重难点10 空间几何体的表面积、体积与球的内切外接十一大题型-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】（解析版）

重难点10空间几何体的表面积、体积与球的内切外接十一大题型汇总

满分技巧］

LI--------------------------I

技巧一.几何体的表面积体积

L公式法：

使用情景：几何体是规则的几何体

第一步：先求出几何体表面积和体积公式中的基本量；

第二步：再代入几何体的表面积和体积公式即可得出结论.

2.割补法

使用情景：几何体是不规则的几何体或者直接求比较困难

第一步：先分割或补形；

第二步：再求分割的各部分的面积和体积或求补形后的几何体的体积；

第三步：最后求出所求的几何体的体积.

3.等体积法

使用情景：一般三棱锥

第一步：先变换三棱锥的顶点；

第二步：运用等体积法求出几何体的体积.

技巧二.多面体与球接、切问题

(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体

中元素间的关系.

(2)补形法："补形”成为一个球内接长方体，则利用4必=于+加+d求解.

技巧三.球的切、接问题的常用结论

(1)长、宽、高分别为a,b,c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即后工万心后=2/?.

(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h,底面外接圆半径为x,则该几何体外接球半

径月满足展=(9+后

(3)外接球的球心、在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心.

(4)球(半径为/?)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R=a;二

是球与正方体的十二条棱相切，此时2/7=位a;三是球外接于正方体，此时2/?=V5a

题型1柱体的表面积体积

【例题1](2022春・湖南衡阳•高一统考期末)已知某圆柱的高为5,底面半径为我,则该圆柱的体积为

()

A.6TlB.9n

C.12nD.15n

【答案】D

【分析】直接利用圆柱的体积的公式求解.

【详解】解：由题意得该圆柱的体积为(73)2.5=15/7.

故选：D

【变式1-1]（2022春・广西河池•高一统考期末）已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则此圆柱的

体积为（）

A.6nB.4TTC.2TTD.TI

【答案】C

【分析】由圆柱体积公式计算.

【详解】圆柱体积为nxFx2=2n.

故选：C.

【变式1-2]（2022春•河北张家口•高一统考期末）已知长方体的长、宽、高分别为口，口，口.若口:□:口=

4：2V2：1,且其外接球的表面积为25TT,则该长方体的体积为.

【答案】8V2

【分析】先求出边长22。，即可求出长方体的体积.

【详解】由=4：2叵1,不妨设◎（0>0）.

因为长方体的外接球的直径为具体对角线，设外接球的半径为r,则有（2。2=4+仃+炉，即44=

16£^+84+仃=25仃.

而外接球的表面积为25TT,所以0=4皿=25己□=25D,解得：□=1.

所以。=4,£7=275,£7=1,

所以该长方体的体积为。=□□口=4x2V2x1=8V2.

故答案为：8V2

【变式1-3]（2022春•辽宁抚顺•高一校联考期末）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱

的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）

A.V2B.2C.2V2D.y

【答案】D

【分析】根据题意画出圆锥的轴截面，结合图形设出圆柱的底面圆半径和高，以及圆锥的底面半径和高，

求出母线长，再列方程求得圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比.

【详解】解：如图所示,为圆锥的轴截面，

乙□□口=90°,设圆柱的底面圆半径为。，高为〃,

圆锥的底面半径为D,则圆锥的高为D,母线长为夜O,

由题意知，2Z7万+2UUh=,

即2炉+26=；

由相似边成比例得年=年，

即力=□一□,

.•・2炉+2£7（£7-D）=V2ZJ2,

即2。=\[2LJ,

二0=%

D2'

即圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为他.

故选：D.

【变式1-4]（2022秋•陕西汉中•高一统考期末）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲

池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个

如下图所示的"曲池"，其高为3,1底面，底面扇环所对的圆心角为母，白口长度为小长度的3

倍，且线段口。=口口=2,则该"曲池"的体积为（）

【答案】D

【分析】根据弧长与半径的关系，将两个弧所对应的半径求出，再根据圆柱的体积公式求出曲池的体积.

