高中数学：教案：高中数学人教A版2019必修 第一册 同角三角函数的基本关系应用

《同角三角函数的基本关系》（教学设计）

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

《同角三角函数的基本关系》的内容是学习了三角函数定义后，安排的一节继续深入学

习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函

数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学

习中起重要作用。

2、教学目标

根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本次课的教学目标：

A、知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的

推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一

个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。

B、过程与方法：培养学生观察一一猜想一一证明的科学思维方式；通过公式的推导过程

培养学生数形结合的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高

学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

D、核心素养：通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等

合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。

3、教学重点和难点

根据《课程标准》，我将本节课的教学重点确立为：

重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

教学上结合我校学生真实情况我将本节课的教学难点确立为：

难点：1）对于“同角”的理解；

2）角a所在象限不定时对于三角函数值的讨论；

3）证明三角恒等式的一般思路，及公式在解题中的灵活运用。

二、教学流程

本节的教学流程由以下几个环节构成

1

三：课堂设计：

1.同角三角函数基本关系的建构

(1)复习旧知一铺垫新知

1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？

2

2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？

3.对于一个任意角a,sina,cosa,tana是三个不同的三角函数，从联系的观点来

看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实

现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据.

设计意图：带领学生回顾旧知识，为这节课解决新知识作准备。从理论出发，强调事物

之间的联系，而建立初步印象，为下一步的教学做准备。

（2）归纳证明一形成概念

思考1:如图，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P,那么，xjrx

正弦线MP和余弦线0M的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？飞蔓尸

设计意图：从已有的知识出发，类比探索知识的延展，得到合理的猜想，

为发现新知奠定基础，体会由特殊到一般的数学思想。:如J）

思考2：上述关系反映了角a的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特厂、

点,.将它称为平方关系.那么当角a的终边在坐标轴上时，上述关系成立七方fc；）

设计意图：通过讨论，感知并理解公式的使用条件，培养严谨的思维习惯。

思考3：设角a的终边与单位圆交于点P（x,y）,根据三角函数定义，有

y

sin。=y,COSa=%,tana=。）,由此可得s行a

cosa,tana满足什么关系？

设计意图：再一次强化定义，又让学生自己得出关系式，也有利于关系式的记忆。符合学生

的认知过程。运用定义进行严格证明，是解决数学问题的常用方法。

思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？

设计意图：通过讨论，感知并理解公式的使用条件，培养严谨的思维习惯。

思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒

等式，如何用文字语言描述这两个关系？

设计意图：让学生由符号语言转化为文字语言，既深化对公式的认识，又利于关系式的记忆。

符合学生的认知过程。

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①学生：写出几个特殊角的三角函数值，观察他们之间的关系。猜想之间的联系。

设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。

②思考：

问题1:从以上的过程中，你能发现什么一般规律？

问题2：你能否用代数式表示这两个规律？

设计意图：引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，感知同角三角函数

的基本关系。

③强调：sin2a是（sina）2并不是sina2

设计意图：解释式子中的简写形式，消除学生

认知误区。

④证明公式：

回忆：任意角三角函数的定义？

如图：设。是一个任意角，它的

终边与单位圆交于点P（x,y）则：

sina=y；cosa=x

直角三角形MPO中：

MP|2+|OM|2=|OP|2,既x?+y2=l

所以：sin2a+cos2a=1

sina=y,cosa=x,

ysina/,兀、

tana=-=------（a卞kn、——）

xcosa2

设计意图：充分发挥学生的主观能动性，提高学生运用数形结合思想解决所遇见的问题。

（3）辨析讨论一深化公式

思考1：对于平方关系sin2a+cos2a=l可作哪些变形？

思考2：对于商数关系tana吧可作哪些变形？

cosa

（师生活动：对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。）

设计意图：通过问题辨析与讨论，加深公式的理解，对公式的变形有初步认识。

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温馨提示：⑴注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sir?4+cos24=1等.

⑵注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的.

⑶对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）。

判断下列等式是否成立：

1sin2=1

2sin/3=cos/3-tan/3

3cos1——sirx~

Gsin，+/Y)-4-CX>S~41

设计意图：辨析同角的概念，以便突破难点。

2.两个公式在计算三角函数值上的应用

（1）分析实例一应用公式

例1（P183例题6）：已知，sina=-3/5,求cosa,tana的值.

