导数的应用-函数凹向与拐点

1.铅直渐近线铅直渐近线.或利用导数，就可以判断曲线的升降，凹凸，如铅直渐近线:(垂直于x轴的渐近线)以及极值点，拐点，就可以大致作出曲线的形状.为了使作图更精确，回忆曲线的渐近线.一、渐近线第1页/共66页如铅直渐近线:第2页/共66页2.水平渐近线如水平渐近线:水平渐近线.或(b为常数)(平行于x轴的渐近线)=)(limxf第3页/共66页3.斜渐近线斜渐近线.明显有从而将a带入即可求出b.)1()0,,(¹aba且为常数第4页/共66页例解定义域第5页/共66页无水平渐近线第6页/共66页利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性.判定和拐点,讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性渐近线.

适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点.特别注意123二、图形描绘的步骤第7页/共66页例解无奇偶性及周期性.三、作图举例第8页/共66页拐点极大值极小值列表第9页/共66页拐点极大值极小值第10页/共66页例解偶函数,图形关于y轴对称.第11页/共66页极大值拐点第12页/共66页作业作业册本节全部第13页/共66页第三节泰勒(Taylor)公式14第14页/共66页15不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计。第15页/共66页16分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交第16页/共66页17N阶接触第17页/共66页18拉格朗日型余项第18页/共66页19证明:第19页/共66页20第20页/共66页21第21页/共66页22说明:第22页/共66页23麦克劳林(Maclaurin)公式此时泰勒公式称为麦克劳林公式.拉格朗日型余项皮亚诺型余项第23页/共66页24解近似公式误差其误差第24页/共66页25解第25页/共66页26第26页/共66页27第27页/共66页28第28页/共66页29第29页/共66页30第30页/共66页31常用函数的麦克劳林公式第31页/共66页32解第32页/共66页33解第33页/共66页34解利用泰勒展开式求极限第34页/共66页35例6解第35页/共66页练习：36P143习题3-31.3.5.7.10.第36页/共66页第四节

函数的单调性与曲线的凹凸性37一、函数单调性的判定法第37页/共66页函数的单调性与导数符号的关系38观察与思考：函数单调增加函数单调减少

函数的单调性与导数的符号有什么关系？第38页/共66页39

函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数的单调性与导数符号的关系观察结果：函数单调减少函数单调增加第39页/共66页40定理第40页/共66页41证应用拉格朗日定理,得第41页/共66页42例1解例2解第42页/共66页43例3解第43页/共66页44例4解第44页/共66页45例4解也可用列表的方式，第45页/共66页46导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,

y-2O2-4-224x

y=x3驻点第46页/共66页47例5证利用函数的单调性证明不等式第47页/共66页48即原式成立。例6证第48页/共66页49由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。例7证第49页/共66页小结50单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.第50页/共66页二、曲线的凹凸与拐点51问题:如何研究曲线的弯曲方向?NABM第51页/共66页52观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？第52页/共66页53

定义一如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的。曲线凹向的定义凹的凸的第53页/共66页54曲线凹向的定义凹的凸的第54页/共66页55图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的第55页/共66页56定义二第56页/共66页57观察与思考：

曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点凹的凸的当曲线是凹的时，

f

(x)单调增加。当曲线是凸的时，

f

(x)单调减少。曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。第57页/共66页58定理第58页/共66页59例8解x

yO第59页/共66页60例9解凹凸凹拐点拐点第60页/共66页61第61页/共66页62例10解拐点的求法：1.找出二阶导数为零的点或不可导点；2.若它两边的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点.第62页/共66页63例11解第63页/共66页64利用函数图形的凹凸性,证明不等式

例12证第64页/共66页65-2-112-2-112Ox

y

解：f

(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。

当x

(-

,-1)时，f

(x)>0，函数f(x)在(-

,-1)内单调增加；当x

(