【详解】设DD对应半径为R,用步寸应半径为r,根据弧长公式可知£7也=口口,口皿=口口,

因为两个扇环相同，e口长度为S长度的3倍，

所以63£7,

因为ZZ7/Z7=□口=□—ZZ7=2,

所以｛存，

所以曲池体积为〃=乂口仃力-口孙=60.

故选：D

题型2锥体的表面积与体积

【例题2]（2022春・天津•高一校联考期末）已知圆锥的母线长为3,其侧面展开图是圆心角为争勺扇形，

则该圆锥的体积为（）

A.嘤B.2V2OC.苧D.V2O

【答案】A

【分析】根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面圆半径为〃，故可得20£7=早X3,解得。=1,

设圆锥的高为力,则力=V32-12=2V2,

则圆锥的体积O=gX皿x4=gxZ7x2夜=等77

故选：A

【变式2-1]（2022春•江苏无锡•高一辅仁高中校考期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆,

且该圆锥的体积为学，则r=（）

A.V2B.2C.3D.V3

【答案】B

【分析】用事示出圆锥的母线、底面半径、高，再由圆锥体积公式列方程求解.

【详解】由题意圆锥的母线长为。=U,

设圆锥底面半径为口，高为力,则2TIO=TT£7,口量,

力=收一U=%,

所以0=N。力=京¥4〃=窕，0=2.

故选：B.

【变式2-2]（2022春•江苏南通•高一统考期末）如图，直三棱柱£70。-4&&中，。是的中点,

则空色巴a二（

口口一口口口⑸

AC

D

4G

为

1112

ABCD

6-5-4-3-

【答案】C

【分析】利用等体积转化计算可得答案.

【详解】因为。是。的中点，

二口□一□1口1口\-，

2

A=□□□□-□、口1口1一-□□-□□□=^口□□□一□、□、□、•

...二1

□□一□□□、□、4

故选：C.

【变式2-31多选I2022春•安徽亳州•高一校考期末如图，四边形£700孕正方形，£701平面OOOO,

□□代□□,□□=□□=200,记三棱锥Z7—□□□,□一□□□，口-Z7Z7B）体积分别为4,4,

A.EJ3-2口2B.口3-2口1C.口3=□1+口2D.24=3口1

【答案】CD

【分析】找到三棱锥的高，利用三棱锥体积公式分别求出口,4,4,进而判断出结果.

如图连接。侬0,连接£7口□□没口口=2口口=2,则□口=口口=0/7=2.

由口□1平面□□口口,□口||口□,所以口□1平面口口口□,

所以&=□□一□□口—g□»□□□，□□=gXg♦□□=g/

1119

口2—□□-□□□—3□△□□□*□口=jX2□口，□口，□口=3,

由□□母面□□□□,口口匚裨□□□□.所以□□工□□.

又□□，□□，且£7Z7n□□=□,□□、UEJu礴□□□□,

所以口口上平面口□口□,所以□□.

易知O£7=2V2,口口=V2,□口=飞口外口守=V6,口口=d口仃+口仃=V3

口口=个口仔+（□□-口。2=3,

所以or?2=DCP+,所以OoiuumuiJc□□=口,

□□、□□u平面□□口,所以口□1平面□□□.

又口口=□口=□□=2V2,

口3—□□-□□□=g口口□'□口=gX[口d,□□=2,

所以有。3H2口2I口3*2口1,口3=口、+口2<2口3=3口1,

所以选项AB不正确，CD正确.

故选：CD.

【变式2-4]（多选）（2022春・安徽亳州•高一校考期末）有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，

有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）

A.2?B—C.乎D.竽

3333

【答案】BCD

【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.

