专题11 反比例函数中K的几何意义的两种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题11反比例函数中K的几何意义的两种考法类型一、求比例系数K的值例1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，直线AB经过原点O，点C在y轴上，AC交x轴于点D，CD:AD＝4:3，若反比例函数经过A，B两点，则k的值为．【答案】【分析】根据A，B两点关于原点对称和直角三角形可得OC=4，再根据比例求出A点坐标即可．【详解】解：作AE⊥OD于E，∵反比例函数经过A，B两点，直线AB经过原点O，∴AO=OB=4，∵∠ACB＝90°，∴OC=4，∵OC∥AE，∴△OCD∽△EAD，∵CD:AD＝4:3，∴CO:AE＝4:3，∴AE=3，A点坐标为（，-3），代入得，，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是恰当的作辅助线，构建相似三角形求点的坐标．例2．如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为．【答案】2【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据平行四边形的性质以及在上，可得，设，则，可得的坐标，进而根据为中点，根据中点坐标公式求得的坐标，根据在上，列出方程，即可求得的值．【详解】如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，四边形是平行四边形，即轴，在上，，即设，则是的中点，在上，即得故答案为：2【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形结合，的几何意义，平行四边形的性质，设参数法求解是解题的关键．【变式训练1】如图，点是函数图像上的任意一点，点、在反比例函数的图像上．若轴，轴，阴影部分的面积为，则．【答案】【分析】延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图像上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图像上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答．【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设∵轴，轴，又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直，∴轴，轴，，∴四边形、、都是矩形，∴，，∵点是函数图像上的任意一点，∴，∴，∵点、在反比例函数的图像上，∴，，∴，∴，即，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，过图像上一点作坐标轴的垂线构建矩形是常用的解题方法．由几何图形的性质将阴影部分的面积进行转化是解题的关键．【变式训练2】如图，正方形OABC中，A，C分别在x，y轴正半轴上，反比例函数的图像与边BC，BA分别交于点D，E，且BD=BE=2，对角线AC把△ODE分成面积相等的两部分，则k=．【答案】【分析】设与交于点，与交于点，先根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得，再根据，推，推比例线段求出，设，根据同一条线段的长列等式求出也就求出．【详解】解：如图所示，与交于点，与交于点，四边形是正方形，，，，，，，，，，对角线把分成面积相等的两部分，，，，，，设，，，，，即，，，点在反比例函数上，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例比例系数的几何意义、正方形的性质、相似三角形的性质，掌握这几种性质的综合应用，由平行推相似，推比例线段是解题关键．【变式训练3】如图，过原点的直线与反比例函数y的图像交于A、B两点，点A在第二象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图像于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为16，则k的值为．【答案】-12【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，可得AD∥OE，进而可得；设点A（m，）（），由已知条件AC=3DC，DH∥AF，可得3DH=AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC=S△ADG，所以S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC，即可求解．【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，∵过原点的直线与反比例函数y=的图像交于A、B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE=∠AEO=∠OAE，∴AD∥OE，∴，∵AD=2DC，△ADE的面积为16，∴，设点A（m，）（），∵AD=2DC，DH∥AF，∴3DH=AF，∴D（3m，），∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDC=S△ADG，∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=|k|+（DH+AF）×FH+S△HDC=|k|+×||×|2m|+××||×|2m|=24，∴k=-12，故答案为:-12．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．【变式训练5】如图，点，在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，延长交反比例函数的图象于点．