六年级下册数学试题-奥数讲义：第四讲 几何-平面部分（解析版）全国

第四讲平面几何部分

教学目标：

1,熟练掌握五大面积模型

2.掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如右图A：科=a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图耳3=瓯皿；

反之，如果%^二总但，则可知直线平行于CD.

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如困在—BC中，分别是48,4。上的点如图⑴（或£＞在皿的延长线上，E在/C上），

则5人18c二联皿=（48xAC）:（,ADxAE）

图⑵

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）;

①5:S2=S4：S3鼠者\xS&②AO:OC=（A+£）：（S4+国）

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径,通过构

造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联

系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例

关系.B

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:

①牛5'=，："

28

②牛鼻:S2T,s4=a:2/:ab:ah;

③S的对应份数为（a+°）2-

四、相似模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

D

ADAEDEAF

〈a।〉————,

ABACBCAG

21

②SA^HF：S/\ASC—AF'AG.

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），

与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角彩两边中点的线段叫做三角彩的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.

五、燕尾定理

在三角形4BC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么

:S&8=BDtDC.

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手毯，因为A/LBO和A48的形

状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理,该定理在许多几何题目中都

有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角

形中的三角影面积对应底边之间提供互相联系的途径，

典型例题

【例1】如图，正方形48。。的边长为6,AE=15,CF=2.长方形E歹GH的

面积为.

【解析】连接DE,DF,则长方形E尸GH的面积是三角形DE歹面积的二倍.

三角形D6Tb的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

=6x6—1.5x64-2—2x6+2—4.5x4-^-2=16-5，所以长方形EFGH面积为33.

【巩固】如图所示，正方形皿8的边长为8厘米，长方形即前的长的为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四

边形）,三角彩面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.

证明：连接dG.（我们通过A4BG把这两个长方形和正方形联系在^一起）.

7在正方形4BCD中，;万乂幺石乂4®边上的高,

；.Sd1aB=/皿0（三角彩面积等于与它等底等高的平行四边彩面积的一半）

同理，S4Axi=•

，正方形4B8与长方形呼GB面积相等.长方形的宽=8x8440=6.4（厘米）.

【例2】长方形48co的面积为36cm,尼、尸、G为各边中点，H■为如边上任意一点，问阴影部分面积

是多少?

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC,如下图:

可得:而

x

即S4cHs+5皿研+S&jjgQ=—(*5*^8+^&CHB+S&CHD)~~36—18；

而SMHB+5，ABW+SHXG=1SBB+5ASBF，S&EBF=万xBExBF=-*(-x45)x(-x5C)=-x36=4.5.

所以阴影部分的面积是：‘最=18-S皿=18-4.5=13.5

解法二：特殊点法.找H•的特殊点，把H■点与。点重合，

据影=S-fflO--S&BSF-S&C¥D=36-5X5X36-5X5X5X36-5X5X36=135.

【巩固】在边长为6厘米的正方形的D内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分

别与尸点连接,求阴影部分面积.

【解析】（法1）特殊点法,由于尸是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设尸点与d点重合，则阴影

部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的工和L,所以阴影部分的

46

面积为6%（白+与=15平方厘米.

46

（法2）连接El、PC.

由于A7ZD与AflBC的面积之和等于正方形4BCD面积的一半，所以上、下两个闲影三角影的面积之

和等于正方影4BCD面积的工，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形488面积的

4

-,所以阴影部分的面积为62x（9+3=15平方厘米.

【例3】如图所示，长方形加CD内的阴影部分的面积之和为70,4B=8,AD=15,四边形ETOO的面积

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形4OE、"X;和四边形印GO的面积之和，以及三角形

/C瓶和DOG的面积之和，进而求出四边形印G。的面积，

由于长方形488的面积为15x8=120,所以三角形5OC的面积为120x1=30,所以三角形47E和

4

ZJOG的面积之木。为120x3—70=20;

4

又三角形4OE、ZX9G和四边形印GO的面积之和为120X（L-L）=30,所以四边形班O0的面积为

（24J

30-20=10.

