勾股定理（含解析）-2020-2021学年八年级数学下册期末复习知识点（人教版）

专题02勾股定理（含解析）

一.勾股定理（共6小题）

1.如图，C是线段上一动点，/SACD,ACBE都是等边三角形，M,N分别是CD,BE

的中点，若4?=4,则线段MN的最小值为（）

百打口

A.•—DR•3i。x.y八JLJ•-3--6-----

242

2.丁丁和当当用大小相同的圆形纸片分别剪成扇形（如图）做圆锥形的帽子，请你判断哪

个小朋友做成的帽子更高一些（）

A.TTB.当当C.一样高D.不确定

3.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3,另一直角边长为9,则斜边长为（）

A.15B.12C.10D.9

4.已知点尸（3皿,4-4⑼为平面直角坐标系中一点，若O为原点，则线段PO的最小值为（

）

A.2B.2.4C.2.5D.3

5.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以AB为一条边向三角形外部作正方

6.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为

半径画弧，交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是（）

C.72D.6

勾股定理的证明（共6小题）

7.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽

弦图”（如图1）.图2是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角

形拼接而成，记图中正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MNKT的面积

分别为5、$2、S3.若E+S2+S3=10,则S2的值是（）

图1图2

A.—B.—C.3D.-

333

8.如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我

国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线

段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为5「空白部分的面积为邑，大正方形的边长为加，

小正方形的边长为"，若每一之，则"的值为一.

S22m

9.(1)教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公

式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边

长都为。，较小的直角边长都为A,斜边长都为C),大正方形的面积可以表示为CL也可以

表示为4x1必+(〃-力2,所以4xL"+(a-b)2=c2,即〃2+k=°2.由此推导出重要的勾

22

股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,h,斜边长为c,则/+从=02.图②为美国

第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理.

(2)试用勾股定理解决以下问题：

如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4,则斜边上的高为—.

(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(。-2力2=/-4。6+4/,画在上面的网格中，

10.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形A8C中，

ZACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,正方形/ECR中，IE=EC=CF=F1=x

(1)小明发明了求正方形边长的方法：

由题意可得3£>=3E=a-x,AD=AF=b-x

因为=所以a—x+b—x=c,解得x=

2

(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：

利用S&ec+SM/C+S<y«c可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的

求解过程：

(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.

11.阅读理解：

【问题情境】

教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1,利用此图，可以验证勾股定理吗？

【探索新知】

从面积的角度思考，不难发现：

大正方形的面积=小正方形的面积的个直角三角形的面积

从而得数学等式：一；(用含字母。、b、c的式子表示)

化简证得勾股定理：a2+b2=c2

【初步运用】

(1)如图1,若b=2a,则小正方形面积：大正方形面积=—；

(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2,若。=4,5=6此时空白部分的面

积为;

【迁移运用】

如果用三张含60。的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出

图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60。的三角形三边a、b、c之间

的关系，写出此等量关系式及其推导过程.

知识补充：如图4,含60。的直角三角形，对边)，：斜边x=定值上.

12.如图，在中，AC_L8£>于C,点E为AC上一点，连接B£、DE,£)E的延长

线交A3于尸，已知。£=他，ZC4£>=45°.

(1)求证：DFVAB-,

(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在AABC中，ZACB=90。，

BC=a,AC=h,AB=c,求证：a2+b2=c2.

三.勾股定理的逆定理(共8小题)

13.由下列条件不能判定AABC为直角三角形的是()

A.ZA+ZB=Z.CB.a:b:c=\A:2

C.(b+c)(b-c)=a2D.a=1,b=-j3,c=2

14.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()

A.>/2,A/3,X/5B.,-C.32,42,52D.4,5,6

345

15.下列条件中，不能判断AA8C(a、b、c为三边，24、ZB.NC为三内角)为直角三

角形的是()

A.a2=1,6'=2,c2=3B.a:b:c—3:4:5

C.Z4+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

16.在AA8c中，NA、NB、NC的对边分别为a、b、c,下列条件不能判断AA8C是直

角三角形的是()

A.ZB=ZC+ZAB.a2=(b+c)(b-c)

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.a:b:c=3:4:5

17.如图，已知AABC中，AB=\O,AC=8,BC=6,AC的垂直平分线交43于点。,

垂足为E,连接8,则CD的长为()

C.4.8D.5

18.如图，在边长为1的小正方形网格中，若AABC和AADE的顶点都在小正方形网格的格

点上，贝i]NABC+NA£>E=°.