【详解】如图所示：

AA

①若口£7,平面OOO,△班边长为2的正三角形，2,△□口□,△ZZ7O6B是等腰直角三

角形，满足题目条件,故其体积。=gx2xgx2x2xsin60°=誓;

②若口。，平面ODO,△边长为2的正三角形，□□=夜,△□□□S0。鼻B是等腰直角三

角形，满足题目条件，故其体积。=gxgx；x但x0=当；

③若△边长为2的正三角形，△□□□,&OO6B是等腰直角三角形，

□□=2,口口=2短,满足题目条件，取。。中点口，因为口口工口□,而04+UE3=□厅,所

以□□>口口,即有£7。，平面,故其做为O=gxV2xJx2x2=^;

故选：BCD

题型3台体的表面积与体积

【例题3]（2022春•江苏南通•高一统考期末）若一个圆台的高为8,母线长为2，侧面积为6n,则该圆台

的体积为（）

5V3n7V3n万

A.y-B.-y-C,5V3nD.7731T

【答案】B

【分析】设圆台的上底面半径为方，下底面半径为O,母线为口，由圆台的侧面积得方+。=3,再由圆

台的高力为百可得体积.

【详解】设圆台的上底面半径为方，下底面半径为口，母线为。,

则圆台的侧面积。=n（o'+ZI7）O=6TT,可得。'+ZZ7=3,

又因为圆台的高力为V5,可知口一d=J22-（V3）2=1,故有方=1,0=2,

圆台的体积q八=（方2+方Z7+4）=X（1+2+4）=竺.

故选：B.

【变式3-1]（2022春•重庆铜梁•高一统考期末）在正四棱台。。口。一口1口、口。中，口口=4,□]口"

□□、=2，则该四棱台的体积为（）

A萼B.竿C.8V2D.8V3

【答案】B

【分析】作出轴截面，过点口作4。1口口,结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可.

【详解】解：作出轴截面如图所示，过点a作a。，□口,垂足为口，

因为正四棱台ZZ7ZI7ZZ7ZZ7—口]&中，口□—4,□、□、——2

所以OO=4V2,4a=2鱼，DD.=DU.=2,即梯形OO&a为等腰梯形，

所以，口□=□、口=帆1

所以,该四棱台的体积为ZZ7=（〈□□□□□+□□、口1口、口、+J□□□□□□□[□、□、口）,&O=g（16+4+

V16X4）x6=等

故选：B

【变式3-2】侈选）（2022春•浙江宁波•高一校考期末）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所

示的圆台0102,在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,下列说法正确的有（）

A.该圆台轴截面ABCD面积为3V3cm2

B.该圆台的体积为学cm3

C.该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°

D.沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm

【答案】ABD

【分析】求出圆台的高a&=V3,根据梯形面积公式可求圆台轴截面0004勺面积，从而可判断A;

根据圆台的体积公式可判断B；圆台的母线。£7与下底面所成的角为,从而可判断C;由圆台补成

圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm,底面半径为2cm,设勺中点为P,连接£7。，求出。即为沿

着该圆台表面，从点C到。。中点的最短距离，从而可判断D.

【详解】由口口=□□=口□=2,且CD=2AB,可得£70=4,高&&=14一(当?=

则圆台轴截面ZJgU的面积为:x(2+4)xV3=3V3cm2,故A正确；

圆台的体积为。=京(1+2+4)xV5=cn?,故B正确；

圆台的母线。〃与下底面所成的角为/。£犯，其正弦值为苧，

所以NDO&=60。，故C错误；

由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm,底面半径为2cm,

2T[2

侧面展开图的圆心角口=—=TT.

设Ogj中点为p,连接口口，可得乙口口口=90°,£70=4,0/7=2+1=3,

则£7£7=V42+32=5.

所以沿着该圆台表面，从点C到O口中点的最短距离为5cm,故D正确.

【变式3-3]（2022春•江苏苏州•高一统考期末）若圆台上下底面半径分别为1和2,高为V3,则此圆台的

体积为.

【答案】苧

【分析】利用圆台的体积公式直接代入求得结果.