另解：从整体上来看，四边形SGO的面积=三角彩匕面积+三角形BED面积-白色部分的面

积，而三角形arc•面积+三角形BED面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形

面积减去历影部分的面积，FP120-70=50,所以四边影的面积为60-50=10.

【巩固】如图，长方形4BCD的面积是36,E是3的三等分点，AE=2ED,则阴影部分的面积

为.

B

【解析】如图，连接CE.

根据蝴蝶定理，ON:ND=5必0f：5必应='Z^ACAE二^ACDE二1二】，所以Sgcv=^SAQED；

：谢^也^二二所以艮，

OM:MA=S1ssQHSA2W£=—5:S14,=§§94

又S3=：x：S矩形3=3,5",=2sMsc=6,所以阴影部分面积为：3xl+6xl=2.7.

3425

【例4】己知四。为等边三角形，面积为400,。、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为

143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形两）

【解析】因为。、E、F分别为三边的中点，所以JDE、DFx即是三角彩4BC的中位线，也就与对应的途

平行，根据面积比例模型，三角形4BN•和三角形HMC的面积都等于三角形&3C1的一半，即为200.

根据图形的察斥关系，甯SfuiBC-,丙二S&ABN»SfMK：-SAAOIN,

即400—%=200+200—Sg,所以“二邑i,

=—

又占月熨+SAXDF=与+吒+SAIGN.>所以S阴影=S甲+展,+—S&iap143—x400=43.

【例5】如图，己知8=5,DE=1,£F=15,FG=6,线段却将图形分成两部分，左边部分面积是

38,右边部分面积是65,那么三角形皿?的面积是.

【解析】连接“，BD.

木艮据题意可女a,<2^=54-7+15=27;«?=7+15+6=28;

，

所以，SflC_1221

1ssltACRF〉^ABEC=~^SAaF,^&AEG=TT^A4ZX?.'&AED=

27N8

2115712

于是：^SAADG+^S&CBIT=65；^SIUDG+Z^1SACBK=38；

Xo2/AoN/

可得S“x=40,故三角形4DG的面积是40.

【例6】如图在八四。中，。*分别是上的点，且■X4B=2:5,AE:AC=4:1,5八"=16平方

厘米，求—BC的面积.

A

A

【解析】连接BE,SijnE：SiJJK=JLD:^B=2:5=(2x4):(5x4),

S^-S^=^£:^C=4:7=(4x5):(7x5),所以5但=(2x4”(7x5),设S3=8份，则

S3：=35粉，S/q=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，—BC的面积

是70平方厘米,由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角

或互补角)两夹边的乘积之比.

【巩固】如图，三角形4BC中，5是皿的5倍，4C是盘的3倍，如果三角形如式的面积等于1,那么

三角形血的面积是多少？

【解析】连接BE.

;EC=3AE

•\SJfgf.=3Sygr

又♦；AB=5AD

,,=S.履Hw5=S^Afr.-=-15,••iS^gp==15.

【巩固】如图，三角形NBC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,4E=6,乙部分面

积是甲部分面积的几倍？

【解析】连接2to.

VBE=3,AE=6

**AB=3BE,Stj1so=3SABX

又BD=DC=4,

=

*,邑皿2S“1rl，♦♦邑118c=6邑11K,龟=5/•

【例7】如图在△/归。中，。在加的延长线上，E在4。上，且/8[4£)=5:2,

AEzEC=3:2,&^=12平方厘米，求△/IBC的面积.

【解析】连接BE,w:=AD:JLB=2:5=(2x3):(5x3)

5^:5^.=^:^=3:(3+2)=(3x5):[(3+2)x5],

所以％速二%6=0x2):[5x(3+2)]=6:25,设53=6份，则Sx=25份，53=12平方厘

米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，AABC的面积是50平方厘米,由此我们得到一

个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例8】如图，平行四边形48cD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=^AD,平行四边形4BCD的

面积是2,求平行四边形4BCD与四边形印GH■的面积比.