19.如图，A48C中，8c的垂直平分线DE分别交A3、BC于点、D、E,?LBDr-D^=AC2.

(1)求证：Z4=90°;

(2)若A8=8,AD:BD=3:5,求AC的长.

20.如图，AZ)是AABC的中线，小是AADC的高，D尸是AABZ)的中线，且CE=1,DE=2,

AE=4.

(1)乙4DC是直角吗？请说明理由.

(2)求小的长.

21.下列各组数中，是勾股数的为（）

A.1,2,3B.4,5,6C.3,4,5D.7,8,9

22.下列数组是勾股数的是（）

A.2、3、4B.0.3、0.4、0.5C.6、8、10D.7,12、15

23.下列各组数中，是勾股数的为（）

A.1,1,2B.1.5,2,2.5C.7,24,25D.6,12,13

24.若8,“，17是一组勾股数，则°=

五.勾股定理的应用（共8小题）

25.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条

到达底部的直吸管在罐内部分。的长度x（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（）

A.12轰!k13B.12M15C.5麴上12D.5领k13

26.如图，为了求出湖两岸A、3两点之间的距离，观测者在湖边找到一点C,并分别测

N84c=90。，ZABC=3O°,又量得3c=100相，则A、3两点之间距离为.

27.如图，某斜拉桥的主梁"）垂直于桥面于点。，主梁上两根拉索AB、AC长分别

为13米、20米，主梁4）的高度为12米，则固定点3、C之间的距离为米.

28.“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中

国最高的空中苏式园林现以现代大道所在的直线为x轴，星海街所在的直线为y轴，建

立如图所示的平面直角坐标系(1个单位长度表示的实际距离为100米)，东方之门的坐标为

A(6,T),小明所在位置的坐标为8(-2,2),则小明与东方之门的实际距离为一米.

Ei

0

3(-2,2)

现代大道现代大道

E3

-4(6,-4)

29.如图，一个直径为12c%的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm,

当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度.

30.一艘轮船从A港向南偏西48。方向航行100A〃到达B岛，再从8岛沿EW方向航行

125km到达C岛,A港到航线BM的最短距离是60b〃.

(1)若轮船速度为25k”/小时，求轮船从C岛沿C4返回A港所需的时间.

(2)C岛在A港的什么方向？

北

什

31.如图所示，一架梯子4?斜靠在墙面上，且45的长为2.5米.

（1）若梯子底端离墙角的距离08为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？

（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A,那么梯子的底端3在水平

方向滑动的距离BB'为多少米？

32.如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千他在静止位置时，下端》离地面0.6”?，荡秋千

到的位置时，下端3距静止位置的水平距离£»等于24”，距地面1.46，求秋千的

长.

0.6

专题02勾股定理（含解析）

参考答案与试题解析

--勾股定理（共6小题）

1.如图，C是线段上一动点，MCD,ACBE都是等边三角形，M,N分别是CD,BE

的中点，若A3=4,则线段MN的最小值为（）

A石R636

A»D•---------C•VJU.-------

242

【分析】连接C7V.首先证明NMCN=90。，设AC=o,则8C=4-a,构建二次函数，利

用二次函数的性质即可解决问题.

【解答】解：连接。V,

•・•AACD和\BCE为等边三角形，

:.AC=CD,BC=CE,ZACD=ZBCE=ZB=6O°f

ZZ7CE=6O°,

・.・N是的的中点，

:.CNLBE,ZEOV=30°,

:.ZDCN=90。,

设AC=a，

・・・AB=4,

ic

:.CM=-aCN=—(4-a),

229

...MN=《CM?+CN?=J；/+34-a)2=J(〃-3.+3,

.•.当a=3时，MN的值最小为

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题.