【详解】解：设圆台上底面的半径为□=1,下底面的半径为0=2,高为力=V3,

则圆台的体积g£7%（炉+炉+DD）=1/7xV3x（12+22+1x2）=甯

故答案为：宇

【变式3-4】（2022春•河南信阳・高一统考期末）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方

形称为方亭.如图现有一方亭口口。口一口。。口其中上底面与下底面的面积之比为1：4，□□若□□,

方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为12通,则方亭的体积为.

【分析】分析可知端=,设。。=2口廊□□=4□，口口=或口，过氤口、。在平面。。£70内分别

作。。1口□,□□}.□□,垂足分别为点口,根据正四棱台的侧面积计算出中值，再利用台体的

体积公式可求得结果.

【详解】解：由题意得携=g,没□口=2□网口□=4□,□□=V6H.

过点口，。在平面。Z7OO内分别作OO_L垂足分别为点。、口，

在等腰梯形。。。口中,因为口口1口□,□□>□□,□□工□□,则四边形。。。。为矩形，

所以口□=,□□=□□,则£70=00=20,

因为口□=口□，□□=□□,乙□□□=4□□□=90°,

即以RU□□6・△□□□,所以口口=^^=口,

在RS。。。中,由勾股定理得J口守一口己=展口,

所以等腰梯形口。口中）面积为。=汽妲・痣O=3V5ZJ2=3V5,所以。=1.

所以£7。=2口=2,□□=40=4,方亭的高力=J（V5）2-1=2,

故方亭的体积为:x/x（£7上+%+J口上口下）=^x2x（4+16+V64）=^.

故答案为：f

题型4与数学文化有关的表面积体积

【例题4]（2022春・吉林长春•高一长春外国语学校校考期末）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,

其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中，石瓢壶的

壶体可以近似看成一个圆台.如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约接近于

A.100cm3B.200cm3C.300cm3D.400cm3

【答案】B

【分析】根据圆台的体积公式计算即可.

【详解】解：设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为力,

则£7=5,£7=3,4=4,

“万+S+4)

=gnx4(25+15+9)=写=200(cm3),

故选：B.

【变式4-1](2022春・贵州六盘水•高一统考期末)我国有着丰富悠久的"印章文化"，古时候的印章一般

用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作

为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个

正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等且底面边长均为4，若该几何体的所有

顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()

图1图2

A.12nB.24TlC.36nD.48n

【答案】C

【分析】结合勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】底面边长为4,底面的对角线长为4位.

设正四棱柱和正四棱锥的高为力,外接球的半径为£7,

1口=7

解得力=2,0=3,

所以外接球的表面积为4nX32=36n.

故选：C

【变式4-2】（2021春・江苏淮安・高一统考期末）古代将圆台称为"圆亭"，《九章算术》中“今有圆亭，

下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何?"即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则

它的体积为（）

A.立方丈B.9立方丈C.等立方丈D.罂立方丈

8Tl12n812

【答案】B

【分析】利用圆台的体积公式求体积即可.

【详解】通过题目可知，圆台上底周长2丈，则上底半径为券=/丈.

同理，下底周长3丈，下底半径为三丈.

2n

根据圆彼积公式得K1[。佶）2+。岛）2+J。（了。隰）2卜券（立方丈）・

故选：B.

【变式4-3]（2022春•山东临沂•高一统考期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁

式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9n，侧面展开图是圆

心角为厚的扇形，则该屋顶的体积约为（）

A.12V2Z7B.16nC.18nD.18V2/Z7

【答案】D

【分析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据勾股定理求圆

锥的高，最后即可求出圆锥体积.

【详解】底面积为9n,即O4=9口，

所以底面圆的半径O=3,

所以底面圆周长为20x3=6/7,

即圆锥侧面展开图的弧长口=6Z7,

又因为侧面展开图是圆心角为第的扇形，

=V72=6V2,

则圆锥的体积〃=gx£7X32X6V2=18V2Z7.