已知点，的横坐标分别为1，3，与的面积之和为，则的值为．【答案】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得A、B、D、E的坐标，然后由三角形的面积公式表示出△ABE和△BCD的面积，再由与的面积之和为，即可求解．【详解】解：点，的横坐标分别为1，3，把点，的横坐标代入反比例函数得，，，∵轴，且、、在一条线上，且、、的纵坐标相等，且都为，∵点在反比例函数上，，，，，，∵，∴，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k值的几何意义，解题的关键是利用点的横纵坐标表示出三角形的面积．类型二、根据比例系数求面积例1．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝．（结果用a，b表示）【答案】a【分析】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．【详解】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，∴阴影部分的面积S△AOB＝mnbb（m）（n）＝mn﹣b（mn﹣b﹣b）＝mn﹣bmn+ba．故答案为：a．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题．例2．如图，双曲线经过矩形的顶点，双曲线交，于点、，且与矩形的对角线交于点，连接．若，则的面积为．【答案】【分析】根据点的坐标去表达的值及点的坐标，进而求得，的长，再由求得的面积．【详解】解：如图，过点作于点．在矩形中，，，，，，．设点坐标为，其中，均为正数，，．点在双曲线上，，则．，．．，．，．点在双曲线上，．，在双曲线双曲线上，，，．，．．．．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何含义及反比例函数上点的坐标，涉及矩形的性质和相似三角形的判定与性质，是代数与几何的综合问题，解决问题要从点的坐标开始入手．【变式训练1】已知，如图，双曲线与直线）相交于两点，轴于，轴于，点是的中点，与轴相交于点，连接，分别与直线相交于点和点，则图中阴影部分的面积是________．【答案】8【详解】：连接，如图所示：由是双曲线与直线的交点，易得，，．∴，∵∥，∥，是中点，是中点，∴∽，∽，∴，，∴，，，，∴，，，∴，∴，∴，∴．【变式训练2】如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是．【答案】11【分析】过点作于点，过点作轴于点，因为四边形是平行四边形，可证得，，即，，再根据反比例函数的的几何意义即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，四边形是平行四边形，，，，，，同理可得：，，点在反比例函数上，，点在反比例函数上，，平行四边形的面积为：，故答案为：11．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为．【答案】6【分析】设M点的坐标为，N点的坐标为，表示出，根据相似，求出，，进而求出的面积．【详解】∵轴，∴，点M，N的纵坐标相同，设M点的坐标为，N点的坐标为，∴，如图，过点M作轴，点A作轴，∴，根据反比例函数与三角形的面积关系可得：，，∴，∵相似三角形中面积比等于相似比的平方，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵M点的坐标为，∴，∴，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查反比例函数与三角形面积的关系，解题的关键是根据题意作出相应的辅助线，并通过设坐标法进行求解．【变式训练4】如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点．过的中点作轴交反比例函数图像于点，连接，，的面积为．【答案】3【分析】由点C的坐标利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；延长交于点E，由点D为线段的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出、的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论；【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，∴，∴反比例函数的关系式为，∵四边形为平行四边形，且点，，点，∴点，点．延长交于点E，如图所示：∵点D为线段的中点，点、，∴点，令中，则，∴点，∴，，．故答案为：3．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、三角形的面积公式及平行四边形的性质，求出长度是解决问题的关键．【变式训练5】如图，点，在反比例函数（，）的图象上，点，在反比例函数（，）的图象上，且轴，过，分别作轴的垂线，垂足为，，交于点，连结交于点．若，则．

【答案】1【分析】如图，由组合图形位置构成关系，得，，由反比例函数解析式k的几何意义，得，，得出结论．【详解】如图，