2.丁丁和当当用大小相同的圆形纸片分别剪成扇形（如图）做圆锥形的帽子，请你判断哪

个小朋友做成的帽子更高一些（）

A.TTB.当当C.一样高D.不确定

【分析】可得丁丁剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径大于当当剪成扇形做圆锥形的帽子的

底面半径，由于母线长相等，根据勾股定理可得当当做成的帽子更高一些.

【解答】解：由图形可知，丁丁剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径大于当当剪成扇形做圆

锥形的帽子的底面半径，

•.•扇形的半径相等，即母线长相等，

,■由勾股定理可得当当做成的圆锥形的帽子更高一些.

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，圆锥的认识，关键是得到丁丁剪成扇形做圆锥形的帽子的底

面半径大于当当剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径.

3.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3,另一直角边长为9,则斜边长为（）

A.15B.12C.10D.9

【分析】设斜边长为x,则一直角边长为x-3,再根据勾股定理求出x的值即可.

【解答】解：设斜边长为x,则一直角边长为x-3,

根据勾股定理得92+（x-3）2=V,

解得x=15.

故选：A.

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和

一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

4.已知点尸（3,%4-4M为平面直角坐标系中一点，若O为原点，则线段PO的最小值为（

)

A.2B.2.4C.2.5D.3

【分析】利用勾股定理求得PO的长度，然后利用配方法求其最小值.

【解答】解：根据题意知：PO=J(3，")2+(4-4%)2=小25(%—微了+含•

当机《时，尸明=借号=2.4.

所以线段尸。的最小值为2.4.

故选：B.

【点评】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形性质，注意配方法在解题过程中的应用.

5.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以他为一条边向三角形外部作正方

【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：•.•NC=90。，AC=4,BC=2,

AB=VAC2+BC2=\l42+22=2亚,

正方形的面积==(26)2=20,

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键.

6.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为

半径画弧，交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是()

।I，，)।>

-101.42

A.1B.1.4C.41D.6

【分析】根据勾股定理求出03,进而得到。4的长，根据数轴的概念解答即可.

【解答】解：由勾股定理得，。8=正+产=&,

则。4=03=,

.•.点A表示的数是应,

【点评】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是”,

b,斜边长为c,那么/+从=02.

二.勾股定理的证明（共6小题）

7.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽

弦图”（如图1）.图2是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角

形拼接而成，记图中正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MNKT的面积

分别为5、S2>S3.若E+S2+S3WO,则S2的值是（）

【分析】根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三

角形面积一个设为y,从而用x,y表示出5，S2,S3,得出答案即可.

【解答】解：将四边形M77W的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一

个设为y,

•.•正方形ABC。，正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,

5,+S2+S3=10,

二得出S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,

S,+S2+S3=3x+12y=10,故3x+12y=10,

“10

x+4y=—,

所以$2=x+4_y=,

故选：B.

【点评】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x,y表示出S2,

S3,再利用5+52+83=10求出是解决问题的关键.

8.如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我

国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图在此图形中连接四条线

段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S「空白部分的面积为邑，大正方形的边长为加，

小正方形的边长为〃，若当=3,则K的值为为

S,2m~5

【分析】由*=|,可得S2为大正方形面积的|.设A5为x,表示出空白部分的面积邑，

即_1/乂4=2病，则x=Yl%,再在RtAABC中使用勾股定理得到关于机，"的方程，可

255

求得上的值.

m

【解答】解：•.■工=3,大正方形面积为加，

s22

2，

C=m

/.S2~~,

设图2中=依题意则有:

AQ_22

4,5MDC=不相，

BP4x—xx2=-m2，

25

解得：N（负值舍去）,

在RtAABC中，

AB2+CB2=AC2,

+"）2=M

m3m

解得:(负值舍去).

m

2=逅」=在

mm垂)5

【点评】本题考查了勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为。、b,斜边为c,那么

a2+b2=c2,使用可建立方程求解相应线段长.

9.(1)教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公

式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边

长都为。，较小的直角边长都为人，斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为也可以

表示为4xgH+(a-Z?)2,所以4xg"+(a-A)2=c2,BRa2+b2=c2.由此推导出重要的勾

股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,〃，斜边长为c,则/+层=/.图②为美国

第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理.