【解析】连接4C、BD.根据共角定理

在/\ABC和ABFE中，ZABC与ZFBE互补，

.Sj^ABBC1

GratBE-BF1x33

又S&1BC=1，所以,^ZLRSE=3.

,7

同理T-f-TS&3b-8>SAOBG=15,SAJEH=®,

所以=6入即+电O»J+£1cBe+&JEF=8+8+15+3+2=36.

所“"以S“,k=n°一=—2=—1.

SK1RAL3618

【例9】如图所示的四边形的面积等于多少？

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图影实施变换：

把三角影O4B绕1页点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角影QB将旋转到三角形OC3J

的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来

四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为12x12=144,(也可以用勾股定理)

【例10]如图所示，A4BC中，ZABC=90°,4B=3,BC=5,以4C为一边向AztBC外作正方形4CDE,

中心为O,求A0BC•的面积.

£

【解析】如图，将A3B沿着O点顺时针旋转90。，到达AOCF的位置.

由于NABC=90°,ZAOC=900,所以NQ4B+NOCB=1800，RZ<X^=/QAB,

所以NOCF+NOCHMISOO,那么3、。、尸三点在一条直线上.

由于OB=OW,ZB(^=ZAOC=90°,所以ABOF■是等腰直角三角形，且斜边Bf为5+3=8,所以

它的面积为8%[=16.

4

根据面积比例模型，人。》(7的面积为16'2=10.

8

【例11]如图，以正方形的边冲为斜边在正方形内作直角三角形血E,ZAEB=90°,ACED交于O

.己知筮、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形QBE的面积.

【解析】如图，连接DE,以4点为中心，将AJDE顺时针旋转90。到2UBF的位置.

那么NEAFu/EiB+NaiFM/EAB+NZilEM为。，而NAEB也是900,所以四边形"BE是直角梯

形，S-AF=AE=3,

所以梯形4BE的面积为：

(3+5)x3xl=12(cm2).

又因为A4BE是直角三角形，根据勾股定理，AB1=AE1+BE1=3^+52=3^,所以

S&ABD=]/必=17(on2).

2

那么S6aBe=S——(aME+5皿区)=£1ao—SXEBE=17-12=5Icm

2

所以Sggj=-SAiD£=2-5(can).

【例12】如下图，六边形4B6EF中，AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有四平行于ED,或平行于

CD,BC平行于EF,对角线FD垂直于RD,己知皿=24厘米，JBD=18厘米，请问六边形

4B8EF的面积是多少平方厘米？

【解析】如图，我们将ABCD平移使得8与4产重合，将ADEF平移使得皿与4B重合，这样印、BC都重

合到图中的4G了.这样就组成了一个长方形5仟D,它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形

BGFD的面积为24x18=432平方厘米，所以六边形4B6E尸的面积为432平方厘米，

【例13］如图，三角形HBC的面积是1,E是4C的中点，点。在上，且JBD:DC=L2,4D与BE交于

点尸.则四边形DFEC的面积等于.

邑_BD_1

【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理,

f言

S^ACFDC2ACBF

设S&BDF-1粉，财SjXDCF=2份，S△即p=3份,‘△次庭=S\邱c=3份，如图所标

所以邑CEF=^S皿（„；=丘

方法二：连接。厄，由题目条件可得到S△皿=；必皿=:

3

。1。12。1…班S”

^AADE~~Z^AADC=不乂=£>所以——=△皿=

^ADSF=~X^AD£B~~X~X^/\BEC=~K~X~X^AABC=~,

_c21cl、、5

而^ACDE=§X,X=§,所以则四边形DFEC的面积等于—.

【巩固】如图，长方形4BCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,^是女的中点.阴影部分的面积是多少平

方厘米？

【解析】设&nep=l粉，则根据燕尾定理其他面积如图所示际影==五平方厘米.

【例14】四边形4BCD的对角线4C与BD交于点0（如图所示）,如果三角形血。的面积等于三角形BCD的

面积的1，且40=2,00=3,那么8的长度是DO的长度的_________倍.

