名师手拉手高三数学第二轮复习直线和平面

离三政学笫二轮专甄夏国直线和平面

一、考纲要求

1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系（特别是平

行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念.

2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.

3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性

质与判定，进行论证和解决有关问题.

4.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、

两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.

5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.

二、知识结构

L空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.

若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折

线.

若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义

的概念，几何里的平面是无限伸展的.

平面通常用一个平行四边形来表示.

平面常用希腊字母a、6、丫…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形

的两个相对顶点字母表示，如平面AC.

在立体几何中，大写字母A,B,C,…表示点，小写字母，a,b,c,……表示直

线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例

如：

AG1一点A在直线1上；

A定a一点A不在平面a内；

1Ua一直线1在平面a内；

a<Za一直线a不在平面a内；

1Am=A一直线1与直线m相交于A点；

aA1=A一平面a与直线1交于A点；

anB=1一平面a与平面p相交于直线1.

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平

面内.

公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

根据上面的公理，可得以下推论.

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

r平行一没有公共点

共面一

(1)直线与直线彳〔相交一有且只有一个公共点

〔异而(既不平行，又不相交)

'直线在平面内一有无数个公共点

(2)直线和平面j直线不在平面内［平行一没有公共点

I(直线在平面外J相交一有且只有一个公共点

r相交一有一条公共直线(无数个公共点)

(3)平面与平面1

平行一没有公共点

证明两条直线是异面直线通常采用反证法.

有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异

面直线”.

(1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直

线和交线平行，即若a〃a,aB,aAB=b,则2〃13.

③平行于同一直线的两直线平行，即若a〃b,b〃c,则a〃c.

④垂直于同一平面的两直线平行，即若aj.a,b±a,则a〃b

⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若a〃6,an丫，Bny=b,

贝ija//b

⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即

若aAB=b,a//a,a//0,则a/7b.

(2)两直线垂直的判定

①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.

②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b//c,a±b,则a±

c

③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a±a,bc

a,a±b.

④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影

垂直，则它也和这条斜线垂直.

⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a〃a,b

，a,则alb.

⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若y_La,且aAB=a,B

Ay=b,yAa-c,则a±b,b±c,c±a.

(3)直线与平面平行的判定

①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.

(Za,bea,a//b,则a//a.

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若a〃B,lua,则

1〃6.

④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平

行.即若al«a,则l〃a.

⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直

线与这个平面平行，即若A/a,Bea,A、B在a同侧，且A、B到a等距，则AB〃a.

⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若a〃

0,a(Za,atZB,a〃a,则&〃0.

⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即

若aJ_a,b(Za,b±a,则b〃a.

⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这

个平面内)，即若a〃b,a〃a,b〃a(或bua)

(4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

ca,nua,mCn=B,1_Lm,1J_n,则1J_a.

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若1〃

a,a_La,则1_La.

④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若a〃

0,113,则1J.a.

⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平

面，叩若a_L6,anB=a,luB,l_La,则lj.a.

⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若

a±y,6_1_丫，且aflB=a,则aJ.Y.

(5)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点0a〃B.

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若

a,bua,aCb=P,，贝l」a〃B.

③垂直于同一直线的两平面平行.即若a±a,B±a,则a〃B.

④平行于同一平面的两平面平行.即若a〃B,则a〃匕

⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平

行，即若a,bua,c,duB,aCb=P,a〃c,b〃d,贝a//0.

(6)两平面垂直的判定

①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，

即二面角a—a—B=90°<=>a_L0.

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若

B,1ua,则aJ.B.

③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若a〃B,aXy,则

3±Y.

(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.

(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一

个平面内，即若a_LB,AWa,AB_LB,则ABua.

(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，

即若AGa,a_Lb,ASa,b±a,贝aua.

(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若

a,PG6,B〃a,PGa,a//a,则au6.

(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在

这个平面内，即若a〃a,Ada,Aeb,b〃a,则bua.

(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；

(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；

(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；

(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；

(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；

(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；

(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；

(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.