∵点在反比例函数（，）的图象上，点在反比例函数（，）的图象上∴∴∵∴∴而，∴∴∴，∴，故答案为：1【点睛】本题考查反比例函数解析式k的几何意义，组合图形求面积，理解反比例函数解析式k的几何意义是解题的关键．课后训练1．如图，在▱ABCD中，点B在y轴上，AD过原点，且S▱ABCD＝15，A、C、D三点在反比例函数（k≠0）的图象上，则k＝．【答案】5【分析】作AH⊥OB于H，CE⊥y轴于E，DF⊥CE于F，证明△CFD≌△AHB，设A（x，y），则D（﹣x，﹣y），由S▱ABCD＝15，OA＝OD，得S△AOB＝，所以OB＝，BH＝﹣y，即点C的坐标为（﹣2x，﹣2y），把点A、D两点代入反比例函数（k≠0），可求得k的值．【详解】解：如图，作AH⊥OB于H，CE⊥y轴于E，DF⊥CE于F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AH∥x轴∥CF，∴∠BAH＝∠DCF，∵∠DFC＝∠AHB＝90°，∴△CFD≌△AHB（AAS），∴AH＝CF，DF＝BH，设A（x，y），则D（﹣x，﹣y），∵S▱ABCD＝15，OA＝OD，∴S△AOB＝，∴OB＝，BH＝﹣y，∴点C的坐标为（﹣2x，﹣2y），∵A、C、D三点在反比例函数（k≠0）的图象上，∴xy＝﹣2x（﹣2y）＝k，∴k＝xy＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是构造△CFD≌△AHB得出点D的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为，点C'的坐标为．【答案】/【分析】连接OB交MN于Q，由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，先证明△BMQ≌△ONQ得到QM=QN，即点Q为OB的中点，过点Q作QH⊥x轴于H，证明△OHQ∽△OCB，求出，则；过点作轴于G，可以推出，设AM=a，则BM=OM=3a，则，解得，得到AB=OC=2，，从而求出，，利用三角形面积法求出，则，即点C的坐标为．【详解】解：如图所示，连接OB交MN于Q，由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，∵四边形OABC是矩形，∴，∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，又∵BQ=OQ，∴△BMQ≌△ONQ（AAS），∴QM=QN，即点Q为OB的中点，过点Q作QH⊥x轴于H，∴，∴△OHQ∽△OCB，∴，∵四边形OABC是矩形，∴，∵Q在反比例函数图象上，∴；过点作轴于G，∵点M在反比例函数图象上，∴，又∵，∴，设AM=a，则BM=OM=3a，∴，∴，解得（负值已经舍去），∴AB=OC=2，，∵QM=QG，OQ=BQ，∴四边形OMBN是平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴点C的坐标为故答案为：，．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．3．如图，P为第一象限内一点，过P作PA∥轴，轴，分别交函数y=于A，B两点，若S△BOP=4，则S△ABO=．【答案】16【分析】延长BP交x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，则四边形APMN是矩形，AP=MN，AN=PM，设点B，根据S△BOP=4，可求得，可求得，AP=MN=2t，再由S△BOM+S梯形ABMN=S△AON+S△AOB，且，可得，据此即可求得．【详解】如图，延长BP交x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，则四边形APMN是矩形，∴AP=MN，AN=PM，设点B的横坐标为t，点A，B在函数y=上，∴B，∵S△BOP=4，∴，解得，∴，∴，∴AP=MN=3t-t=2t，∵S△BOM+S梯形ABMN=S△AON+S△AOB，且，∴．故答案为：16．【点睛】此题考查了反比例函数的系数k的几何意义，坐标与图形，矩形的判定和性质，不规则图形的面积，正确作出辅助线是解本题的关键．4．如图，点A在函数的图像上，点B，C在函数的图像上，若AC∥y轴，AB∥x轴，且AB＝AC，则BC＝．【答案】【分析】延长CA、BA交坐标轴于F、E，作CD⊥y轴于D，BG⊥x轴于G，设A（m，n），根据反比例函数系数k的几何意义得到S四边形CDOF=S四边形BEOG=18，mn=12，进而得到S四边形AEDC=S四边形ABGF，即可得到AC•m=AB•n，从而求得m=n，由mn=12得到A的横坐标，从而求得C的坐标，得到AC的长，进一步求得AB的长，然后根据勾股定理即可求得BC．【详解】解：延长CA、BA交坐标轴于F、E，作CD⊥y轴于D，BG⊥x轴于G，设A（m，n），∵点A在函数的图像上，点B、C在函数的图像上，AC∥y轴，AB∥x轴，∴S四边形CDOF=S四边形BEOG=18，mn=12，∴S四边形AEDC=S四边形ABGF，∴AC•m=AB•n，∵AB=AC，∴m=n，∴n•n=12，∴，∴，∴C点的横坐标为，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，求得A、C的坐标是解题的关键．5．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且EDOB，则点E的坐标是．【答案】(2，4)【分析】连接OE，根据反比例函数系数k的几何意义得到，设D(m，n)，则mn=，n=，进一步求得的面积，即可得到AE=，，由OD=BD，EDOB，得到OE=BE=，然后利用勾股定理得到整理得，由于，求得m=4，即可求出E点坐标．【详解】解：连接OE，∵反比例函数的图象与AB、BC分别交于点E、F，∴，，设D(m，n)∵矩形对角线的交点D在反比例函数的图象上，∴mn=，n=，∵矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，∴B(2m，2n)∴A=2n，AB=2m，∴，∴AE=，∴BE，E(，)，∴OA=，∵OD=BD，EDOB，∴OE=BE=，在RtAOE中，，∴整理得∵m0，∴m=4，∴E(2，4)，故答案为：(2，4)．【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数k的几何意义勾股定理的应用和线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是根据题意得到关于m的方程．6．如图，双曲线经过四边形的顶点A，，，平分与轴负半轴的夹角，轴，将沿翻折后得且点恰好落在上，若四边形的面积为，则的值为：．