(2)试用勾股定理解决以下问题：

如果直角三角形A3C的两直角边长为3和4,则斜边上的高为

(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(〃-2力2=/-4必+4/,画在上面的网格中,

并标出字母a,6所表示的线段.

【分析】(1)梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两

次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证;

(2)由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高;

(3)己知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形.

【解答】解：(1)梯形ABC。的面积为’(〃+33+3=1。2+必+,从,

222

也利用表示为1必+\2+1他，

222

1,1,,1,11,

/.—cr2+ah+—b~=—ah+—c2+—ab,

22222

即a2+&2=c2；

(2)・.•直角三角形的两直角边分别为3,4,

厂•斜边为5,

,・,设斜边上的高为力，直角三角形的面积为LX3X4=LX5X/Z,

22

,12

h——,

5

故答案为U;

5

(3)•・,图形面积为：(a-2b)2=a2-4ab+4b2,

边长为a-2b,

由此可画出的图形为：

【点评】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形

的创新题型，此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结

果.

10.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形A8C中，

ZACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,正方形/ECF中，IE=EC=CF=Fl=x

（1）小明发明了求正方形边长的方法：

由题意可得=AD=AF=b-x

AB=BD+AD>所以a-x+6-x=c，解得x="+'_-

2

（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：

利用S.BC=SMlB++Sw可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的

求解过程：

（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.

【分析】（1）根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；

（2）根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解;

（3）综合（1）和（2）的结论进行推导即可得结论.

【解答】解：（2）因为5明隧=44如+，眦+5皿。

—ab=-ex-ax+—bx

2222

所以x=ab.

a+b+c

答：x与a、b>c•的关系为x=————•

a+b+c

(3)根据(1)和(2)得：

V--a-+--b---c-a-h-----

2a+b+c

即lab-(a+b+c)(a+b-c)

化简得/+从=02.

【点评】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、正方形的性质、三角形的面积,

解决本题的关键是综合利用相关知识.

11.阅读理解：

【问题情境】

教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1,利用此图，可以验证勾股定理吗？

【探索新知】

从面积的角度思考，不难发现：

大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积

从而得数学等式：_3+力2=c2+4x〈H_;(用含字母”、b、C的式子表示)

化简证得勾股定理：/+从=。2

【初步运用】

(1)如图1,若b=2a,则小正方形面积：大正方形面积=—；

(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2,若a=4,b=6此时空白部分的面

积为一:

【迁移运用】

如果用三张含60。的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出

图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60。的三角形三边a、b.c之间

的关系，写出此等量关系式及其推导过程.

知识补充：如图4,含60。的直角三角形，对边y：斜边x=定值k.

ba

图1

【分析】【探索新知】根据大正方形的面积=小正方形的面积M个直角三角形的面积，构建

关系式即可解决问题.

【初步运用】(1)如图1,求出小正方形的面积，大正方形的面积即可.

(2)根据空白部分的面积=小正方形的面积-2个直角三角形的面积计算即可.

【迁移运用】根据大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即

可.

【解答】解：［探索新知］由题意：大正方形的面积=(a+b)2=c2+4xg必，

22

cr+2ah+b=c+2ahf

/./+廿=/

【初步运用】(1)由题意：b=2a,c=\/5a,

.•.小正方形面积：大正方形面积=5/：92=5:9,

故故答案为5:9.

(2)空白部分的面积为=52-2/x4x6=28.

2

故答案为28.

［迁移运用］结论：a2+h2-ah=c2.

理由：由题意：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积

可得：—(6/+Z?)xk(a+h)=3x-xhxka-i--xcxck,

222

3+b)2=3ab+c2

a2+b2-ab=c2.

【点评】本题考查勾股定理的证明以及运用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问

题，属于中考常考题型.

12.如图，在中，于C,点E为AC上一点，连接BE、DE,QE的延长

线交A8于F,已知ZCAD=45°.

(1)求证：DF±AB；

(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在AABC中，ZACB-90°,

BC=a,AC=h,AB=c,求证：a2+b2=c2.

【分析】(1)利用“8字型”证明ZAFK=NE8=90。即可.