故选：D

【变式4-4］（2022春•江苏扬州•高一期末）刘徽构造的几何模型"牟合方盖"中说："取立方棋八枚,皆

令立方一寸，积之为立方二寸.规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣.”牟

合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法

是将原来的“牟合方盖"平均分为八份取它的八分之r如图一）记正方形OABC的边长为r设口口=h,

过P点作平面PQRS平行于平面0瓯.口口=□□=口,由勾股定理有0口=故

,2

此正方形PQRS面积是。2-h.如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二

2

中与图一等高处阴影部分的面积等于力.（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h,不难发

2

现对于任何高度h,此截面面积必为力,根据祖B恒原理计算牟合方盖体积（）

注：祖暄原理："幕势既同，则积不容异"、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则

体积相等.

88

AB

3-3-c・"

【答案】C

【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖唾原理可得图一中几何体体积，从而得结论.

【详解】屋xd乂□,

由祖喳原理图二中牟合方盖外部的体积等于口楼推=J寸

所以图1中几何体体积为。=£^-1Z73=|Z73,

所以牟合方盖体积为8。=巧色.

故选：c.

题型5组合体的表面积体积

【例题5】（2022春•黑龙江哈尔滨•高一哈九中校考期末）梯形ABCD中，Z7Z7,zABC=90°,AD

=1,BC=2,zDCB=60°,在平面ABCD内过点C作l_LCB以I所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的

表面积为（）

A.（10+4V3）£7B.（9+4V3）£7C.（8+4何£7D.（7+4何。

【答案】B

【分析】旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，计算圆柱的高和圆锥的底面半径和母线长，分别计算各面的面积，

得出表面积.

【详解】解：旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，

过D作CUTU,则S=□□:1,

•：〃□□□=60°,□□=V3,□□=2,

••・圆锥的底面半径为1,圆柱的底面半径为2,圆柱和圆锥的高均为V5,圆锥的母线为2,

，几何体的表面积为Ox22+£7x22-£7+2£7x2xV3+£7x1x2=（9+4V3）O.

【变式5-1]（2022春•吉林长春•高一长春市实验中学校考期末）刍（chU）鲁（meng）是中国古代算数

中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面

体，是一个对称的楔形体.已知一个刍鲁底边长为4,底边宽为3,上棱长为2,高为2,则它的表面积是

上棱长

【答案】A

【分析】由题意可得刍蕊的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全等的等腰梯形，利

用勾股定理分别求出三角形和梯形的高，从而可求出各个面的面积，即可得出答案.

【详解】解：由题意可得刍段的左右两个三角形为全等的等腰三角形，

前后两个四边形为全等的等腰梯形，

等腰三角形的高为E7=V5,

等腰梯形的高为工^=]

则一个等腰三角形的面积为gx3x花=竽，

一个等腰梯形的面积为的等=y,

所以此刍叠的表面积为2x^+2x^+4x3=27+3V5.

故选：A.

【变式5-2]（2022春•辽宁大连•高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺

是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径

16cm,圆柱体的高。口=8cm,圆锥体的高。口=6cm,则这个陀螺的表面积是（）

A.192ncm2B.208ncm2C.172ncm2D.336Tlem2

【答案】C

【分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.

【详解】圆柱、圆锥的底面半径为8cm,

圆锥的母线长为病不了=10cm,

2

所以陀螺的表面积是nx8?+2nx8x8+nx8x10=272ncm.

故选：C

【变式5-3]（2022春•辽宁大连•高一统考期末）如图，四边形。。口班正方形，口口工加口口口口,

□□II,若口口=口口=3,口口=2,口口=1,则口□一口口口：.

【答案】2:1/2

【分析】将几何体补全为正方体,由—

求出体积，即可得结果•

【详解】将几何体补全为正方体，如下图示,

□□-□□□=□口□□

11111111

=27———x5x3——x3x3——^3x—x3x3—；rx3x—x5x3

32323232

=3.

11111111

--X3X-X5X3X3X-X5X3--XXX3X3--X3X-X3X3

2732-3-232-32

=6.

