2021年中考数学 三轮冲刺训练：等腰三角形（含答案）

2021中考数学三轮专题冲刺训练：等腰三角形

一、选择题

1.如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,ZA=50°,则N8DC=

)

A.50°B.100°C.120°D.130°

2.已知:如图，在△ABC中，AB=AC,ZC=72°,BC=y[5,以点B为圆心，BC

为半径画弧，交AC于点。，则线段的长为（）

A.2^2B.2\^3C.\^5D"6

3.（2020.聊城）如图，在△ABC中，AB=AC,NC=65。，点。是边上任意

一点，过点。作OE〃4？交AC于点£,则/尸EC的度数是（）

A.120°B.130°C.145°D.150°

4.一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B

处.灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42。方向上，在海岛B的北偏西84。方向上.

则海岛B到灯塔C的距离是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

5.（2019•广西）如图，在AABC中，AC=BC,ZA=40°,观察图中尺规作图的痕

迹，可知NBCG的度数为

B.45°C.50°D.60°

6.如图，在五边形ABCDE中,AB=AC=AO=AE,且A3〃EO,ZE4B=120°,

则NBCO的度数为（）

A.150°

C.130°D.60°

7.如图，在aABC中，AB=AC,BC=\2,E为AC边的中点，线段BE的垂直

平分线交边于点。.设BO=x,tan/ACB=y,则（）

A

A.x-/=3B.2x~y2=9

C.3x—V=15D.4x-/=21

8.（2020・无锡）如图，等边△ABC的边长为3,点。在边AC上，线段

P。在边区4上运动，PQ=；，有下列结论：

①CP与QO可能相等；②△AQ。与ABCP可能相

似；

③四边形PCDQ面积的最大值为喀；④四边形PCDQ周长的最小

/古心01^37

值为3+々~.

其中，正确结论的序号为（）

A.①④B.②④C.①③D.②

③

A

D

二、填空题

9.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一

个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13,小正方

形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么（a4）?的值是.

10.（2020•襄阳）如图，在△ABC中，AB=AD=DC,ZBAD=20°,则NC=

11.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC,NBA。的平分线交3C于点

D,E为A8的中点.若BC=12,AO=8,则。E的长为.

12.（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6,ADLBC,垂足为点。,

点E和点尸分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE,EF,则CE+EF的最

小值为.

13.（2019•哈尔滨）在"BC中，NA=50。，N3=30°,点。在AB边上，连接

若八48为直角三角形，则/BCD的度数为

14.(2020•贵阳)(4分)如图，ZxABC中，点E在边AC上，EB=EA,ZA=2

NCBE,CD垂直于BE的延长线于点D,BO=8,AC=11,则边BC的长为.

15.如图，80平分NCSA,CO平分NACB,MN过点、。且MN〃BC,设AB=12,

AC=18,则AAMN的周长为.

16.(202。聊城)如图，在直角坐标系中，点A(l,1),8(3,3)是第一象限角平

分线上的两点，点C的纵坐标为1,且C4=CB,在y轴上取一点。，连接AC,

BC,AD,BD,使得四边形ACB。的周长最小，这个最小周长的值为.

17.如图，在AABC中,AB=AC,于点0.

⑴若NC=42。，求NBA。的度数；

(2)若点E在边AB上，EF//AC交AD的延长线于点E求证:AE=FE

18.如图，△ABC中，点E在8C边上，AE=AB,将线段AC绕点A旋转到A/

的位置，使得NC4尸=NBAE.连接EF,E尸与AC交于点G

⑴求证:EF=BC;

⑵若NABC=65。，ZACB=2S°,求/尸GC的度数.

19.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，BE_LAC于点E.

求证：ZCBE=ZBAD.

20.已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点,

过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且AAEF为等边三角形.

(1)求证：4DFB是等腰三角形；

(2)若DA=V^AF,求证CF_LAB.

21.如图，已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),

PE是aABP的外接圆。。的直径.

(1)求证：△APE是等腰直角三角形；

(2)若。。的直径为2,求PC2+PB2的值.

22.如图，在四边形ABC。中，ND4B=NABC=90。，AB=BC,E是AB的中点,

CEtBD,连接AC交DE于点M.

⑴求证：AD=BE；

(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；

(32O8C是等腰三角形吗？说明理由.

