量证明即可.【详解】依据题意，如图建立坐标系，设，，点分别为的中点，则，则，则有，故，且.20.已知圆与y轴相切于点，圆心在经过点与点的直线l上．（1）求圆的方程；（2）若圆与圆相交于M，N两点，求两圆的公共弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用两点求出直线方程l，利用圆心在l上又在求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆的方程；(2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的公共弦长．【小问1详解】经过点与点的直线l的方程为，即，因为圆与y轴相切于点，所以圆心在直线上，联立解得可得圆心坐标为，又因为圆与y轴相切于点，故圆的半径为4，故圆的方程为．【小问2详解】圆的方程为，即，圆，两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为，圆的圆心到直线的距离，所以两圆的公共弦长为．21.圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度米，拱高米，在建立时每隔4米需用一根支柱支撑．（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；（2）求支柱的长度（精确到0.01米）．【答案】（1），()；（2）米.【解析】【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧方程为且，将点坐标代入求参数，即可得方程.（2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在方程求y，即可知的长度【小问1详解】构建如下直角坐标系，则，，，设所在圆弧方程为且，，解得，所以圆弧的方程，.【小问2详解】由题设知：，则，且在圆弧上，所以，可得，故的长度为米.22.已知直线与圆.（1）求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；（2）设O