(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的

射影还是点.

(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在

这平面上的射影.

和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.

(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个

平面图形在该平面上的射影.

当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；

当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.

(4)射影的有关性质

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：

(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.

等角定理及其推论

定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.

推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)

相等.

异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点0,分别引直线a'〃a,b'//b,

则a'和b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.

(2)取值范围：0°<0W90°.

(3)求解方法

①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角

②解含有6的三角形，求出角9的大小.

(1)定义和平面所成的角有三种：

(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和

这个平面所成的角.

(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.

(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)取值范围0°WeW90°

(3)求解方法

①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角9.

②解含。的三角形，求出其大小.

③最小角定理

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的

角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.

(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角

的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.

若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.

二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角。的取值范围是

0°<0<180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所

组成的角叫做二面角的平面角.

如图，ZPCD是二面角aABB的平面角.平面角/PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置

无关.

②二面角的平面角具有下列性质：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB_L平面PCD.

(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在

平面角的另一边(或其反向延长线)上.

(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD，a,平面

PCD13.

③找(或作)二面角的平面角的主要方法.

(i)定义法D

(ii)垂面法

(iii)三垂线法

(IV)根据特殊图形的性质

(4)求二面角大小的常见方法

①先找(或作)出二面角的平面角0，再通过解三角形求得。的值.

②利用面积射影定理

S'=S•cosa

其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S'是这个平面图形在另一个面上的射影图

形的面积，a为二面角的大小.

③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.

点到平面的距离

(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面

的距离.

(2)求点面距离常用的方法：

1)直接利用定义求

①找到（或作出）表示距离的线段；

②抓住线段（所求距离）所在三角形解之.

2）利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面

交线的距离就是所求的点面距离.

3）体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱

锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=1S-h,求出h即为所求.这种方法的

3

优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.

4）转化法将点到平面的距离转化为（平行）直线与平面的距离来求.

（1）定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线

和平面的距离.

（2）求线面距离常用的方法

①直接利用定义求证（或连或作）某线段为距离，然后通过解三角形计算之.

②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.

③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.

（1）定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两

个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫

做这两个平行平面的距离.

（2）求平行平面距离常用的方法

①直接利用定义求

证（或连或作）某线段为距离，然后通过解三角形计算之.

②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线（面）

距离，通过解三角形或体积法求解之.

（1）定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的

公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.

（2）求两条异面直线的距离常用的方法

①定义法题目所给的条件，找出（或作出）两条异面直线的公垂线段，再根据有关定

理、性质求出公垂线段的长.

此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.

②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离

③等体积法

④最值法

⑤射影法

⑥公式法

直线与平面

【例题】

【例1】正三棱锥PABC的高和底面边长都等于a,EF是PA与

B

8c的公垂线，E、F分别是垂足。(1)求证：侧棱P/U截面BEC(2)求截面BEC

的面积：(3)求截面8EC与底面ABC所成二面角的大小

解：1)略

2)易知F为BC的中点，在RtAPAO中，AO=—a,PO=a,

3

7

所以PA=^a,又易知PA_LBE,

在等腰三角形PA8中，可求得8£=巫0,

4

3a

所以在直角三角形EFB中，求得EF=(a,所以

3)ZEFA=30°

【例2】已知斜三棱柱ABC—ASG中，AiG=SG=2,D、。分别是A3、

4历的中点，平面AiABSJL平面AIBCI，异面直线AB|和。由互相垂直.

(1)求证：AB|_LCQi；

(2)求证：面ACQ；

(3)若A8i=3,求直线AC与平面ACC所成的角.

解：(1)证明：•.•4G=BiG，。|是Ai乱的中点，于Oi,

又・平面4ABBi_L平面小BiG，CQi_L平面48由A,

而ABiu平面4ABB1，：.AB\LC\D\.