所以=2：1

故答案为：2:1

题型6外接球

【例题6]（2022秋•陕西延安•高一校考期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称

之为鳖席.已知在鳖月需。一口口小,满足口口，平面BCD,且□□=口口=5,□□=3,口□=4,

则此鳖月需外接球的体积为

【答案】等TT

【分析】把鳖月需s塞卜成直四棱柱，求直四棱柱外接球半径.

【详解】把鳖臊。一。〃垂卜成直四棱柱如图，其中S=口口=5,口口=4,鳖臊口一口口中]外接

球即为此直四棱柱的外接球，设外接球半径为々[I

口=弩=零=苧，根据球的体积有外接球的体积为?d=?x世鲁=等

故答案为：等n

【变式6-1]（2022秋・陕西咸阳•高一统考期末）在直三棱柱-口1口1口1中,□□=□□=□□]=

V3,£7/71£70,则该直三棱柱OOO-的外接球的体积是______.

【答案】|n/y

【分析】利用勾股定理求得外接球的半径,进而求得外接球的体积.

【详解】由于口□,所以口。==V6,且直角三角形£7〃中外心在的中点处，

设夕耀球的半径为。，则。=]（身+倒=1,

所以外接球的体积为?X（I）'=y.

故答案为：|n

【变式春・上海杨浦・高一复旦附中校考期末）如图，一张纸的长&宽&=

6-2]（202204£72=2Z7,

2V2O，口，口口2分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得&,d，4,△四点重合为一点

口，从而得到一个多面体，下列关于该多面体的命题：

P1B

2

:二

4D工

①该多面体是三棱锥；②平面OOO1平面OO。；

③平面0/7。，平面OOZ7;④该多面体外接球的表面积为47IZJ2;

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】将该多面体放入长方体中，利用题干条件求出长方体的长、宽、高，从而得到该多面体是三棱锥，

①正确；

求出各边长，求出O。2+DE3=Dd-,得至!|AP±CP,再由AP±BD即可证明线面垂直，从而得到面面

垂直，②正确；

同理可证明出平面OZ7£7_L平面0/70,③正确；

长方体的外接球即为该几何体的外接球，求出长方体的体对角线，从而求出外接球半径和表面积.

【详解】将该多面体放入长方体中，如图，设长、宽、高分别为aa0，

（炉+4=4炉（D=y/2D

叫4+^=34，解得：鱼0，满足题意，

D2=3/J2I□=D

c

由勾股定理得:□□=□□=，3行-炉=V2£7,而□□=20,所以£7炉+□行=口日,

由勾股定理逆定理得APJ_CP,因为口口=口口=风口,P为BD中点，所以APJ_BD,

因为D£7n□口=□,0a门口u平面BCD,所以APJ_平面BCD,

因为£70u平面BAD,所以平面。£701平面ZZ70O,②正确；

取AC的中点H,连接HB,HD,因为□口=□口=□□=口口=有口,故£7O_LAC,DH±AC,

目口□=口口=4^~^~^=垃口,又□□=?□,故Z7行+〃仆=Z7ZJ2,所以BH_LDH,

因为。aoou平面ACD,且口Uc□口=LJ,

所以BHJ•平面ACD,又因为OOu平面BAC,所以平面£7。01平面0£70,③正确；

从图形可知，长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，

而长方体的体对角线长为J厅+仃+厅=或口,故外接球的半径为苧,

故该多面体外接球的表面积为4n（苧）=5n行，④错误.

故选：D

【点睛】在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，

通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发

生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解.

【变式6-3]（2021秋•江西景德镇•高一景德镇一中校考期末）在三棱锥O-□□田,□□=□□=

□□=口口=2,口口=、，二面角。的大小为60。，则三棱锥口-的外接球的表面积为

【答案】等/会

【分析】根据题意分析可知二面角。一2勺平面角为N08=60°,进而可确定△□□□,△□口□

的形状，根据外接球的性质确定口-gg)外接球的球心所在位置，进而可求半径和面积.

