苏科版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题08二次根式(难点)(原卷版+解析)

专题08二次根式（难点）一、单选题1．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（）A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=中，x取x≠-1的实数C．y=中，x取x≥2的实数 D．y=中，x取x≥-3的实数2．下列各式中，从左到右的变形正确的是（

）A． B．C． D．3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和4．下列结论正确的是（

）A． B．若，化简C． D．若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，则5．如果三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是(

)A．1 B．7 C．13 D．19－4k6．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（

）A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数7．已知那么的大小关系是（

）A． B． C． D．8．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是()A．3 B． C．2 D．9．当时，的值为（

）A．1 B． C．2 D．310．已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（

）A．0 B．1 C． D．二、填空题11．比较大小：_____（用“”或“”或“”填空）．12．中变量x的取值范围是________．13．若最简二次根式与能合并，则__________．14．如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且（C在A的左侧），则点C所表示的数是________．15．化简：___________．16．已知，，则的值为___________．17．设，，当t为___________时，代数式．18．如图，将，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第3排第2列的数为，则与表示的两个数的积是_____．三、解答题19．（1）计算：；（2）计算：（其中）．20．21．先化简，再求值：，其中，．22．若表示不超过x的最大整数（如等），求的值．23．像(+2)(﹣2)＝1、•＝a(a≥0)、(+1)(﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)化简：；(2)计算：；(3)比较与的大小，并说明理由．24．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化，根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)对偶式与之间的关系为A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系(2)已知，，求的值；(3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝(m+n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；(2)利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n(a、b都不超过20)填空：+＝(+)2；(3)若a+6＝(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？26．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明）例如：根据以上阅读，请解决下列问题：【基础训练】(1)求的值；【能力提升】(2)设，求S的整数部分．【拓展升华】(3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围．专题08二次根式（难点）一、单选题1．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（）A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=中，x取x≠-1的实数C．y=中，x取x≥2的实数 D．y=中，x取x≥-3的实数【答案】D【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性即可得．【解析】解：A、中，取全体实数，此项正确；B、，即，中，取的实数，此项正确；C、，，中，取的实数，此项正确；D、，且，，中，取的实数，此项错误；故选：D．【点睛】本题考查了函数自变量、分式和二次根式，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．2．下列各式中，从左到右的变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用二次根式的性质进行化简进而得出答案．【解析】解：A．，不符合题意；B．，a的符号不确定，需分情况，不符合题意；C．，符合题意；D．，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】先利用二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，逐项判断即可求解．【解析】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B、，，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、和，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D、，，是同类二次根式，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式化简后，被开方数完全相同的二次根式是同类二次根式是解题的关键．4．下列结论正确的是（

）A． B．若，化简C． D．若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，则【答案】B【分析】A选项考查二次根式比较大小，B，C选项考查二次根式的化简，D选项考查估算，具体做法见详解．【解析】解：，，18<20，所以，故A错误；当时，x-3<0，=-（x-3）+（3-x）=6-2x，故B正确；由可得，a<0，所以，故C错误；因为，所以x=3，y=，所以，故D错误．故答案为：B【点睛】本题主要考查二次根式的化简，运算等，牢固掌握相关知识是关键．5．如果三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是(

)A．1 B．7 C．13 D．19－4k【答案】A【分析】首先根据三角形的三边关系确定k的取值范围，由此即可求出二次根式的值与绝对值的值，再计算即可解答．【解析】∵一个三角形的三边长分别为1，k，3，∴2＜k＜4，又∵4k2-36k+81=（2k-9）2，∴2k-9＜0，2k-3＞0，∴原式=7-（9-2k）-（2k-3）=1．故选A．【点睛】本题主要考查二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握化简的方法是解答本题的关键．6．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（

