新教材适用2024-2025学年高中数学第6章平面向量及其应用6.1平面向量的概念素养作业新人教A版必修第二册

第六章6.1A组·素养自测一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④密度．其中是向量的是(B)A．1个 B．2个C．3个 D．4个[解析]由物理学学问知速度和位移是向量，既有大小又有方向，符合向量的定义．故选B．2．设点O是正方形ABCD的中心，则向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))是(D)A．平行向量 B．有相同终点的向量C．相等向量 D．模相等的向量[解析]画出图形如图所示，明显向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))是模相等的向量．3．某人向正东方向行进100m后，再向正南方向行进100eq\r(3)m，则此人位移的方向是(C)A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°[解析]如图所示，此人从点A动身，经点B，到达点C，则tan∠BAC＝eq\f(100\r(3),100)＝eq\r(3)，∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．4．在同一平面上，把平行于某始终线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是(B)A．一条线段 B．一条直线C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆[解析]由于向量的起点确定，而向量平行于同始终线，所以随着向量模长的改变，向量的终点构成的是一条直线．5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(B)A．eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线 B．eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线C．eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))相等 D．eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))相等[解析]如图，因为D，E分别是AB，AC的中点，所以由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线．二、填空题6．零向量与单位向量的关系是_共线__(填“共线”“相等”“无关”)．7．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出_6__个互不相等的非零向量．[解析]模为1个单位的向量有2个，如eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；模为2个单位的向量有2个，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))；模为3个单位的向量有2个，如eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，故共有6个．8.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：(1)图中与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))；(2)图中与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(3)图中与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))；(4)图中与eq\o(EC,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(BD,\s\up6(→)).三、解答题9．如图，线段AE的四等分点分别是B，C，D，写出以A，B，C，D，E中的两点为起点和终点，且分别满意下列条件的向量：(1)与eq\o(AC,\s\up6(→))共线且长度为|eq\o(AC,\s\up6(→))|的全部向量；(2)与eq\o(AC,\s\up6(→))相等的全部向量．[解析](1)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→)).(2)eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→)).10.如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与eq\o(AF,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量；(2)写出与eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量．[解析](1)与eq\o(AF,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(BE,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))，与eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(BD,\s\up6(→)).(2)eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→)).B组·素养提升一、选择题1．(多选题)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列推断正确的是(ABC)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))C．|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))[解析]由正六边形的性质可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝|eq\o(FC,\s\up6(→))|，明显eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(FC,\s\up6(→))的方向不同，所以eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(FC,\s\up6(→)).2．如图四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系不肯定成立的是(C)A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|B．eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线C．eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(EH,\s\up6(→))共线D．eq\o(DC,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))共线[解析]|eq\o(AB,\s\up6(→))|与|eq\o(EF,\s\up6(→))|肯定相等，eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(FH,\s\up6(→))肯定共线，eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(EC,\s\up6(→))肯定共线，若eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(EH,\s\up6(→))共线，则BD∥EH，所以∠BDC＝∠DEH，明显不成立，所以eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(EH,\s\up6(→))不共线．故选C．3．(多选题)在下列结论中，正确的是(ACD)A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件[解析]若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A正确，B错误，C、D正确，故选ACD．二、填空题4．把同一平面内全部模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于_3π__.[解析]这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.5．有下列说法：①若a≠b，则a肯定不与b共线；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；③在▱ABCD中，肯定有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；④若a＝b，b＝c，则a＝c；⑤共线向量是在一条直线上的向量．其中，正确的说法是_③④__.[解析]①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))平行且方向相同，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故③正确；④a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；⑤共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线相互平行的向量，故⑤不正确．三、解答题6．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)画出全部的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值与最小值．[解析](1)画出全部的向量eq\o(AC,\s\up6(→))如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②当点C位于点C5或C6时，|eq\o(BC,\s\up6(→)