(2)证明：连结DiD,I•。是AB中点，：.DDi=^CCi，:.C\D\//CD,由(1)得C£)_L

ABx，又,.•Ci。」平面AiABBi,CiB±AB,,由三垂线定理得

又♦.•41。〃。山，而C£>nAi£>=。，平面4CD

(3)解：由(2)4B|_L平面ACO于0,连结COi得/AC0为直线4c与平面AC。所成的

An1

角，VAB,=3,AC=AiG=2,：.AO=1,：.sinOCA=^=~,

兀

：.ZOCA=-.

6

【例3】两个全等的正方形ABC。和ABEF所在平面相交于AB,M^AC,N

WFB,KAM=FN,求证：MN〃平面BCE

证法一：作MP_LBC,NQLBE,P、。为垂足，则MP〃A8,NQ//AB.

：.MP//NQ,又AM=NF,AC=BF,

:.MC=NB,NMCP=NNBQ=45°

：.Rt^MCP^Rt/\NBQ

MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形

J.MN//PQ

'：PQu平面BCE,MN在平面BCE外，

〃平面BCE.

证法二：如图过“作MH_LAB于4,MMH//BC,

.AMAH

■（，—---------

ACAB

FNAH

连结NH,由BF=AC,FN=AM,得——=——

BFAB

：.NH//AF//BE,

MHIIBC

由■n平面MNH//平面BCE

NHIIBE

.♦.MN〃平面BCE.

【例4】在斜三棱柱MB\C\~ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC,侧面

6BICIC_L底面ABC.

(1)若。是BC的中点，求证：AD±CCi；

(2)过侧面BBCC的对角线BC\的平面交侧棱于M,若AM=MAi，求证：截面MBCx

，侧面BByCxC-,

(3)AM=M4是截面MBG，平面B3GC的充要条件吗？请你叙述判断理由.

解：(1)证明："：AB=AC,。是BC的中点，C.ADLBC

•.•底面A8C_L平面BBCiC,.,.AD_L侧面BB\C\C

：.ADLCC\.

(2)证明：延长BA与8M交于N,连结CiN

*.*AM=MA\,.'.NA\=A\Bi

VA^^AiCi，・・・4G=4N=AS

Ci/VICiB]

・・•底面NBiG，侧面BBiCiC,・・・GN，侧面BB】GC

・・・截面侧面BBCiC

・•・截面MBC】_L侧面BBiCiC.

(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.

过M作ME±BCi于E,：截面M8G_L侧面BBCC

侧面BBiCC又：AO_L侧面BBCC.

：.ME//AD,：.M,E、。、A共面

〃侧面BBiCC，J.AM//DE

VCC1LAM,：.DE//CC\

：Z)是BC的中点，是8G的中点

AM=DE=-CC：.AM=MAt.

22

【例5】己知斜三棱柱ABC4夕C的底

面是直角三角形，ZC=90°,侧棱与底面所成的

角为a(00<a<90°),夕在底面上的射影D

落在BC上。

(1)求证：AC_L面BB'CC.

(2)当a为何值时，4BC,且使得D恰为

BC的中点。

解：⑴；B'D±®ABC,ACu面ABC,

B'D_L4C,

又AC_LBC,BCnB'D=D,

AC_L面88'C'C。

(2)由三垂线定理知道：要使AB'LBC',需且只需A9在面BB'C'C内的射影

B'C±BC,.即四边形B8CC为菱形。此时,BC=BB,.