23.如图，已知BE、CF分别为AABC中NB、NC的平分线，AM,郎于

ANLCF于N,求证：MN//BC.

24.如图，在△ABC中，AB=AC=

5cm,BC=6cm,AO是8C边上的高.点尸由C出发沿C4方向匀速运动.速

度为1cm/s.同时，直线由BC出发沿D4方向匀速运动，速度为1cm/s,EF//BC,

并且瑁7分别交AB、AD.AC于点E,Q,F,连接PQ.若设运动时间为心)(0</

<4),解答下列问题：

⑴当/为何值时，四边形8。尸石是平行四边形？

⑵设四边形的面积为Men?),求出y与『之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻3使点。在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时

点尸到直线尸。的距离加若不存在，请说明理由.

2021中考数学三轮专题冲刺训练：等腰三角形

-答案

一、选择题

1.【答案】B

2.【答案】C［解析］在△ABC中，AB=AC,ZC=72°,所以NABC=72。，ZA=36°,

因为所以NBDC=72。,所以乙48。=36。，所以AD=8O=8C=遥，故选

C.

3.【答案】B

【解析】可利用三角形的外角性质求/FEC的度数，结合等腰三角形与平行线

的性质，可得NEDC、NB均与NC相等.B［J：VAB=AC,/.ZB=ZC=65°.V

DF〃AB,AZEDC=NB=65°.AZFEC=ZEDC+ZC=650+65°=130°.

4.【答案】C

【解析】根据题意画图,如图，NA=42。,ZDBC=84°,AB=15x2=30（海里）,

ZC=NDBC-NA=42。,，BC=BA=30（海里）.

5.【答案】C

【解析】由作法得CGLAB,VAB=AC,CG平分ZACS,ZA=ZB,

VZACB=180°-40°-40°=100°,AZBCG=-ZACB=5Q°.故选C.

2

6.【答案】A［解析］•.'AB〃ED,

NE=180°—NEAB=180°-l20°=60°.

又•.,AD=AE,

.'.△ADE是等边三角形.

ZEAD=60°.AZBAD=NEAB—NEAD=120。-60。=60。.；AB=AC=AD,

/.ZB=ZACB,NACD=NADC.在四边形ABCD中，ZBCD=ZB+ZADC

=1(360°-ZBAD)=1x(360°一60°)=150°.

故选A.

7.【答案】B【解析】连接DE,过点A作AF±BC,垂足为F,过E作EG±BC,

垂足为G：AB=AC,AF1BC,BC=12,，BF=FC=6,又'.任是AC的中点,

1EG

EGLBC,，EG〃AF,，CG=FG=MF=3,•.•在R/^CEG中，.'.EG

ZCCF

=CGxto/7C=3y；/.DG=BF+FG-BD=6+3-x=9-x,VHD是BE的垂直

平分线，，BD=DE=x,•.•在R3EGD中，由勾股定理得，ED2=DG2+EG2,

.,.X2=(9—x>+(3y)2,化简整理得，2x—y2=9.

8.【答案】D

【解析】设AQ=x,贝x

①如图1,当点尸与B重合时，此时。。为最大，过点。作QEL4C,.〃。言,

：.AE=l，"=乎，.••DE=1，.•.此时QO二孝，即0S纱雪;而明。巴3,

两个范围没有交集，即不可能相等；①错误

ADAO3

②若△AQ£)S2\BCP,则言=言，代入得2/一5x+3=O,解得xi=l,X2=W，

or£)CZ

...都存在，.•.②正确；

③如图2,过点。作OEL48,过点P作尸FLBC,S^PC^S^BC^S^QI^S

币一1季1八小，5、事,21s..5„,5.

△fipc=x3--2'x'4_2x3x4^2~x^=4x，­2—x-0,n即r烂］，••

当户(时面积最大为喈；③正确；

④如图，将。沿A8方向平移3个单位得到E,连接PE,即四边形PQDE为平行

四边形，:.QD=PE,四边形周长为PQ+QO+CO+CP=3+PE+PC,艮求「E+PC的

最小值，作点£关于的对称点R连接CF,线段CF的长即为PE+PC的最

小值；过点。作OG_LA8,.•.AGn］,EN=FN=HM雪,;.CH=乎+*=乎,

"7=MN=|—（W，琴，.•.四边形PCDQ周长的最小值为3+军,

④错误.