【详解】取006勺中点O,连接。&OZ7,

,:口□=□□=□□=,则4□□□.□□□,口□,□□工□□,且，

二面角O—a的平面角为NZ7£7Z7=60°,

故△□口口为等边三角形，即=口口=□口=1,则口口=2□口=2飞ULf-口存=

2聪,ta。乙□□□=卷=R，

“□□□€(0,，，则/

设4口。勺外接圆圆心分别为4,半径为口,

则2〃=-^―=4=4,即。=2,故&在口中延长线上，

sinz£7Z7£72

同理△ooofi勺外接圆圆心分别为。2在勺延长线上，

••,£7/71□□1口口门口□=□,£7Z7u平面ZZOC7,

:□口口,

且□□u平面□□□,□口u平面□□□,故平面□□口_L平面□□口,平面□□口1平面□□□,

设三棱锥O-的外接球的球心为。,连接口a,皿，则口口11平面£700,组工平面口口口,

故Oa,u平面SO,

^^口□,□、口,口、口2,□□,口□,则Z7a=□□?=、口口=2/□□□1=30°,

可得&U=tanz0□口=y,

则三棱锥。-OOU的外接球的半径Z7=+=苧,

故三棱锥口-的外接球的表面积4TT。2=4TTX£=苧.

【点睛】结论点睛：

(1)球的任何截面均为圆面；

(2)球心和截面圆心的连线垂直于该截面，故外接球的球心位于过底面的外心的垂线上.

【变式6-4](2022春•四川泸州•高一统考期末在三棱锥。-□□*，口口母画□□口已知乙口口口=

60°,口□=2V6,0/7=2,则该三棱锥的外接球的表面积为.

【答案】36n

【分析】根据正弦定理求得△006卜接圆的半径。,再由平面,可得三棱锥的外接球的半径

口=》+(号,从而可得出答案.

【详解】解：设4口。夕卜接圆的半径为口，

则20=口口=4V2,所以〃=2V2,

sinz□□口

如图，设a为三棱锥外接球的球心，口为△外接圆的圆心，

则ZZ7/Z7i=□=2V2,—g□□-1,

所以三棱锥的外接球的半径O=V8T1=3,

所以该三棱锥的外接球的表面积为4m。2=36n.

故答案为：36n.

s

BC

【变式6-5]（2018春•四川成都•高一石室中学校考期末）已知正四棱锥O-口口口a底面四边形OOOO

是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心）的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为一而,若该

正四棱锥的体积为三，则此球的体积为（）

A.18nB.8V6TTC.36nD.32V3n

【答案】C

【分析】先求得正四棱锥的高，然后利用勾股定理求得外接球的半径，从而计算出外接球的体积.

【详解】设正四棱锥的高为力,则!x（ViO）2x//解得/=5,

正方形勺对角线长为J（痂）2+（酒2=2痣，

设外接球的半径为。，则（5-。）2+（竽）=4，

解得。=3,所以外接球的体积为写X33=36n.

故选：C

题型7内切球

【例题7]（2023春•河南周口•高一校考期末）有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6.若该

石料最多可打磨成四个半径为V3的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（）

A.216-4V3nB.216-16V3n

C.270-16V3nD.270-4V3n

【答案】B

【分析】求出柱形石料的高，利用柱体体积减去四个球体体积可得结果.

【详解】设底面是边长为6的等边三角形的内切圆的半径为O,

由等面积法可得gX3x60=亨x62,解得。=V3,

若可以将该石料打磨成四个半径为6的石球，则该柱形石料的高至少为88,

因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为亨X62X8V3-4X^nx(V3)3=216-1673n.

故选：B.

【变式7-1](2022春•江苏无锡•高一辅仁高中校考期末)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的

三棱锥称之为鳖席.已知在鳖月需O-□□近,□□工平面□□□,□□=□□=口□,则该鳖月需的外接

球和内切球的半径之比为.

【答案】V6+V3/V3+V6

【分析】证明02是鳖席。-外接球直径，然后设口口=口，由体积法求得其内切球半径，再计算

比值.