因为夕DJ_面A8C,所以，N83。就是侧棱夕8与底面ABC所成的角。

由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时N880=60。。

即当a=60°时,AB'±BC',且使得D恰为BC的中点。

【例6】如图：已知四棱锥

P—A3CD中，底面四边形为正方形，侧

面PDC为正三角形，且平面PDCJJ点面

ABCD,E为PC中点。

(1)求证：平面EDBL平面PBC；

(2)求二面角C的平面角的正

切值。

解：(1)要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平

面的一条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，

DELPC,那么我们自然想到：是否有。面PBC?这样的想法一经产生，证明它并

不是一件困难的事情。

:面PDCJ_底面ABCD,交线为DC,

DE在平面ABCD内的射影就是DCo

在正方形ABCD中，DC_LCB,

DE_LCB。

又PCcBC=C,PC,BCu面PBC,

：.DEIffiPflC,

又DEu面EDB,

，平面EDB_L平面PBCo

(2)由(1)的证明可知：DE_L面PBC。所以，NBEC就是二面角

3—OE-C的平面角。

,/面PDC_L底面ABCD,交线为DC,

又平面ABCD内的直线CB1DC。

/.CBlffiPDCo

又PCu面PDC,

CBIPCo

在RtAECB中，tanZfiEC=—=2o

CE

【例7】如图：在四棱锥S-4?C£>

中，SA_L平面ABCD,Z

jr

BAD=ZADC=-,AB=AD=2a,

2

CD=a,£为SB的中点。

(1)求证：CE〃平面SAO；

(2)当点E到平面SCO的距离为多少时，平

面SBC与平面S4O所成的二面角为45°?

解：题目中涉及到平面SBC与平面S4。所成的二面角，所以，应作出这两个平面的

交线(即二面角的棱)。另一方面，要

证CE〃平面S4O,应该设法证明CE

平行于面S4O内的一条直线，充分利

用中点(中位线)的性质，不难发现，

刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。

(1)延长BC、4D交于点Fo

在\FAB中，Z

BAD=^ADC=—,所以，AB.CD都

2

与4F垂直，所以，CD//AB,所以，ACDFsMAF。又AB=2a,CD=a,所以，点

D、C分别为线段4F、BF的中点。

又因为E为S3的中点，所以，EC为ASBC的中位线，所以，EC//SF。

又面SA。，Sfu面S4。，所以，CE〃平面S4。。

(2)因为：S4,平面ABCD,ABu平面A8CD,所以，AB1SA.又

AB1AF,AFr>SA=A,所以，A8_L面SAF1。

过A作AH1SF于H,连BH,则8H_LSF,所以，就是平面S8C与平面

SAD所成的二面角的平面角。

在RI&9/Z4中，要使NB〃4=45°,需且只需AH=4B=2a。

此时，在ASAF中，SA=S「A"=向+(4")2.2〃,所以，sA=^a。

AF4。3

在三棱锥SACD中，设点A到面SCD的距离为h,贝IJ

ADDC

SSA

h-^ACD'_23A_4£>SA_皿弘_V14

S&SCDSDCDSD飞SA?+AD?4

2

因为A3//DC,所以，AB//面SCD。所以，点A、5到面SCD的距离相等。又因为E为

SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点8到面SCD距离的一半，即。=巫。

28

【例8】如图，在三棱柱-中，四边形AA8Q是菱形，四边形

8CC5'是矩形,C'S'lAB。(1)求证：平面C4'艮LAA8；

(2)若Cb=3,AB=4,ZABB'=6(T,

求AC'与平面BCC'所成角的大小(用反三角函数表示)

解：(1)证明：

C

在三棱柱ABC—A'B'C中，CB'//CB

J.CBLAB-.又VCB±BB'；ABABB'=B

：.CB±¥ffi4^B

VCBu平面。VB

，平面CAB1平面A'AB

(2)解：由A

CB,1.平面A'AB,得平面A'A81平面8CC'

过点4作4”，平面8CC,，为垂足，

则H在BB'上，

连结C'H,则Z4CH为AC'与平面8CC'所成的角

连接AB，，由四边形4AB"是菱形，ZABB'=60°

可知为等边三角形，而H为由T中点，又/0=4

AH=2®于是在RrAC'8'A中，

AC'=yl42+32=5,而在R/A4，C'中,

,.2后

sin/ACH-----

5

/Ad.2百

/.ZACH=arcsin---

5

因此，直线AC与平面3CC所成的角是arcsin年。

【例9】在长方体ABCD—A,BfC,D,中，AB=a，AD=b,A4'=c

(a>b>c),由顶点A沿着长方体的表面

到顶点C的最短距离是多少？

解:如图所示

AC[=Jc2+(a+1)2

=J-、+Z72+c，+2ab

AC2=J(b+c)2+/

=yla2+Z?2+c2+2hc

ACy=+up+b?