⑵利用5皿+SWD=5^-S；即可得出结论•

【解答】解：(1)-.-ACYBD,ZCAD=45°,

AC=DC,ZACB=ZDCE=90°,

在RtAABC与RtADEC中，

[AC=DC

[AB=DE'

RtAABC=RtADEC(HL),

,-.ZBAC=ZEDC,

ZEDC+NCED=90°,NCED=ZAEF,

:.ZAEF+ZBAC=90°,

:.ZAFE=90°,

：.DFLAB.

(2)SfJiCE+S/sACD=S3D—SMBE'

-a2+-/?2=-c-DF--cEF=-c(DF-EF)=--c-DE=-c2,

2222222

a2+b2=c2.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌

握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型.

三.勾股定理的逆定理(共8小题)

13.由下列条件不能判定AABC为直角三角形的是()

A.ZA+Zfi=ZCB.a:b:c=lA:2

C.(b+c)(b—c)=a2D.a=1,b=-\/3>c=2

【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求出NC度数，再判断选项A即可；根据三角

形的三边关系定理判定选项B即可；根据勾股定理的逆定理判定选项C和选项D即可.

【解答】解：A.-.■ZA+ZB=ZC,ZA+Zfi+NC=180。，

/.ZC=90°,

.•.AA8C是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.a.b:c=\-.\:2,

;.a+b=c,不符合三角形三边关系定理，

不能组成三角形，故本选项符合题意；

C.'：(b+c)(h-c)=a2,

b2-c1=a2,

a2+c2=b2,

:.ZB=90°,

・•.AABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

D■,>•a=1,b-A/3,c=2,

a2+b2-c2,

ZC=90°,

是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理等知

识点，能熟记知识点是解此题的关键.

14.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()

A.夜,6,6B.,-C.32,42,52D.4,5,6

345

【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条边的长度能否构成直角三角形.

【解答】解：(&)2+(g『=(石尸，故选项A符合题意；

(1)2+(1)^(1)2,故选项5不符合题意；

(3?)2+&2)2X(5?)2,故选项C不符合题意；

42+52^62,故选项。不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理

解答.

15.下列条件中，不能判断AA8C(a、b、c,为三边，、NB、NC为三内角)为直角三

角形的是()

A.a2=1,b2=2>c2=3B.a:b:c=3:4:5

C.ZA+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和，可以判断各个选项中的条件是否可以构成

直角三角形，从而可以解答本题.

【解答］解：当/=1,从=2,4=3时,

则a2+b2=c2,

即A4BC是直角三角形，故选项A不符合题意；

当a:6:c=3:4:5时，设“=3x,6=4x,c=5x>

则a2+b2=(3x)2+(4©2=(5x>=,

即A4BC是直角三角形，故选项3不符合题意；

当NA+N8=NC时，则NC=90。，

即A4BC是直角三角形，故选项C不符合题意；

当NA:/B:NC=3:4:5时，则最大的NC=18()0x---=75°,

3+4+5

即AABC不是直角三角形，故选项。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾

股定理的逆定理解答.

16.在AABC中，NA、ZB.NC的对边分别为。、b、c,下列条件不能判断AABC是直

角三角形的是()

A.ZB=ZC+ZAB.a2=(h+c)(b-c)

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.a:h:c=3:4:5

【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可.

【解答】解：A、vZB=ZC+ZA,且ZA+ZB+NC=180。，..ZB=90%故AABC是直

角三角形；

­.,a2=(b+c)(b-c),:.dL+ci=bi,故AABC是直角三角形；

C、•.•ZA:ZB:NC=3:4:5,且ZA+ZB+NC=180。，；.最大角NC=75。w90。，故AABC

不是直角三角形；

D-由条件可设〃=3&,贝ljA=4Z,c=5k,那么〃2+从=。2,故AABC是直角三角形；

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长”，b,C满足合+序=02,

那么这个三角形就是直角三角形.也考查了三角形内角和定理.

17.如图，已知A4BC中，AB=10,AC=8,BC=6,AC的垂直平分线交回于点。，

垂足为E,连接CD,则CD的长为()

【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出AA8C是直角三角形，进而得出线段£)E是A48C

的中位线，再利用勾股定理得出4),再利用线段垂直平分线的性质得出叱的长.