【详解】由题意

又口O1平面口口。，瞳□□□,则口口,同理口。_L□口,□□工口□,

□□c\口□=口,□□,OZZZu平面所以。£71平面£70/7,

而口口u平面□口口，所以□□L□口,

所以。。是鳖臊。-ooa外接球直径，

设□口=口,则=□口=口,因此口口=近口,□口=聪口,

口□口—\厅(□□口=□□口=gxV2£7x£7=y炉,

1111

eX

一

一3-3-2-6-

设鳖月需0-内切球半径为口,

则g（〃ADOC7+□4□□□+口^口口口+4Z7s）〃=，

所以八/^=空6

因此鳖腭切卜接球半径与内切球半径比为叁=迎+8,

故答案为：伤+V5.

【变式7-2]（2022春・重庆铜梁•高一统考期末）正A面体是每个面都是正三角形的八面体.如图所示，若

此正八面体的棱长为2,则它的内切球的表面积为（）

A.当口B.等口

327

C.2D^口

33

【答案】c

【分析】由正八面体的定义知，其内切球的球心在正八面体的中心，以内切球的球心为顶点、可将正八面

体分为8个全等的正三棱锥,利用等体积法可得其内切球的半径口，从而得到其内切球的表面积.

【详解】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设

内切球的半径为。，则8d捺推=，八而昧=24四口帷，

二棱锥正八面体正四棱锥

且正四棱锥的高为图中co,易得衣,即：

11V3„1厂

8x-x（-x2x2x—）-£7=2x-x（2x2）xV2

DNNO

解得：D=苧，所以，内切球的表面积为竽

故选：C.

【变式7-3]（2022春•河南信阳•高一统考期末）将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在

的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为（）

A.（2V2-2）Z7B.（48-32V2）Z7C.（24-16A/2）£7D.（108-7272）0

【答案】B

【分析】圆锥的轴截面是等腰直角三角形，截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆，由面积法

求得内切球半径后可得球表面积.

【详解】依题意，作圆锥的轴截面等腰直角三角形，截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆，

圆锥的底面半径为2，则其母线长为2技设圆锥的内切球半径为r,则:x2夜O+；x2V2£7+gx4x。=

gx4x2,所以£7=2（V2-1）,所以球表面积为。=40厅=16（3-2V2）£7=（48-32处□.

故选：B.

【变式7-4]（多选）（2020秋•湖南岳阳•高一统考期末）正方阵□□□□一□[口口&的棱长为2,则

下列说法正确的是（）

A.直线口口与直线口口异面

B.直线口口与直线口。垂直

C.直线口口与直线4辛夹角为45°

D.正方体的内切球半径为旧

【答案】AB

【分析】对于A选项，结合正方体直观图，判断A正确；

对于B选项，通过证明直线£701平面O&口、D,判定口41£7。，B正确；

对于C选项，利用异面直线夹角的定义，平移口。,得RUy。为异面直线AC与直线&2勺夹角，求

出直线OD与直线45勺夹角为60°,判断C错误；

对于D选项，通过正方体的内切球含义，可知正方体的内切球的直径为正方体的棱长，判断D错误.

【详解】对于A选项,因为□□旧、口1,所以直线Z7O与直线异面，故A正确；

对于B选项，由正方阵□□□□-口］口、□陶，口口工口□，DUy,又口口门口□、=口，所

以。£71平面。0□、D,因为口口1u平面O&口U,所以£741Z7O,故B正确;

对于C选项，因为£70/0口,所以N&口3异面直线AC与直线口，的夹角，由于△口、口、。为正

三角形，所以直线AC与直线42勺夹角为60°,故C错误；

对于D选项，正方体的内切球与正方体的六个面都相切，所以正方体的内切球的直径为正方体的棱长，其

半径长为1，故D错误.

故选：AB.

【变式7-5]（2022春・四川广安•高一统考期末）若正三棱柱口。口-口】口•既有外接球，又有内切球，

记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为4、4,则将=（）

A.B.5C.V5D.V3

5

【答案】A

【分析】