=4a1+b2-k-c2+2ac

a>b>c

lab-2ac=2cl(b-c)>0

2ac-2bc=2c(a-/?)>0

/.lab>2ac>2bc

故4Q=J。？+>2+。2+2bc是所求最短品巨离

【直线与平面练习】

一、选择题

1.在长方体ABC。一A181Goi中，底面是边长为2的正方形，高为4,则点4到截面

ABQi的距离是（）

2.在直二面角。一/一£中，直线aua,直线匕u£,a、匕与/斜交，贝底）

A.4不和方垂直，但可能a〃6B.a可能和b垂直，也可能

//h

C.a不和6垂直，a也不和6平行D.a不和b平行，但可能a_L6

二、填空题

3.设X、KZ是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“*，2且y_LZ=X〃

为真命题的是(填序号).

①x、八z是直线②x、y是直线，z是平面③z是直线，x、丫是平面④x、Kz

是平面

4.设〃力是异面直线，下列命题正确的是.

①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和4、。都相交

②过不在〃、人上的一点P一定可以作一个平面和“、b都垂直

③过a一定可以作一个平面与b垂直

④过。一定可以作一个平面与6平行

三、解答题

5.如图，在四棱锥P—4BC。中，底面ABC。是矩形，侧棱南垂直于底面，E、F分

别是A8、PC的中点.

⑴求证：CDLPD;

(2)求证：EF〃平面用£);

(3)当平面PCD与平面ABC。成多大角时，直线E/tL平面尸C。？

6.如图，在正三棱锥A—BCC中，ZBAC=30°,AB=a,平行于A。、BC的截面EFG”

分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.

(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.

(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面P8C_L平面EFGH,请给出证明.

7.如图，正三棱柱48C—48G的各棱长都相等，D、E分别是CG和A8的中点,

点尸在上且满足5F：FC=\:3.

(1)若M为4?中点，求证：BBi〃平面EFM；

(2)求证：EF±BC；

(3)求二面角A\—B\D—Ci的大小.

8.如图，已知平行六面体ABCD—AiBiCQ的底面是菱形且/CCB=

NGCD=NBCD=60；

(1)证明:CiCLBD；

⑵假定CD=2,CG=—，记面C\BD为。，面CBD为£,求二面角。一B。一万的平面角

2

的余弦值；

CD

⑶当的值为多少时,可使人心上面GBD?

cq

一、1.解析:如图，设4GCBQi=Oi，VB\D\LAxOx，BiDi±AAi，.'.BQ」平面

41。，故平面A4iO」ABQi,交线为AOi，在面44G内过Ai作Ai”，AOi于H,则易

知AxH长即是点4到平面ABiDi的距离，在RtAAiOiA中，人。=正，40尸3板,由

,4

A\0\•AiA=/z•AOi,可得47/=—.

3

答案：C

2.解析：如图，在/上任取一点P,过尸分别在。、£内作a'//a,b'〃"在屋上任

取一点A,过A作AC，/,垂足为C,则AC,£,过C作交/于B,连AB,由

三垂线定理知AB_Lb',

.•.△APB为直角三角形，故NAPB为锐角.

答案：C

二、3.解析：①是假命题，直线X、KZ位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是

真命题，④是假命题，平面X、KZ位于正方体的三个共点侧面时为反例.

答案：②③

4.@

三、5.证明：(1)：B4_L底面ABC£>,是尸。在平面ABCD内的射影，

■:CDu平面ABCD且CDLAD,J.CDLPD.

