预测05 算法、复数、推理与证明（文）（解析版）高中数学

预测05算法、复数'推理与证明

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

①算法与框图

考向预测②复数概念、运算及几何意义

③推理与证明

应试必备

算法与框图、复数及推理与证明问题是历年高考的考察重点，通常出现在单选题、填空题中，

因新高考改革出现在多选题也有可能，因此弄清算法与框图、复数及推理与证明问题常见考点至关

重要。

复习本专题要围绕三个重点展开：

1.算法与框图

2.复数概念、运算及几何意义等

3.推理与证明

wU次好一

1.复数的有关概念

(1)复数的定义

形如历①，66R)的数叫做复数，其中实部是小虚部是瓦

(2)复数的分类

'实数(6=0),

复数z=a+bi(a,Z?eR)J…［纯虚数(。=0,屏0),

/(厚0)［非纯虚数(〃和，厚°)

(3)复数相等

。+万=。+片=。=(;且b=d(a,b,c,d£R).

(4)共辗复数

a+历与c+di共辄=〃=c且人=-d(。，b,c,d^R).

(5)复数的模

向量旅的模叫做复数z=〃+bi的模,记作|z|或|〃+历即团=|〃+模=干=7*+。2(力0,5Z?eR).

1

2.复数的几何意义

一一对应

(1)复数z=a+历一＞复平面内的点Z(a,b)(a,bSR).

一一对应

(2)复数z=a+6i(a,b^R)―＞平面向量龙.

3.复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设zi=〃+Z?i,Z2=c+d\(a,b,c,d£R),则

①加法：zi+z2=3+bi)+(c+di)=(〃+c)+(/?+d)i；

②减法：zi-Z2=(〃+历)一(c+di)=(。-c)+g—4i；

③乘法：zi-Z2=(^+^i),(c+di)=(ac—hd)+(ad+hc)i；

zi4+药(a+历)(c——di)ac+bdb(-ad.

④除法:5=c+di=(c+di)(c—di)=/+屋十。2+/】(。+4r0)

⑵复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Zl，Z2，Z3GC,有Z1+Z2=Z2+Z”(Z|+Z2)+Z3=Z1+(Z2

+Z3)・

常用结论

)1+i1-i

⑴(1士i%±2i：Ri；TTi=f

(2升"=1,必+l=i,i4"*2=—l,i4"+3=­i

(3)i4n+i4,,+l+i4n+2+i4n+3=0,〃CN*.

(4)|z|2=|zl2-z-z.

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复

数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为。+齿伍，beR)的形式，以确定实部和虚部.

复数的几何意义及应用

(1)复数z、复平面上的点Z及向量及相互联系，即z=a+砥a,6rR)=Z(a,6)=龙.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，

解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

复数代数形式运算问题的解题策略

(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不

含i的看作另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共辗复数，即分母实数化.

2

真题回顾

1.（2020全国I文9）执行下面的程序框图，则输出的“=()

C.21D.23

【答案】C

【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的〃是满足1+3+5+.••+〃>100的最小正奇数,

(1+少/1,

解得刃>19）输出的〃=21故选

vl+3+5+---+n=-------——=+>100

24V'

C.

2.（2020全国II文7）执行右图的程序框图，若输入的上=0,。=0,则输出的左为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k值，模拟程序的

3

运行过程：k=O,a=O,第1次循环，a=2x0+l=l#=0+l=l,2>10为否；

第2次循环，a=2xl+l=3«=l+l=2,3>10为否；

第3次循环，a=2x3+l=7#=2+l=3,7>10为否；

第4次循环，a=2x7+l=15,左=3+1=4,15>10为是，退出循环，输出％=4.故选C.

3.（2019全国I文理）图是求2+—的程序框图，图中空白框中应填入（）

2+-

2

左3

/输出4/

（结束）

A=2+二A=1+——

A\+2A

【答案】A

【解析】初始：A=-,k=\<2,..•第一次应该计算［T=一一，k=k+l=2；

2+万2+A

执行第2次，左=242,；第二次应该计算2+Jvn—1—,Z=Z+1=3,

2+J.2+A

2

结束循环，故循环体为A=」一，故选A.

