上海市黄浦区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市黄浦区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分．）1.若集合，，则________.〖答案〗〖解析〗由题：集合，，则.故〖答案〗为：.2.不等式的解是_____．〖答案〗〖解析〗由可得，解得，所以不等式的解是.故〖答案〗为：.3.若，则____．〖答案〗〖解析〗若，则.故〖答案〗：.4.已知，若，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，即，又，所以.故〖答案〗为：.5.已知，，若用、表示，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，所以.故〖答案〗：.6.若，则______．〖答案〗〖解析〗，又，所以原式.故〖答案〗：7.函数图像的对称中心的坐标为______．〖答案〗〖解析〗，它的图像是由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，因为函数的图像对称中心的坐标为，所以函数图像的对称中心的坐标为．故〖答案〗为：．8.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边过点，则函数，的值域为______．〖答案〗〖解析〗因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，所以，因为是第一象限的角，所以，所以，因为，所以，所以，所以函数，的值域为.故〖答案〗为：.9.已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为______．〖答案〗-2、-1、1〖解析〗因为在上单调递增，且幂函数恒过点，当时在上单调递减，当时在上单调递增，且越大在上增长趋势越快，所以要使对任意的成立，则，故符合题意的有-2、-1、1.故〖答案〗为：-2、-1、1.10.若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗设=，，，即，化简得，，∴，根据二次函数性质可知，当时，取得最小值，此时，符合，，∴的最小值为.故〖答案〗为：.11.在中，若，，且，则______．〖答案〗或〖解析〗由正弦定理可得：，故，所以，由余弦定理可得：，所以，可得，则，又因为，所以可以看成是一元二次方程的两根，所以，解得：或，故或.故〖答案〗为：或.12.已知，若对任意的正整数成立，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由，可得，，又，当时，均满足题意；当时，均满足题意；当时，均满足题意；当时，此时需，即；当时，此时需，即；由的最小正周期，所以之后会重复前面的取值，综上可得，即的取值范围是.故〖答案〗为：.二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分．）13.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意1i是关于实系数方程，∴，即，∴，解得.故选：D．14.在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗D〖解析〗是与关于轴对称的一个角，与的终边相同，即（），，（）.故选：D．15.已知向量、，“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件〖答案〗A〖解析〗设与的夹角为，则在方向上的数量投影为，在方向上的数量投影，若，则成立，充分性成立；若，不能推出成立，例如，，时，成立，而不成立，所以必要性不成立，故“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的充分非必要条件.故选：A.16.已知，若存在实数，使得方程有无穷多个非负实数解，则的表达式可以为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，对于A：令，则在，上单调递增，在，上单调递减，则当时有四个实数根，当或时有两个实数根，当时有三个实数根，当时无实数根，故A错误；对于B：令，所以当时的解集为，故B正确；对于C：令，则在，上单调递增，在，上单调递减，则当时有四个实数根，当或时有两个实数根，当时有三个实数根，当时无实数根，故C错误；对于D：令，显然当时函数在上单调递增，故方程不可能有无穷多个非负实数解，故D错误.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分44分．）17.已知复数，（，为虚数单位）．（1）若为实数，求；（2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求．解：（1）因为，所以，所以，因为为实数，所以，解得，所以.（2）因为，在复平面上所对应的点为、，所以、，则、，因为，所以，解得，所以.18.某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形中，，，以为圆心、为半径的四分之一圆及与圈成的区域为水池，线段和为两条小路，且所在直线与圆弧相切．已知米，设（），那么当为多少时，才能使两条小路长之和最小？最小长度是多少？解：设与圆弧的切点为，连接，由题设，得，于是，从而，由，得，从而，当且仅当，即，最小，最小长度为米.19.设，．（1）当时，求满足的的取值范围；（2）求证：函数在区间上是严格增函数．解：（1）即，亦即，因为，所以上述不等式即为，解得，故满足的x的取值范围是.（2）设是区间上任意给定的两个实数，且，0，由，可得，即，又，，从而0，故，因此，函数在区间上是严格增函数增函数．20.如图，已知为平行四边形．（1）若，，，求及的值；（2）记平行四边形的面积为，设，，求证：.解：（1）在平行四边形中，所以，即，解得，所以.（2）因为，将两边平方可得，又，所以，整理得，又，，，所以，所以.21.已知定义在上的函数，满足，当时，．（1）若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数；（2）设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围．解：（1）当时，，所以，又因为函数的最小正周期为，所以，所以，故，对于任意给定的，，因为，所以，对于任意给定的，，因为，所以，当时，，综上所述，函数，为奇函数.（2），即，当，，于是，当，，于是，据此可得，当（为正整数）时，，当（为正