二、填空题

9.【答案】1［解析］由勾股定理可得，〃+〃=13,直角三角形面积=（13-1）+4=3,

即二。。=3,所以必=6,所以（a-。）2=屋+〃-2。。=13-12=1.

2

10.【答案】40.

【解析】，：AB=AD=DC,：.ZABD=ZADB,ZDAC=ZC.'：ABAD=2Q0,

1QHO_2QO1

/.ZADB=~~—=80°.又•.•NAOB=N0AC+NC,：.ZC=-ZADB=

22

40°.故答案为40.

11.【答案】5

【解析】VAB=AC,NBAC的平分线AD交BC于点D,AAD1BC,BD=

CD=；BC=6.在R〃\ABD中，由勾股定理，得AB=J^T海=10.又〈E为

AB的中点，/.DE=|AB=5.故答案为5.

12.【答案】3币

【解析】如图1，根据两点之间线段最短，可得CE+EFNCF,又根据垂线段最短

可得，当CF_LAB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E（如图2）,

在RfaAFC中，AC=6,ZAFC=90°,ZFAC=60°,

FC=AC-szn60°=6x6=3上.

2

AA

13.【答案】60°或10。

【解析】分两种情况：

①如图1,当NAZ)C=90。时,

ZB=30°,二ZBCD=90°-30°=60°；

②如图2,当NACD=90。时，

VZA=50°,Zfi=3O°,ZACB=180°-30°-50°=100°,

二ZBCD=100°-90°=10°,

综上，则/BCD的度数为60。或10。.故答案为：60。或10。.

14.【答案】4G

【解析】解：延长BD到F,使得DF=BD,；CD_LBF,.•.△BCF是等腰三角

形，.,.BC=CF,

过点C点作CH〃AB,交BF于点H；.NABD=NCHD=2NCBD=2NF,，HF

=HC,

VBD=8,AC=11,；.DH=BH-BD=AC-BD=3,；.HF=HC=8-3=5,

在也.•.由勾股定理可知：CD=4,在RfZ\BCD中，Z.

BC=抑+4?=475,

故答案为：40

15.【答案】30［解析］•；MN〃BC,•,.ZMOB=ZOBC.

VZOBM=ZOBC,

/.ZMOB=ZOBM.

，MO=MB.同理NO=NC.

AAMN的周长=AM+MO+AN+NO=AM+MB+AN+NC=AB+AC=30.

16.【答案】4+2百

【解析】先求点C的坐标，再利用最短路径知识确定D点位置，最后求四边形

ACBD的最小周长即可.由点A与点C的纵坐标均为1,可知AC〃x轴，又点

A,B是第一象限角平分线上的两点，，NBAC=45。，又,；CA=CB,，NCBA

=45°,AACIBC,；.C(3,1),则AC=BC=2.

如图，作点A关于y轴的对称点E,连接BE交y轴于点D,此时AD+BD的值

最小，为线段BE的长.由轴对称性可知AE=2,则EC=4.在RfaBCE中，根

据勾股定理，得

BE=^BC2+EC2=722+42=2V5.二四边形ACBD的最小周长为2+2+

2亚=4+275.

三、解答题

17.【答案】

解:(1)(方法一):ZC=42°,

.,.ZB=ZC=42°,

，ZBAC=l80°-ZB-ZC=180o-42°-42o=96°.

\'AD±BC,

：.ZBAD=-ZBAC=-x96°=4S°.

22

(方法二):'.•AB=AC,ZC=42°,

.,.Zfi=ZC=42°.

•.•AD_L3C于点£>,/.ZADB=90°,

：.ZBAD=180o-90o-42o=48°.

(2)证明:•.•E/〃AC,：.ZCAF=ZF,

\"AB=AC,ADLBC,：.ZCAF=ZBAF,

：.ZF=ZBAF,：.AE=FE.

18.【答案】

解:⑴证明:•.•线段AC绕点A旋转到A尸的位置，...ACjlE

ZCAF=ZBAE,

：.ZCAF+ZCAE=ZBAE+ZCAE,即ZEAF=ZBAC.