2+A

【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为4=」一.

2+A

4.（2019全国HI文理】执行下边的程序框图，如果输入的£为0.01,则输出S的值等于

4

（开始）

【答案】C

【解析】输入的£为0.01，x=Ls=0+l,x=J<0.01?不满足条件；

2

s=O+l+L,x=!<0.01?不满足条件；

24

…S=0+l+,+…x=—L=0.0078125<0.01?满足条件，结束循环;

226128

输出S=]+,d---1--=2x(l——)—2——,故选C.

5.(2020全国I文2)若z=l+2i+i3,则|z|=

A.0B.1C.y/2D.2

【答案】C

【解析】：z=l+2i+i3=l+2i—i=l+i，A|z|=712+12=V2.故选C.

6.(2020全国H文2)(l-i)4=()

A.-4B.4C.-AiD.4(

【答案】A

[解析】(l_i)4=[(l_i)2]2=(l_2i+i2)2=(—2i)2=_4.故选A.

7.(2020全国HI文2)复数W(l+i)=l-i,则2=

A.1—iB.l+iC.—iD.i

【答案】D

5

1-<(1-Z)2-2i

【解析】T+7-(l+i)(l-z)~-z=i,故选D

8.（2020北京2）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,则i-z=（）

A.1+2iB.—2+iC.1—2i

【答案】B

【解析】由题意z=l+2i,iz=-2+i,故选B.

9.(2020山东2))

l+2i

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】D

2-i_(2-0(1-20_-5z

T,故选

【解析】1+2厂(1+2，)(1-2i)—亨D.

10.（2019全国I文理）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度

之比是避二1（1二Lo.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美

22

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是苴二1.若某人满足上述两个黄金分割比

2

例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【答案】B

ACV5-1AB_V5-1

【解析】方法一：如下图所示.依题意可知:

~CD~2'~BC~2

6

①腿长为105cm得，即C£»105,AC=避二!•

CD>64.89,

2

AD=AC+CD>64.89+105=169.89,，AD>169.89.

Afi

②头顶至脖子下端长度为26cm,即AB<26,BC=-^—<42.07,AC=AB+BC<68.07,

V5-1

2

AT

CD=-<110.15,AC+GD<68.07+l10.15=178.22，,AZX178.22.

V5-1

2

综上，169.89<AZX178.22,故选B.

「头顶

B-咽喉

C-肚脐

DL足底

肚脐至腿根的长为ycm,则竺=26+X=邑1

方法：:设人体脖子下端至肚脐的长为xcm,

xy+1052

得xa42.07cm,yv5.15cm.又其腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,.♦.其身高约为

42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B.

11.(2019全•国n理)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，

我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测

器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点

的轨道运行.4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为Mi,月球质量为M”地月

距离为R,乙点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

MMMr

7n-L+T=(R+r)寮.设。=一，由于a的值很小，因此在近似计算中

(/?+r)rRR

7

3a3+3c?+〃

rM[yij\q

【解析】由得r=aR，次/+黄=（R+「）靖，，

545

陷M2Z1EIM2r/ixIa+3cr+3cro3

(1+,即」=41a+。)---------=---------；——x3a3,

火2(l+0)2+百2

Mx(1+4(l+a)2

12.（2019年高考北京文理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星

等与亮度满足m2-mi=-lg^,其中星等为nu的星的亮度为Ek（k=l,2）.已知太阳的星等是-26.7,

天狼星的星等是T.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为

A.IO10.1B.10.1C.IglO.1D.10-1。।

【答案】A

5,E.

【解析】两颗星的星等与亮度满足㈣一叫=%lgU，令科=一L45,小=-26.7,

ZJ

1§^=|（^-^）=|（-1.45+26.7）=10.1，4=10'01,故选A.

E255E2

13.（2017新课标II文理）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成

绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则

A.乙可以知道两人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看

到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.