3

D

【解析】在本题中，四边影4BCD为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知

条件,向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边彩.看到题目中给出条件

=113,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法，又观察题目中给出的已知条

件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这

个“不良四边形”，于是可以作出垂直ED于H,0G垂直3。于G,面积比转化为高之比.再应用

结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.谙老师注意比较两种解法，使学生体会

到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.

解法一：VAO:OC^SkJIKn:SKanr=1:3,二00=2x3=6,/.00:00=6:3=2:1.

解法二：作于O,CGLBD于G.

SRABD=qS&aco,••=—CG,/.^&AOD=T^ADOC,

333

AO=-CO,：.OC=2x3=6,/.OC:OD=6:3=2:1.

3

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积己知,

求：⑴三角形BGC的面积；⑵4G;GC=?

【解析】⑴根据蝴蝶定理，S-JJ6cxi=2x3,那么吃及笈=6；

⑵根据蝴蝶定理，^G:GC=（l+2）:（3+6）=l:3.

【例15］如图，平行四边形48co的对角线交于。点，△<^F、△OEF、△ODF、ABOE的面积依次是

2、4、4和6.求：⑴求△区用的面积；（2）求△GCE的面积.

【解析】⑴根据题意可知，△E8的面积为2+4+4+6=16,那么△BCO和ABO的面积都是16二2=8,所

以△OC产的面积为8-4=4;

⑵由于八88的面积为8,△5OE的面积为6,所以△0CE的面积为8-6=2,

根据蝴蝶定理，EG:FG=:=2:4=1：2,所以：5的，=HG：EG=1:2,

112

那么Sf1Gts---S&cslf——x2——,

1+233

【例16]如图，长方形切力中，BEzEC=2z3,DF'FC=\z2,三角形OFe的面积为2平方厘米，求长方

形4BBJ的面积.

[I

B--------京-----CB-------------------------C

【解析】连接形，FE.

3111

因为BE;HC=2:3,DFzFC=\z1,所以2谢=0X§X^）S长方形3）=近冬方形而力

因为S3D=长方形28a,,^G:CT'=i：^=5:l,所以S“由=5506画=10平方厘米，所以

SA"D=12平方厘米，因为显2fD=%染方形HJCZ）,所以长方形、BCD的面积是72平方厘米，

【例17]如图，正方形神CD面积为3平方厘米，M是皿边上的中点.求图中阴影部分的面积.

【解析】因为M是功边上的中点，所以4M:BC=1:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道

:心皿宓q：£g=l-axg：（lx?"=L2:2:4,设S△，国=1粉，贝，]

S^MB=1+2=3粉，所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，S阴影=2+2=4份，所以

S阴影二S正方形=1二3,所以S阴影=1平方厘米，

【巩固】在下图的正方形加CD中，E是BC边的中点，4E与BD相交于尸点，三角形BEF的面积为1平方

厘米，那么正方形神6面积是平方厘米.

【解析】连接OE,根据题意可知BE二皿=1=2,根据蝴蝶定理得耳鄱=Q+2）2=9（平方厘米），

S/XEK33=3（平方厘米），那么5口近回—12（平方厘米）.

【例18】己知神CD是平行四边形，BC:CE=3：2,三角形QDE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是

平方厘米.

【解析】连接4C.

由于488是平狞四边形，BCzCE=3z2,所以B:4。=2:3,

根据梯形蝴蝶定理，5久任:灵皿:5皿"5皿„=2?二2X3;2X3:32=4:6:6:9,所以£皿=6（平

方厘米），之"©=9（平方厘米），又名皿=5/6=6+9=15（平方厘米），阴影部分面积为

6+15=21（平方厘米）.

【巩固】右图中5CD是梯形，血ED是平行四边形,已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分

的面积是平方厘米.

【分析】连接4E,由于/£）与EC是平行的，所以4ECD也是梯形，那么凡的=用

根据蝴蝶定理，SA0cBxS皿胡=S40csxSACMD=4x9=36,故&»力-36,

所以SAOCD=6（平方厘米）.

【巩固】右图中4BB）是梯形，ABED是平行四边形,己知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分

的面积是平方厘米.