(2)取CO中点G,连EG、FG,

V£.F分别是AB、PC的中点，：.EG//AD,FG//PD

.,.平面EFG〃平面PAD,故EF〃平面PAD

(3)解：当平面PC£)与平面ABC。成45°角时，直线E/，面PCO

证明：G为CD中点，则EG_LCD,由(1)知FGLCD,故NEG尸为平面PC。与平面

ABC。所成二面角的平面角.即NEGF=45°,从而得NAOP=45°,AD=AP

由RtAB4E^RtACfi£,MPE=CE

又尸是PC的中点，：.EF±PC,由CD_LEG,CDLFG,得CD_L平面EFG,CD1EF

即EFVCD,故EF_L平面PCD.

6.(1)证明：

AD〃面EFOH

面ACDA面EFGH-HGAD〃H(；

AQC：而ACD

同理EF〃尸G,二£尸6"是平行四边形

；A-BCD是正三棱锥，在底面上的射影0是△BC。的中心，

.'.DOLBC,：.AD±BC,

C.HGVEH,四边形EfGH是矩形.

(2)作CPJLAZ)于P点，连结8P,,：AD1.BC,面BCP

'：HG//AD,WGc[fiEFGH.l^EFGH,

出

在RtZ\APC中，NC4P=30°,AC=a,：.AP=­a.

2

7.(1)证明：连结EM、MF,-：M.E分别是正三棱柱的棱AB和AS的中点，

：.BB\//ME,又38i<z平面EFM,〃平面EFM.

(2)证明：取BC的中点N,连结4N由正三棱柱得：AN1.BC,

又BF：FC=1：3,二产是BN的中点，MF//AN,

J.MFLBC,而BC_LB8i，BB\〃ME.

J.MELBC,由于MFAME=M,；.BC_L平面EFM,

又EF平面EFM,J.BCVEF.

(3)解：取BiCi的中点O,连结40知，4O_L面BCCiB],由点。作BiD的垂线

OQ,垂足为Q,连结Ai。，由三垂线定理，AQLBiQ,故N4Q。为二面角4一BQ—C

的平面角，易得NA|0O=arctanJI?.

8.(1)证明：连结4G、AC,AC和BO交于点O,连结GO,

••,四边形ABC。是菱形，：.AC±BD,BC=CD

又•••/8CG=/DCC,GC是公共边，.,.△CiBC^AGDC,AC\B=C\D

•：DO=OB,：.C\OVBD,但AC_LB£>,ACC1GO=。

，B£)_L平面AG，又GCu平面AC"AC\CVBD.

(2)解：由(1)知AC_LB。，CiOlBD,二/GOC是二面角。一80一£的平面角.

333

在△G3C中，BC=2,GO—,ZBCCi=60°,ACIB2=22+(-)2-2X2X-Xcos60°

222

"T,

13

,/ZOCB=30°,/.OB=-,BC=1,Ci0=-,B|JGO=GC.

22

作G”_LOC，垂足为“，则〃是。。中点且：.cosCiOC=—

23

CD

(3)解：由(1)知3D，平面ACi,・・・AQu平面AG,...BfLLCC,当——=1时,平行

CC1

六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1±A|C,又；BDCBG=B,.•.AC_L平面

C\BD.

空间的角

【复习要点】

空间角的计算步骤：一作、二证、三算

1.异面直线所成的角范围：0°<〃W90°

方法：①平移法；②补形法.

2.直线与平面所成的角范围：0°W(?W90°

方法：关键是作垂线，找射影.

方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.

注：二面角的计算也可利用射影面积公式S'=Scos。来计算

【例题】

【例1】如图，a8为60。的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶

点P在/上，MGa,NG£,且与£所成的角等于NP与。所成的角.

(1)求证：分别与。、£所成角相等；

(2)求MN与6所成角.

解：⑴证明：作M4_L。于4,MBA.£于8,连接AP.PB、BN、AM,再作ACLI于

C,BDJJ于D,连接NC、MD.

VNA±a,MB_LB,：./MPB、ANPA分别是MP与6所成角及NP与。所成角，Z

MNB,NM0A分别是MN与。所成角，AZMPB=ZNPA.