14.（2020江苏5）下图是一个算法流程图，若输出>的值为-2,则输入*的值是

8

（第5题）

【答案】-3

【解析】由题可知y=<，当丁=一2时，得X+1=—2,解得x=—3.

x+l,x<0

15.（2020江苏2）己知i为虚数单位，则复数z=（l+i）（2-i）的实部是

【答案】3

【解析】•.•z=（l+i）（2—i）=3+i,则复数z的实部为3.

8-z

16.（2020天津10）i是虚数单位，复数一；=.

2+i

【答案】3-22

8-z_(8-/)(2-Z)_15-10/

【解析】2+7-(2+Z)(2-Z)--5-一、一1故答案为:3-2z.

17.（2020上海3）已知复数z=l-2i（i为虚数单位），则|z[=

【答案】亚

【解析】|Z|=712+（-2）2=75,故答案为：逐.

名校预测

一、单选题

1.（2021•河南高三二模（理））执行如图所示的程序框图，若输出i的值为7,则框图中①处可以填

9

入（）

A.S>7B.S>21

C.S>28D.S>36

【答案】B

【分析】

根据程序流程图，结合循环语句的特点及题设输出的结果写出执行步骤，进而确定框图中的条件即

可.

【详解】

山程序流程图，其执行逻辑及对应输出如下:

1、i=l,S=O：输出s=l,执行循环，则7=2；

2、i=2,S=l：输出S=3,执行循环，贝h=3：

3、z=3,5=3：输出S=6,执行循环，则，=4：

4、i=4,S=6：输出S=10,执行循环，贝h=5；

5,/=5,5=10：输出S=15,执行循环，则i=6；

6、/=6,5=15：输出S=21,执行循环，则i=7；

7、i=7,S=21：输出S=28,此时根据条件跳出循环，输出i=7.

只有B：当S>21符合要求.

10

故选：B.

2.（2021•云南高一二模（理））执行如图的程序框图，则输出的结果是（）

【答案】D

【分析】

根据程序框图计算出循环的每一步，由此可得出输出结果.

【详解】

执行程序框图的中的程序，如下所示：

第一次循环，S=l，〃=1+1=2,〃>6不满足；

第二次循环，5=1-^=1〃=2+1=3,〃>6不满足;

第三次循环，S=:+:=3，〃=3+1=4,〃>6不满足;

236

517

第四次循环,S=----=—,〃=4+1=5，”>6不满足;

6412

7147

第五次循环,------1--〃=5+1=6，〃>6不;两足;

12560

4137

S=--

第六次循环,66-O-〃=6+1=7,〃>7满足.

6S0

输

出37

跳出循环体,一

60

故选：D.

3.（2021.河南郑州市.郑州一中高三其他模拟（文））执行如图所示的程序框图,若输出的5=0,

11

则空白判断框中可填入的条件是（）

A.〃>3?B.〃>4?C.〃>5?D.>6?

【答案】C

【分析】

模拟执行程序框图，直到S=0时满足判断框要求输出结果，由此可确定判断框内的条件.

【详解】

模拟执行程序框图，

输入S=160,〃=1,不满足SW10,则S=80,n=2,需不满足判断框，循环；

不满足SW10,则5=40,〃=3,需不满足判断框，循环；

不满足SM10,则5=20,〃=4,需不满足判断框，循环；

不满足SW10,则S=10,〃=5,需不满足判断框，循环；

满足SW10,则S=0,〃=6,需满足判断框，输出S=0；

••・判断框中的条件应为：〃>5?.

故选：C.

4.（2021•河北石家庄市•高三一模）甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头

上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比

甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为（）

12

A.红、黄、蓝B.黄、红、蓝C.蓝、红、黄D.蓝、黄、红

【答案】B

【分析】

通过分析，利用排除法思考即可.