在AABC和AAE/中，AB=AE,ZBAC=ZEAF,AC=AF,

：.△ABC<AA£：F(SAS),Z.EF=BC.

(2)'：AE=AB,：.ZAEB=ZABC=65°.

'：△ABC^/XAEF,：.ZAEF=AABC=65°,

：.NFEC=1800-ZAEB-NAEF=180o-65°-65o=50°.

,/ZFGC是^EGC的外角，ZACB=28°,

ZFGC=ZFEC+ZACB=50°+28°=78°.

19.【答案】

证明：VAB=AC,

，/ABC=NC,

•.•AD是BC边上的中线，

AADIBC,

/.ZBAD+ZABC=90°,(3分)

VBE1AC,

.,.ZCBE+ZC=90°,

，ZCBE=ZBAD.(5分)

20.【答案】

(1)证明：:AB为直径，

.,.ZACB=90°,

AAEF是等边三角形，

/.ZEAF=ZEFA=60o,

AZABC=30°,

ZFDB=ZEFA-ZB=60°-30°=30°,（2分）

.•.NABC=NFDB,

，FB=FD,

...△BDF是等腰三角形.（3分）

（2）解：设AF=a,则AD=，?a,

如解图，连接OC,则AAOC是等边三角形，

由（1）得，BF=2—a=DF,

.,.DE=DF-EF=2-a-a=2-2a,CE=AC—AE=1—a,

在&△ADC中，DC=7（小a）2—1=^/7a2-l，

CELa小

在RfaDCE中，伍〃30°

DCq7a2—13

解得a=-2（舍去）或a=1,（5分）

/.AF=T，

在^CAF和^BAC中，

CABA

VE=77；=2,且NCAF=NBAC=60°,

ArAC

.,.△CAF^ABAC,

.,.ZCFA=ZACB=90°,

即CF±AB.（6分）

21.【答案】

【思路分析】（1）因为PE是直径，所以NPAE=90。，要证△PAE是等腰直角三角

形，只要证PA=EA,由已知得NPBA=45。，而NPEA与/PBA是同弧所对的

圆周角，所以NPEA=NPBA,问题得证；（2）由（1）得APAC之ZXEAB,所以PC

=BE,因为PE是直径，所以NPBE=90。，所以PC2+PB2=BE2+PB2=PE2=

4.

c

p

/0\\

解图

（1）证明：如解图，•.'△ABC是等腰直角三角形，

，AC=AB,ZCAB=90°,ZPBA=45°,

•.•在。O中，NPEA与NPBA都是@所对的圆周角,

，/PEA=NPBA=45。，

「PE为。O的直径，

.,.ZPAE=90°,（4分）

/.△PAE为等腰直角三角形且AP=AE；（5分）

（2）VZPAE=ZCAB=90°,

AZCAB-ZPAB=ZPAE—NPAB,

:.ZCAP=ZBAE,

.'.△CAP丝△BAE（SAS）,（8分）

ZC=ZABE=45°,

ZPBE=ZPBA+ZABE=90°（10分）

在RtxPBE中，PC2+PB2=PE2=4.（12分）

22.【答案】

解：（1）证明：VZABC=90°,

/.ZABD+ZDBC=90o.

VCE1BD,

.,.ZBCE+ZDBC=90°.

/.ZABD=ZBCE.

在^DAB和^EBC中，

fZABD=ZBCE,

<AB=BC,

LZDAB=ZEBC=90°,

ADAB丝AEBC（ASA）.

AAD=BE.

（2）证明：..任是AB的中点，，AE=BE.

VBE=AD,

，AE=AD.

...点A在线段ED的垂直平分线上.

VAB=BC,ZABC=90°,

•,.ZBAC=ZBCA=45°.

Y/BAD=90。，

/.ZBAC=ZDAC=45O.

在^EAC和^DAC中，

jAE=AD,

<NEAC=NDAC,

IAC=AC,

.'.△EAC/△DAC(SAS).

，CE=CD.

...点C在线段ED的垂直平分线上.

AAC是线段ED的垂直平分线.

◎)△DBC是等腰三角形.

理由：由(1)知△DAB四△EBC,，BD=CE.

由(2)知CE=CD.

.*.BD=CD.

.,.△DBC是等腰三角形.

23.【答案】

延长4W、A