）A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数【答案】B【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可．【解析】解：=2+6+4=8+4，即型无理数，故选：B．【点睛】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，能正确根据公式和性质展开是解题的关键．7．已知那么的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用倒数法比较大小即可．【解析】解：∵∴，，，∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了实数大小比较，分母有理化，掌握倒数法比较大小的方法是解题关键．8．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是()A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．【解析】由于根号下的数要是非负数，∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，所以a只能等于0，代入等式得=0，所以有x=-y，即：y=-x，由于x，y，a是两两不同的实数，∴x＞0，y＜0．将x=-y代入原式得：原式=．故选B．【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．9．当时，的值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【解析】解：原式=将代入得，原式.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．10．已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解析】，，，，，，，，，故选：C【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决．二、填空题11．比较大小：_____（用“”或“”或“”填空）．【答案】【分析】同分母的分数比较大小，结合无理数的估算，比较分子的大小即可．【解析】解：∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了无理数的估算、比较二次根式的大小，解本题的关键在正确估算出的大小．12．中变量x的取值范围是________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．【解析】解：依题意解不等式①得：解不等式②得：∴不等式组的解集为：，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式组的解集，掌握以上知识是解题的关键．13．若最简二次根式与能合并，则__________．【答案】3【分析】能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可．【解析】解：∵最简二次根式与能合并∴解得：故答案为：3．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．14．如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且（C在A的左侧），则点C所表示的数是________．【答案】【分析】根据数轴上两点之间的距离公式，由列式即可求出点C所表示的数．【解析】解：设点C所表示的数为，∵点A、B所表示的数分别是1、，且由图知B在A的右侧，，∵点A、C所表示的数分别是1、，且由图知C在A的左侧，，，，解得，点C所表示的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系及数轴上两点之间的距离公式，采用了“数形结合”的数学的思想是解决问题的关键．15．化简：___________．【答案】【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可．【解析】解：．故答案：【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．16．已知，，则的值为___________．【答案】【分析】先根据题意得到，再利用二次根式的性质化简即可．【解析】解：∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确得到是解题的关键．17．设，，当t为___________时，代数式．【答案】2【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可．【解析】，，，解得（舍去），．故答案为：2【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键．18．如图，将，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第3排第2列的数为，则与表示的两个数的积是_____．【答案】【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到与表示的两个数，进而与表示的两个数的积，本题得以解决．【解析】解：由题意可得：每三个数一循环，，在数列中是第个，，表示的数正好是第轮的最后一个，即表示的数是，由题意可得：每三个数一循环，，在数列中是第个，，表示的数正好是第轮的第一个，即表示的数是1，故（与表示的两个数的积是：．故答案为．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．三、解答题19．（1）计算：；（2）计算：（其中）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用二次根式的性质及二次根式的加减混合运算计算即可；（2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可．【解析】解：（1）（2）【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及加减乘除混合运算的法则是解题的关键.20．【答案】0【分析】利用二次根式的性质和平方差、完全平方公式将二次根式化简，然后约分后合并即可．【解析】解：．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式将二次根式化简．21．先化简，再求值：，其中，．【答案】【分析】先把二次根式化为最简，再把字母的取值代入即可．【解析】解：∵，，∴，，则．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．若表示不超过x的最大整数（如等），求的值．【答案】2016【分析】根据的运算法则分别计算每个算式，然后计算求解即可．【解析】．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．23．像(+2)(﹣2)＝1、•＝a(a≥0)、(+1)(﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)化简：；(2)计算：；(3)比较与的大小，并说明理由．【答案】（1）（2）2+2+（3）【分析】（1）由×=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；（2）确定分母的有理化因式为与，与，然后分母有理化后计算即可；（3）确定与的有理化因式为与，得到与，然后比较即可．【解析】解：(1)原式==；（2）原式==；（3）根据题意，，，∵，∴，即．【点睛】此题是一个阅读题，认真读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键．24．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化，根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)对偶式与之间的关系为A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系(2)已知，，求的值；(3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．【答案】(1)B(2)(3)【分析】（1）根据题意可把对偶式与相乘，进而问题可求解；（2）由题意易得，，然后可得，，进而代入求解即可；（3）令，然后方程两边同乘t，则有，进而可得，最后问题可求解．(1)解：由题意得：，∴对偶式与互为倒数；故选B；(2)解：由题意得：，，∴，，∴；(3)解：令，则方程两边同乘t得：，解得：，∴，①∵，②∴①+②得：，两边同时平方得：，解得：．经检验：x=-1是方程的解．【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化及分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化及分式的值是解题的关键．25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝(m+n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；(2)利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n(a、b都不超过20)填空：+＝(+)2；(3)若a+6＝(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？【答案】（1）；（2）8，2，1，1（答案