【详解】

丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；

乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的个头高或乙比丙的个头大,

但由上述分析可知，只能是乙比丙的个头大，即戴蓝帽的是丙；

综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝

故选：B

【点睛】

方法点睛：本题考查推理论证能力、应用意识及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，逻辑推理题

通常借助表格或图进行求解，把数学对象之间的逻辑关系表示出来进行判断即可.

5.(2021•甘肃高三二模(文))中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子•地员篇》的三分损

益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其工，即三分损一，可

3

得出该弦音的上方五度音；将该弦增长g,即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五

声音阶：宫、徵(zW),商、羽、角色⑻，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.若五

音中的“宫，，的律数为81,请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为()

A.72B.48C.54D.64

【答案】B

【分析】

按三分损一和三分益一的顺序交替进行计算可得结果

【详解】

依题意，将“宫”的律数81三分损一可得“徵”的律数为81x(1-g)=54,

将“徵”的律数54三分益-可得“商”的律数为54x(1+1)=72,

3

将“商”的律数72三分损一可得“羽”的律数为72x(1-工)=48.

13

故选：B

6.（2021•全国高工其他模拟）甲、乙、丙三人尝试在下面的表格中填入数，使得第一个数表明这一

行中0的个数，第二个数表明这一行中1的个数，第三个数表明这一行中2的个数，依此类推，最

后一个数表明这一行中6的个数.

0123456

甲说：“第七个数一定是0”;

乙说：“这些数的和是7且第一个数不能比3大”；

丙说：“这七个数有且只有一种填法

其中，说法正确的是（）

A.甲B.乙C.甲、乙D.甲、乙、丙

【答案】D

【分析】

由题意，第五个、第六个、第七个数字只能填0,第四个数字若是0,则第一个数至少为4,这与第

五个数字是0矛盾，所以第四个数字不能填0,所以得到第一个数字为3,从而第四个数字为1,即

可得到答案.

【详解】

由题意可知，这七个数都是一位数，若第七个数不是0,设第七个数为"（〃GN*），

则就要求第二行要有〃个6,那就要在其他〃个地方填上6,对应着要有6个该数字，

无法满足，所以第七个数是0,则甲说法正确；

同理可得第五个和第六个数是0.

若第四个数填0,则第一个数可能为4,5,6,分别与第五个、第六个和第七个数必须是0矛盾，不

成立；

若填2,因为有3个0,所以还有3个1或3个2,无法满足，仍不成立，只能填1,

所以最后答案只能为3,2,1,1,0,0,0,所以乙、丙的说法正确.

所以说法正确的是甲、乙、丙.

故选：D.

二、多选题

14

7.（2021•河北石家庄市•高三-模）设z为复数，则下列命题中正确的是（）

A.恸:zzB.z2=|z|2

C.若|z|=l,则|z+i|的最大值为2D.若|z—1|=1,则0«2区2

【答案】ACD

【分析】

设2=。+〃（。、bGR）,对A、B、C、D一—验证即可.

对于A：利用复数乘法及模的定义验证；

时于B：利用复数乘法及模的定义验证；

对于C：利用复数的几何意义求最值；

对于D：利用复数的几何意义求最值；

【详解】

对于A：z=a+叭a、bwR）,则』一万，二|z1=〃+〃，而+〃，所以|z「=zz成

立；

对于B：z=a+bi（a、bGR）,当M均不为。时，z2-（a+bi）2-a2-b2+2abi,rfij|z|2-a2+b2,

所以z2Tz「不成立；

对于C：|z|=l可以看出以。（0,0）为圆心，1为半径的圆上的点P,|z+j|可以看成点P到Q（0,-l）

的距离，所以当尸（0.1）时，可取|z+,[的最大值为2；

对于D：2-1|=1可以看出以M（l,0）为圆心，I为半径的圆上的点M则回表示点N到原点距离，

故0、N重合时，忖=0最小，当0、M、N三点共线时，忖=2最大，故0w|z|<2.

故选：ACD

【点睛】

利用复数减法的几何意义，可以表示以下曲线：

①|z-Zo|=l表示以点"为圆心，1为半径的圆；

②上一4|+上一22|=2。（2。>2|-22|）表示以Zi、Z2为焦点的椭圆；

③|[z-Z]|—|z-Z2||=2a（2a<|Z1-Z2|）表示以Z|、Z2为焦点的双曲线.