【答案】【分析】设的延长线交轴于点，点，，由角平分线的性质得，则，再由翻折的性质得，，根据反比例函数比例系数的几何意义，得出，由轴，得点，由题意得，求出，根据，即可得出答案．【详解】解：如图，设的延长线交轴于点，设点，，，轴，轴由折叠的性质可得：，平分与轴负半轴的夹角，在和中，由翻折的性质得，，点双曲线经过四边形的顶点A，，∴轴，点∴．故答案为：．【点睛】此题考查了折叠的性质、反比例函数比例系数的几何意义、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．解题关键是注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．7．如图，点在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为．【答案】【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的，则有，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积，找出规律即可得出结论．【详解】解：根据题意可知，∵轴，设图中阴影部分的面积从左向右依次为则，∵，∴，，∴•••，∴第n的阴影部分的面积是：，∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，综合性比较强，解题的关键要熟练掌握反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的．8．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L．（1）若L过点，则；（2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．【答案】23【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解；（2）由曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，，在曲线L的两侧，即可求解．【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是2和3，，，，，，，，，过点，，故答案为：；（2）若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，即，，，与，，，，在曲线L的两侧，，整数的个数为：个，故答案为：23；【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键．9．如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形为菱形，D为菱形对角线与的交点，反比例函数在第一象限内的图像经过点A与点D，若菱形的面积为，则点A的坐标为．【答案】【分析】过点A作于点E，过点D作于点F，设，得到，，，根据菱形的性质，得到，，再利用相似三角形的性质得到，，进而得到，，，由勾股定理得到，然后利用菱形的面积求出，即可得到点A的坐标．【详解】解：过点A作于点E，过点D作于点F，反比例函数在第一象限内的图像经过点A与点D，设，，，，四边形为菱形，，，，，，，，，点D反比例函数上，，即，，，，，菱形的面积为，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图像上点的特征，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．如图，，分别是反比例函数和在第四象限内的图像，点在上，线段交于点A，作轴于点C，交于点B，延长OB交于点M，作轴于点F，下列结论：①；②与是位似图形，面积比为；③；④．其中正确的是．【答案】②③④【分析】由可判断①；结合已知易证，根据面积比等于相似比的平方可判断②；过A作轴于点K，类比②，可求得，可判断③；由③可得到，从而得到可判断④．【详解】解：①，，，，①错误；②，，，∴，②正确；③，过A作轴于点K，，，，，∴同理，③正确；④，由③可知④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，相似三角形的判定和性质；解题的关键是灵活运用性质进行计算．11．如图，矩形的两边在坐标轴上，且，M，N分别为的中点，与交于点E，且四边形的面积为1，则经过点B的反比例函数的解析式为．【答案】【分析】利用等积法，得到的面积等于四边形的面积，取的中点，连接，得到，进而得到，得到，得到，得到的面积，进而得到的面积，从而得到矩形的面积，即可得解．【详解】解：∵矩形的两边在坐标轴上，且，M，N分别为的中点，与交于点E，∴，即：，∴，即：的面积等于四边形的面积，∴，取的中点，连接，则：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即：，∴，即：矩形的面积为；∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数的解析式为：；故答案为：．【点睛】本题考查已知图形面积求值，同时考查了矩形的性质，三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握值的几何意义，添加辅助线构造三角形的中位线，证明三角形相似，是解题的关键．12．如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以为边构造正方形，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点E在延长线上，，，交x轴于点F，边交反比例函数的图象于点P，记的面积为S，若，求k的值为．【答案】8【分析】过点C作轴于点N，过点D作轴于点M，过点E作轴于点Q，设点，先证明，得出，，再根据反比例函数图象上的点特征得出，从而得出为等腰直角三角形，得出，根据三角形的面积公式得出，根据在反比例函数图形上，得出，联立求解即可．【详解】解：如图，过点C作轴于点N，过点D作轴于点