【解答】解：•.•AB=10,AC=8,BC=6,

BC2+AC2=AB2,

.•.AA8C是直角三角形，

DE是AC的垂直平分线，

:.AE=EC=4,DEIIBC,且线段QE是AABC的中位线，

/.DE=3，

:.AD=DC^JAE2+DE2=V32+42=5.

故选：D.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出4)的长

是解题关键.

18.如图，在边长为1的小正方形网格中，若AABC和A4Z)E的顶点都在小正方形网格的格

点上，则+45。.

【分析】取格点F、G,连接£6、FC、GF、GC,证明AADEMAFCG,得出

ZADE-ZFCG.根据平行线的性质得出ZABC=NGCB.再证明A5CF是等腰直角三角形,

那么ZFCB=45°,进而求出ZABC+ZADE=NGCB+NFCG=45°.

【解答】解：如图，取格点F、G,连接用、FC、GF、GC.

在AADE与AFCG中，

AE=FG

<ZAED=NFGC,

DE=CG

:.MDE=AFCG(SAS),

.-.ZADE=ZFCG.

.CG//AB,

:.ZABC=ZGCB.

BF=B+f=,CF=y/22+i2=逐，BC=V32+12=M,

BF2+CF2=BC2,且3尸=FC,

・•・ABCF是等腰直角三角形，

;.NFCB=45°,

ZABC+ZADE=ZGCB+ZFCG=45°.

故答案为：45.

D

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判

定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线,证明ABFC是等腰直角三角形.

19.如图，AABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点、O、E,且8。？-D4?=AC2.

（1）求证：Z4=90°;

（2）若AB=8,ADtBD=3:5,求AC的长.

【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得C£>=8/）,然后利用勾股定理逆定理可得结

论；

（2）首先确定处的长，进而可得的长，再利用勾股定理进行计算即可.

【解答】（1）证明：连接CD,

•.・8C的垂直平分线DE分别交A3、BC于点D、E,

:.CD=DB,

BD2-DA2=AC2,

.-.CD2-DA2=AC2,

：.CD2=AD2+AC2,

.•.AAC£）是直角三角形，且Z4=90。；

⑵解：•.•AB=8,AD:BD=3:5,

:.AD=3,BD=5,

DC=5，

AC=yiCD2-AD-=,25-9=4.

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将

数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的和等于最

大边的平方才能做出判断.

20.如图，4）是AABC的中线，AE是AADC的高，。「是的中线，且CE=1,DE=2,

他=4.

（1）NA8是直角吗？请说明理由.

（2）求Z）尸的长.

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明MX7是直角三角形，即可得出是直角;

（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：（1）Z4DC是直角.

理由是：

♦.•■DE是AADC的高，

:.ZAED=NCED=90。,

在RtAADE中，ZAED=90°,

/.AD2=AE2+DE2=42+2?=20,

同理：CD2=5,

AD2+CD2=25,

•,•AC=AE+CE=4+\=5,

AC2=25,

AD2+CD2=AC2,

是直角三角形,

.•.44PC是直角；

（2）•.•4）是AA8c的中线，NADC=90。，

.•.AD垂直平分3C,

/.AB=AC=5，

在RtAADB中，ZADB=90°,

;点F是边AB的中点，

:.DF=-AB=-.

22

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关

键.

四.勾股数（共4小题）

21.下列各组数中，是勾股数的为（）

A.1,2,3B.4,5,6C.3,4,5D.7,8,9

【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可.

【解答】解：A、错误，♦.•F+22=5/32=9,.•.不是勾股数；

B、错误,42+52=41¥62=36,.•.不是勾股数;

c、正确，•.•32+42=25=52=25,.•.是勾股数；

D、错误，­.•72+82=113^92=81,不是勾股数.

故选：C.

【点评】此题比较简单，只要对各组数据进行检验，看各组数据是否符合勾股定理的逆定理

即可.

22.下列数组是勾股数的是（）

A.2、3、4B.0.3、0.4、0.5C.6、8、10D.7、12、15

【分析】根据勾股数的定义：满足6+从=。2的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可.