【解析】连接衰.由于4D与5c是平行的，所以4ECD也是梯形，那么S（10cB=SgiK、

根据蝴蝶定理，^AOCDxS^0AB=SA0cgxS^0Ao=2x8=16,故$40a=16,所以

SAOCD=4（平方厘米）.

另解：在平行四边形型D中，Ss=；S3=；x06+8）=12（平方厘米），

所以Sv。磐—S&ADE—=12—8=41平方厘米），

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8x224=4（平方厘米）.

【例19］如图，长方形2tB8被6、AF■分成四块，己知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余

下的四边形BBC的面积为一平方厘米.

【解析】连接刃式、CF、四边形EDB为梯形，所以％8=/皿，又根据蝴蝶定理，

S^EmShPoc-SfsccxD?^AfinoSbFQC-^AEOFS^CCD-2x8—16,所以Ss=4（平方厘米），

%6=4+8=12（平方厘米）,那么长方形488的面积为12x2=24平方厘米，四边形OFBC的面积

为24-5-2-8=9（平方厘米）.

【例20］如图，A4BC是等腰直角三角形，由七是正方形，线段里与CD相交于£点.己知正方形由七

的面积48,AKzKB=\t3,则AB£D的面积是多少？

【解析】由于AEFG是正方形，所以A4与EC平行，那么四边形dDSC是梯形.在梯形dDBC中，ABDK和

A4CK：的面积是相等的,而二KB=1二3,所以&1%的面积是A4BC面积的」一=L那么

1+34

的面积也是A4BC面积的-.

4

由于A4BC是等腰直角三角形，如果过4作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且

AM=DE,可见AzlBAf和"CM■的面积都等于正方形。EFG面积的一半，所以A4BC的面积与正方

形。ERG的面积相等，为48,

那么ABDK"的面积为48x1=12.

4

【例21］下图中，四边形4BCD都是边长为1的正方形，E、F、G、K分别是,BC,CD,以的中

点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数配，那么，（m+期的值等

n

于

HDHD

BBF

【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积

都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.

如下因所示，在左图中连接HG.设4G与AE的交点为M,

左图中4£宜＞为长方形，可知2UA4D的面积为长方形4EG3J面积的所以三角形HJflJ的面积为

4

l2xAxl=A.又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为l-9x4=±

24882

HDAHD

E

B

如上图所示，在右图中连接d。、印.设ZF、匹C的交点为N.

可知即〃dC且/C=2£F,那么三角形3EF的面积为三角形4BC面积的白，所以三角形打印的

4

面积为YXLXL=L,梯形皿C的面积为L-L=3.

248288

在梯形4EFV7中，由于印:4C=1:2,根据梯彩蝴蝶定理，其四部分的面积比为：

12:1X2:1X2:22=1:2:2:4,所以三角形EFN的面积为---------=—,那么四边形BENF的面

81+2+2+424

积为L+JL=L,而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中见影部分的面积为

8246

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为匕！=3:2,即2=2,

23n2

刃6么混t+门=3+2=5，

【例22］如图，中，HE,2，BC互相平希AD=DF=FB7

则~S四边形或gg-/边形MK3=.

【解析】设%6=1份，根据面积比等于相似比的平方，

2ji2

所以zAF=1.二4,-5Zk4jJC=ADzAB=1:9,

因此S^^FG=4份，S&18c=9份，

-处方月耳的=3份，，«(»用曰=$份，所以二4H二J^CB=1二3二5

【巩固】如图，。后平行BC,且3=2,4B=5,AE=4,求dC的长.

A

【解析】由金字塔模型得的二==;BC=2:5,所以4c=4E2X5=10

【巩固】如图，—SC中，DE,FG,MN,PQ,BC互相平行,

AD=DF=FM=MP=PB,则

^AXDEi^QP:乡PQC3=

22

【解析】设&g=l份，SAjaE:SAAFG=AD:AF=i:4,因此

S&AFG=&松,进而有%j形220Q?=3份，同理有

=5份，］哒形独0>=7份，/边形F0CB=9份.