15

8.(2021•全国高三其他模拟)已知a,beR,(a-l)i-Z?=3-2i,z=(l+i)"",则()

A.z的虚部是2iB.|z|=2

C.]=_2iD.z对应的点在第二象限

【答案】BC

【分析】

山复数相等，求出。力的值，然后求出z=2i，根据复数的相关概念判断选项.

【详解】

由复数相等可得《,c解得匕。所以Z=(l+i)=(l+i)-=2i,

[a-1=-2,[b=-3,''v7

z的虚部是2,所以A选项错误；

|z|=|2i|=2,所以B选项正确：

z=-2i.所以C选项正确；

z对应的点在虚轴上，所以D选项不正确.

故选：BC.

z—i

9.(2021•全国高三其他模拟)若复数z满足——=，，则()

z+1

A.z=\+iB.|z|=V2

C.z在复平面内对应的点位于第四象限D.Z?为纯虚数

【答案】BD

【分析】

由—i=求得z=-1+i,结合共轨复数的概念，复数的模及几何意义，复数的运算，逐项判定,

z+1

即可求解.

【详解】

z-i2i2z.(l+z)

由-7=i,可得z="j-：=T.一可一T

z+1I—I(1—+z)=-1+«.

所以，=T-i，所以A不正确;

由国=J(_l)2+『=及,所以B正确;

16

由Z在复平面内对应点为（-1,1）,位于笫二象限，所以C不正确；

由z2=（-l+i）2=-2i,则z2为纯虚数，所以D正确.

故选：BD

10.（2021•全国高一课时练习）设4，z2,Z3为复数，Z1R0.下列命题中正确的是（）

A.若卜卜㈤，则Z2=±Z3B.若Z]Z2=Z]Z3，则Z2=Z3

C.若马=23，则上司二上闻D.若空2=|马『，则4=Z2

【答案】BC

【分析】

取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.

【详解】

由复数模的概念可知，卜21=闾不能得到Z2=±Z3，例如Z2=l+i,z3=l-i,A错误；

由Z|Z2=Z|Z3可得Z]（Z2-Z3）=0,因为Z|R0,所以Z2-Z3=0,即Z2=Z3,B正确；

因为上闵司马|匕I，上闻司马|匕I，而52=Z3，所以IUZ3RZ2I，所以上色卜上局，C正

确；

取4=l+i,z2=\-i,显然满足z,=|z/，但Z|HZ2，D错误.

故选：BC

{TTTT\

11.（2020•全国高三专题练习）已知复数z=1+cos26+isin2,一万<6<]（其中i为虚数单位）

下列说法正确的是（）

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B.z可能为实数

C.|z|=2cos6

D.—的实部为—

z2

【答案】BCD

【分析】

17

TTTT

由一一＜一，得一兀＜2。＜兀，得0＜l+cos2642,可判断A选项；当虚部

22

（TT7T\

sin26=0,e=0£时，可判断B选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C

选项；由复数的除法运算得'=1+cos20-isin201

一的实部是葛档’可判断D选项;

Z2+2cos20z

【详解】

TT7T

因为—＜。＜一,所以一兀＜26＜兀，所以一1vcos26＜l,所以0＜l+cos26＜2,所以A选项

22

错误；

当sin26=0,e=0£—卜寸，复数z是实数，故B选项正确;

|z|=J(l+cos26『+(sin261=j2+2cos2。=2cos0»故C选项正确;

1_1_1+cos20-isin20_l+cos2^-zsin20]

zl+cos26+isin2e(1+cos20+isin2^)(1+cos23-isin2^)2+2cos26'z

1+cos20]_

的实部是故D选项正确;

2+2cos202

故选：BCD.

【点睛】

本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于

中档题.

12.（2021•广东高三专题练习）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测

试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.

A.甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前

B.乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前

C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前