【解答】解：A.22+32=13*42,此数组不是勾股数；

B.0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数：

C.62+82=100=102,此数组是勾股数；

D.7?+12?=193x15）,此数组不是勾股数；

故选：c.

【点评】本题主要考查勾股数：满足/+/?=c2的三个正整数，称为勾股数.

说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足1+从=。2,但是它们不是正整数，

所以它们不是勾股数.

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

23.下列各组数中，是勾股数的为（）

A.1,1,2B.1.5,2,2.5C.7,24,25D.6,12,13

【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可.

【解答】解：A、•.•12+12工22,.•.不是勾股数，此选项错误；

3、1.5和2.5不是整数，此选项错误；

c、:72+242=252,.•.是勾股数，此选项正确；

•.•62+122^132,.•.不是勾股数，此选项错误.

故选：C.

【点评】此题考查了勾股数，说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足/+6=02,但是它们不是正整数，所以

它们不是够勾股数.

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

24.若8,。，17是一组勾股数，则"15.

【分析】分。为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证

两小边的平方和是否等于最长边的平方.

【解答】解：①。为最长边，«=782+172=7353,不是正整数，不符合题意；

②17为最长边，«=7172-82=15,三边是整数，能构成勾股数，符合题意.

故答案为：15.

【点评】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知

A4BC的三边满足病+序=。2,则A4BC是直角三角形.

五.勾股定理的应用（共8小题）

25.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条

到达底部的直吸管在罐内部分“的长度X（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（）

A.12效（k13B.12^15C.5麴k12D.5初k13

【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分x最短，此时x就是圆柱形的高；当吸

管底部在A点时吸管在罐内部分x最长，此时x可以利用勾股定理在RtAABO中即可求出.

【解答】解：如图，

当吸管底部在O点时吸管在罐内部分x最短，

此时x就是圆柱形的高，

BPx=12；

当吸管底部在A点时吸管在罐内部分x最长，

即线段4?的长，

在RtAABO中，AB=y/AO2+BO2,

=13>

此时x=13,

所以12麴k13.

故选：A.

/•12

【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据已知图形，正确理解题意是解题的关键.

26.如图，为了求出湖两岸4、3两点之间的距离，观测者在湖边找到一点C,并分别测

ZBAC=90°,ZABC=30°,又量得8c=100〃?，则A、5两点之间距离为_50指

【分析】先根据含30。直角三角形的性质求出AC,再在RtAABC中，利用勾股定理求出43

即可得出答案.

【解答】解：-.■ZBAC=90°,ZABC=30°,BC=100m,

AC=-BC=-xl00=50（/n）,

22

在RtAABC中，

AB=slBC2-AC2=V1002-5O2=50^（m）.

答：A、3两点之间距离为50G〃.

【点评】本题考查了勾股定理的应用和含30。直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌

握勾股定理的应用和含30。直角三角形的性质.

27.如图，某斜拉桥的主梁仞垂直于桥面MN于点。，主梁上两根拉索AB、AC长分别

为13米、20米，主梁4）的高度为12米，则固定点3、C之间的距离为21米.

【解答】解：•.•ADJ_3C,

ZADB=ZADC=90°,

•.AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米，

BD=^AB--AD'=>/132-122=5（米），DC=>JAC2-AD2=>/202-122=16（米）

:.BC=BD+DC=5+\6=2l（米），

故答案为：21.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

28.“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中

国最高的空中苏式园林”.现以现代大道所在的直线为X轴，星海街所在的直线为y轴，建

立如图所示的平面直角坐标系(1个单位长度表示的实际距离为100米)，东方之门的坐标为

46,7),小明所在位置的坐标为8(-2,2),则小明与东方之门的实际距离为1000米.

斗

E1

5(-2.2)h

・0一

现代大道-------o------现代大道__►

.4(6：

【分析】根据两点之间的距离和勾股定理解答即可.

【解答】解：小明与东方之门的实际距离=J(6+2)2+(2+4)2=1(),10x100=1000(米),

故答案为：1000.

【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据两点之间的距离和勾股定理解答.

29.如图，一个直径为12c,”的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cv〃，

当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度.

【分析】设杯子的高度是xcTM,那么筷子的高度是(x+2)ca