所以有

S&ADB-%边形D®GF-%边形"2VW"丽边形MNQP一场边形PQCB

【例23］如图，己知正方形4BCD的边长为4,F是BC边的中点，E是DC边上的点，且Z2E:EC=L3,

”1与BE相交于点G,求%

【解析】方法一：连接“:，延长"，DC两条线交于点M,构造出两个沙漏，所■以有

ABzCM=BFzFC=\-\,因此CM=4,根据题意有6=3,再根据另一个沙漏有

4432

GBzGE=ABz^i=^zl,所以&皿=----£皿=—x(4x4+2)=—.

方法二：连接典印，分别求底皿=4x2；2=4,S△皿=4x4—4xl+2—3x2：2—4=7,根

4432

据蝴蝶定理S△加:SA/rF=BGzGE=4:7,所以=Y^X(4X4E2)=——.

【例24］如图所示，己知平行四边形2fBeD的面积是1,E、F是她、川的中点，母•交EC于Af,求

ABJMG的面积.

【解析】解法一:由题意可得，E、产是48、/£)的中点，得EF//BD,而网>:BC=FH■:HC=L2,

EB:CD=BG:GD=1:2所以CH:CF=由：EF=2:3,

并得G、H是ED的三等分点，所以8G=G3/,所以

=

BG:EF=BM:MF=2:3,所以=-5^)=-X-5LJBCDT；

52224

,i。12o1211

又因为5G=±bD,所以S3；=—x—xS4sm=-x—x—=一.

33535430

解法二:延长6交£U于/,如右图，

可得，AI:BC=AE:EB=l:l,从而可以确定M的点的位置，

21

BMzMF=BC:IF=2z3,BM=-BFfBG=±5。(鸟头定理)，

53

可彳导=—X-S&tmfF=­X—X—S/y=

353^53408a330

【例25]如图，皿CD为正方形，AM=NB=DE=FC=lcni^MN=2cni,请问四边形P0松的面积为多

少？

DC

A

MQMB“r

【解析】（法1）由AB//CD,有些=生，所以H;=2PM,又~^=——，所以

AfflVDCQCEC

MQ=QC=-MC,所以PQ=QMC_gMC=_MC,所以Sf占S“ii—brr的一,,>

O

所以5^=1乂卜。+1+2)=2(cm2).

63

(法2)如图，连结NE,贝”53=QX4X4=8(而2),

工RBERs.RBAB「°2c2。16r\

而=,所以==2,iS^™==—x8=一(an22).

ABEFEFEF，33333

工c不2\rxiMVAfP

而=Sg!s=^x3x4Xj=3(an),因为下不=百/，

所以MP=』MC,则SI«P=LX2X4XL=±(an"阴影部分面积等于

3233

^!UHt--^AiSQ+=~3―+—=~(cm2)»

【例26】如右图，三角形4BC中，BD:DC=4:9,6:£4=4:3,求

【解析】根据燕尾定理得％3;S&1H=BD;CD=4二9=12:27

S»0：S4ax=J<F:CE=3:4=12:16

（都有△4OB的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以^wc二电呼=27:16=m二FB

【点评】本题关键是把△4OB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能

掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形4BC中，BD:ZX7=3:4,AE:CE=5:6,i^AFzFB.

【解析】根据燕尾定理得%1cB;4210c=BZ）;CD=3:4=15:20

5八d/m"二SZ八XJ1XrA1r.=AEzCE=5:6=15:18

（都有△/OB的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以/0C二&皿=20=18=10:9=4F;万B

【巩固】如右图，三角形4BC中，BD:DC=213,E4:CE=5:4,求4尸:PB.

【解析】根据燕尾定理得SAH=SXC=J?D:CD=2:3=10:15

SAG:S4a0r=AE：CE=5：4=10:8

（都有△dOB的面积要统一，所以我最小公倍数）

所以5A二SAjr1r=\Sz^=AFzFB

【点评】本题关键是把△/OB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能

掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例27】如右图，三角形神。中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形神C的面积是1,则三角形

如E的面积为，三角形/硅的面积为