在Rtz^MPB与Rt^N%中，PM=PN,ZMPB=ZNPA,：./\MPB^/\NPA,:.MB=NA.

在Rt/\MNB与Rt/\NMA中，MB=NA,MN是公共边，:AMNB沿4NMA,：.Z

MNB=NNMA,即（1）结论成立.

⑵解：设NMNB=。,知％=04,则PB=PN=a,MB=NA=^asin9,NB=y[2acos0,V

MBA.f,BDJJ,；.MDU,：.NMDB是二面角。一/一£的平面角，

Z.ZMDB=60°,同理NNC4=60°,

BD=AC=—MB=asin0,CN=DM=———=-V6asin°,

336sin6003

\'MB±P,MPVPN,:.BPLPN

PCRD

•・・NBPN=90°,ZDPB=ZCNP,：.△BPD^△PNC,—

PNPB

22

BJa-CNDB卜一（雪加夕在加8

即-----------=/=-------------------=—厂—

ayIBN2-a2a3V（V2acos6>）2-a2

整理得，16sin416sin20+3=0

解得sin2。=,或2勒11«=,或』，当sin0=立~时，CN=—4bosin0=叵a>PN不

442223

合理，舍去.

sin0=-,：.MN与£所成角为30°.

2

【例2】在棱长为“的正方体ABC。一A'B'C'D'中，E、尸分别是BC、

A'D'的中点.

(1)求证：四边形8,ED尸是菱形;

(2)求直线A'C与。E所成的角；

(3)求直线AD与平面B'ED尸所成的角：

(4)求面B'EDF与面ABCD所成的角.

解：(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B'E=ED=DF=FB'=正“，下证B'、

2

E、D、F四点共面，取AD中点G,连结A1G、EG,由EG=^AB=^A'B'知，B'

EGA'是平行四边形.

:.B'E//A'G,又4'F^DG,：.A'G。尸为平行四边形.

.'.A'G//FD,二"、E、D、尸四点共面

故四边形8'EDF是菱形.

(2)解：如图所示，在平面A8CQ内，过C作CP〃CE,交直线A。于P,

则NA'CP(或补角)为异面直线A'C与OE所成的角.

在aA'CP中，易得A'C=&,CP=DE=-a,A'P=­a

22

由余弦定理得cosA'CP=^-

故A'C与。E所成角为arccos\F.

(3)W：ZADE=ZADF,：.AD^^B'EDF内的射影在/EOF的平分线上.如下图

所示.

又♦:B，EDF为菱形，；.DB，为NEQF的平分线，

故直线A。与平面夕EOF所成的角为/AO8'

在RtZ^B'A。中，AD=>/2a,AB'=6a,B'/>五

则cosA£>5'=——

3

故A。与平面3,EOF所成的角是arccos立.

3

(4)解：如图，连结EF、B'D,交于。点，显然。为夕。的中点，从而。为正方形

ABCD—A1B'C。的中心.

作OH_L平面ABCD,则H为正方形ABCD的中心，

再作垂足为M,连结0M,则OM_LOE,

故/0M”为二面角8'—DE'-A的平面角.

在RtADOE中，0E=—a,OD=—”,斜边DE=—a,

222

则由面积关系得OM=ODOE=我a

OM6

故面8,E£>F与面ABCO所成的角为arcsin^—.

【例3】如下图，已知平行六面体ABCD—A由iCQi中，底面ABC。是边长

为a的正方形，侧棱AAi长为"且A4i与A8、AQ的夹角都是120°.

求：(1)AG的长；

(2)直线BDi与AC所成的角的余弦值.

解：(1)IAG『=星,AG=(诵+AC)(丽+AC)

=(AAt+AB+ADXAAt+AB+AD)

=|丽『+|而F+|而|2+2丽•丽+2丽•而+2而.而

由已知得:|而『=/,|而|2=|诟『="

＜丽,而＞=＜苞,而＞=120。,＜而,而＞=90°

：.