提问1：根据已知，可以先求哪一个值？通过那个公式求？

提问2：开平方取正负，是否都要？要哪一个？依据是什么？

教师在学生回答问题时，把学生回答的解题过程，写在黑板上。

解：因为sina<0,sinaw1,所以a是第三或第四象限角。

若。是第三象限角贝Ucosa<0

cose4

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若a是第四象限角，那么：cosct=―,tana=-二。

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设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来

求三角函数值。设计2个问题，层层递进，给出学生一种解题思路和思考方法。并把解题过

程进行板书，以便让学生掌握解题的书写格式，和解题步骤。

注意：对于不知道a是第几象限角的情况，采用“符号看象限”及分类讨论的思想来

处理。

变式训练：

1、已知cosa=-->求sina,tana

5

2、已知tana=一6,求3皿。,0）00的值。

5

思考1:提示：当角的象限范围在1种以上时，求其它值时要分象限分别求。

思考2：如何建立cosa与sina的联系？如何建立他们与tana的联系？

（找两名学生爬黑板演练。）

设计意图：例题分层设计，由简单到复杂，符合学生的认知过程，使学生易接受引导学

生自主探

索，亲自体验解题思路的形成过程，学会分析问题，解决问题的方法，培养学生分类讨论的

思想。同时使本节课的难点得以突破。跟踪练习2在解题方法上与前两道例题略有不同，设

计该练习是为了进一步突出重点，给学生一个更全面的解题方法。同时也让学生更深刻的体

会到解方程的思想。3道例题中计算较多，通过多练，也可以增强学生的计算技能。

方法总结：

一：若已知sina或cosa,先通过平方关系得出另外一个三角函数值，再用商数关系

求得tanao

二：若已知tana,先通过商数关系确定sina与cosa的联系，再代入平方关系求得

sina与cosa。

注意：若a所在象限未定，应讨论a所在象限。

设计意图：利用之前三道题，共同总结两类问题的解决方法，培养学生归纳分析能力。

（2）动手操作一运用公式

例2、已知tan。=2,求下面各式的值。

⑴sina+cosa

(2)sinacosa

sina-cosa

笈刀,.vr./y\sina_

斛：方法(1)•・•tana=------=2...sina=2cosa

COSdf

EB2cosa+cosa3cosa。

原式=------------=------=3

2cosa-cosacosor

sinacosa

-----+----

_tanor+1

方法（2）,.・cosow0.•.原式分子分母同除以coso原式=cosacosa

八sinacos。tancr-1

cosacosa

2+1

=3

2^1

(2)sinacosa

2cos。cosa

方法1将sina=2cos。代入原式=

4cos之Q+cos?a

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方法2

原w式f—可r变71VA为u「sm--a-c--o-sa

sma+cosa

sinacosa

分子分母同除以cos2。原式=-2cos2a

sinacosa

--2+--2

cosacosa

tana_2

tan2。+12?+1

练习：

已知tan。=-2,

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求⑴5sin，—2cos，；(2)lsin0+-cos^

5cos6+3sine45

方法总结：

1、关于sina、cosa的齐次分式，可以弦化切，变形为关于tana的式子。

2、注意"1”的妙用。

设计意图：两个公式的灵活使用，通过对公式正向、逆向、变式使用加深对公式的理

解与认识。

3.公式在证明上的应用

公式变式一灵活运用

例3：(P19.例题7)

4丁cosx1+sinx

求证：------=-------.

1-sinxcosx

证法：1由cos%w0,知sin%w-1,所以1+sin%w0,于是：

十、fcosx(l+sinx)cosx(l+sinx)

左口=----------------=--------9------

(l-sinx)(l+sinx)1-sinx

_cosx(l+sinx)_1+sinx_右边

cos2Xcosx

所以原式成立

证法2：因为

(1-sinx)(l+sinx)=l-sin2x=cos2x

=cosxcosx

且1一sin%w0,cosxw0,所以

cosx_1+sinx

1-sinxcosx

思考：是否还有其他的证明方法？

方法3：左边减去右边，如果等于零，则等式成立。

方法4：左边除以右边，如果等于一，则等式成立。(保证分母不为零)

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设计意图：三角等式的证明方法很多，先让学生回想以前学过的方法，再结合本节课的

两个关系，通过该题熟悉三角函数等式证明的思路和技巧。对例题适当归纳，从直观认识提

升到理论的水平。

证明三角恒等式经常使用的方法：

1:从等式左边变形到右边；

2：从恒等式出发，转化到所要证明的等式上；

3：左边减去右边等于0；

4：左边除以右边等于1(保证分母不为零)。

(新课到此结束)

设计意图：总结证明方法，以便突破本节难点。

4.总结反思一提高认识

提出问题：

(1)通过本节课的学习，你学会了哪两个公式？

(2)学会了运用两个公式去处理什么类型的问题？

(3)在解决遇见的两类问题时，应分别注意哪些方面的要点？

(4)你能总结本节课的知识体系么？

(先有学生总结，老师再点拨)

设计意图：①回顾本节内容加强学生对本节内容知识体系的理解。

②通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和

应用，培养学生认真总结的学习习惯。

5.布置作业一自主探究

—：书中P184页练习题10、11、12.

二：探究题：已知tana为非零实数，用