2023-2024学年四川省遂宁市高一下学期期末质量监测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省遂宁市高一下学期期末质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数i31−i所表示的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第三四分位数为(

)A.172 B.9 C.192 3.复数z满足z−2z=1+i2+i，则A.−35−115i B.−4.如图，在梯形ABCD中，AB=2DC，E在BC上，且CE=12EB，设AB=a，AD=bA.13a+23b B.15.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，则(

)A.若m⊥α，n//α，则m⊥n B.若m//α，n//α，则m//n

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若m//α，m⊥n，则n⊥α6.一艘船向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东30∘方向上，航行10nmile后到B处，看到灯塔S在船的北偏东75∘的方向上，此时船距灯塔S的距离(即BS的长)为(

)

A.522nmile B.527.在复平面内，满足z−5−i1−i=1的复数z对应的点为Z，复数−1−i对应的点为Z0，则ZA.3 B.4 C.5 D.68.已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线AB⊥EF的图形的个数为(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是(

)

A.讲座前问卷答题得分的中位数小于70

B.讲座后问卷答题得分的众数为90

C.讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差

D.讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10.若平面向量a，b满足a=b=aA.a⋅b=−2B.向量a与a−b的夹角为π3C.a−11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点PA.P在侧面CDD1C1的轨迹长度为22

B.异面直线AB与MP所成角的最大值为π2

C.三棱锥A−PB1C的

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为

．13.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA−π=3sinπ2−A，b=6，BC边上的高为14.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括A，B，C在内的各个顶点都在球O的球面上．若P为球O上的动点，记三棱锥P−ABC体积的最大值为V1，球O的体积为V，则V1V=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z1=2−mi，z(1)若z1z2(2)当m=1时，复数z1⋅z2是方程216.(本小题15分)已知向量a=1,−2，(1)若ka−2b与2(2)已知O，A，B，C为平面内四点，且OA=a+2b，OB=3a+b，OC=3m,−2m17.(本小题15分)一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量(单位：kg)，将全部数据按区间50,60,60,70，…，90,100分成

(1)求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要(在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求).请问，每天应该进多少水果？18.(本小题17分)从①a+acosC=3c记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．(1)求角C的大小；(2)若点D在AB上，CD平分∠ACB，a=2，c=7，求(3)若该三角形为锐角三角形，且面积为3，求a注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．19.(本小题17分)我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点

(1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；(2)求二面角B−PC−D的大小；(3)若直线PC//平面AEF，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．

参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.A

6.B

7.A

8.D

9.ACD

10.AD

11.ABD

12.30

13.3

14.215.解：(1)因为z1=2−mi，所以z1因为z1z2为实数，所以2−故z1z2为实数时，m(2)当m=1时，z1=2−i，则复数z1因为1−3i是方程2x2+px+q=0(p,q所以21−3i化简得p+q−16−12+3p由p+q−16=0−12+3p=0

16.解：(1)ka则2a因为ka−2b与2解得k=22(2)OA=OB=3AB=AC=因为A，B，C三点共线，所以AB//所以−1×−2m−2解得m=2．

17.解：(1)由直方图可得，样本落在50,60,60,70，…，90,100的频率分别为10a，10a，0.2，0.4，由10a+10a+0.2+0.4+0.3=1，解得a=0.005．则样本落在50,60,60,70，…，90,100频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，所以，该苹果日销售量的平均值为：0.05×(2)为了能85%地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的85%分位数．方法1：依题意，日销售量不超过90kg的频率为1−0.03×10=0.7，则该店苹果日销售量的85%分位数在90,100，设为xkg则0.03×100−x=0.15，解得所以，每天应该进95kg苹果．方法2：依题意，日销售量不超过90kg的频率为1−0.03×10=0.7，则该店苹果日销售量的85%分位数在90,100，所以日销售量的85%分位数为90+10×0.85−0.7所以，每天应该进95kg苹果．

18.解：(1)若选条件①，依题意，得a+acosC=因为0<A<π2，所以sinA>0，则1+即32sin又0<C<π，则C−π所以C=π若选条件②，由正弦定理得sinC所以sin=sin即3即3sinCsinB=因为C∈0,π，所以C−所以C=π若选条件③，在▵ABC中，因为sinB−sinA=所以sinC+A即sinC化简得sinA=2又A∈0,π，则sinA≠0，故因为0<C<π，所以C=π(2)在▵ABC中，根据余弦定理，有c2即7=4+b2−2b，解得b=3或b=−1(依题意，S▵ACD12即a+b⋅CD=3所以CD=2(3)依题意，▵ABC的面积S▵ABC=1又▵ABC为锐角三角形，且C=π则A=2π3−B∈又0<B<π2，则π6由正弦定理asinA=所以a2所以2<a2<8所以a的取值范围为2

19.解：(1)平面AEF⊥平面PBC．理由如下：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为BC⊥AB，又PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故BC⊥AE．在▵PAB中，PA=AB，E为PB的中点，所以AE⊥PB．因为PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC.又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．(2)不妨设AB=1，计算可得PB=PD=2，又PB=PD，BC=DC，PC=PC，所以▵PBC≌▵PDC，则∠PCB=∠PCD，作BG⊥PC于G，连结DG，又BC=DC，CG=CG，可知▵GBC≌▵GDC，所以∠DGC=∠BGC=90所以∠BGD是二面角B−PC−D的平面角．

在Rt▵PBC中，由PC⋅BG=PB⋅BC，得3BG=2×1连结BD，知BD=2，在得cos∠BGD=所以∠BGD=120(3)因为直线PC/​/平面AEF，PC⊂平面PBC，平面PBC∩平面AEF=EF，所以直线PC/​/直线EF