高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题五 专题检测（五） 理

专题检测卷(五)立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的【解析】分别把展开图还原成几何体，经分析只有A符合．【答案】A2．(·威海市模拟)已知直线a、b是两条异面直线,直线c平行于直线a，则直线c与直线bA．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线【解析】若c∥b，∵c∥a，∴a∥b与已知矛盾．【答案】C3．如图，在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是【解析】观察图形，易知应选A.【答案】A4．(·江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A．22π B．12πC．4π＋24 D．4π＋32【解析】由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故选D.【答案】D5．(原创)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为A．7＋eq\r(2)，3 B．8＋eq\r(2)，3C．7＋eq\r(2)，eq\f(3,2) D．8＋eq\r(2)，eq\f(3,2)【解析】由几何体的三视图可得，此几何体是四棱柱，底面是梯形，其全面积为S＝2×eq\f(1,2)(1＋2)×1＋12＋12＋1×2＋eq\r(2)×1＝7＋eq\r(2)，体积为V＝eq\f(1,2)(1＋2)×1×1＝eq\f(3,2).故选C.【答案】C6．(·龙岩市模拟)设m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是A．①和② B．②和③C．③和④ D．①和④【解析】易知①正确；m⊥α，α∥β，β∥γ，∴m⊥β，m⊥γ，故②正确；容易判断③、④均不正确．【答案】A7．(·安徽皖南八校联考)设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∥γ))⇒β∥γ；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,m∥α))⇒m⊥β；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m∥β))⇒α⊥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊂α))⇒m∥α.其中正确的命题是A．①④ B．②③C．①③ D．②④【解析】由定理可知①③正确，②中m与β的位置关系不确定，④中可能m⊂α.故选C.【答案】C8．(·宁夏模拟)如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′－FED的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【解析】由题意，DE⊥平面AGA′，A、B、C正确．故选D.【答案】D9．(·昆明市一检)过正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意两点的直线，与平面A1BC1A．1条 B．4条C．6条 D．8条【解析】∵A1C1⊥D1B1，A1C1⊥DD1，D1B1∩DD1＝D1∴A1C1⊥平面DD1B1，∴A1C1⊥DB同理可证BC1⊥DB1，因此DB1⊥平面A1BC1.而由顶点组成的其他直线中没有与DB1平行的直线，故其他直线与平面A1BC1均不垂直，因此符合要求的直线只有一条．故选A.【答案】A10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是eq\f(32,3)π，那么这个三棱柱的体积是A．96eq\r(3) B．16eq\r(3)C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)【解析】易求得球的半径为2，球与正三棱柱各个面都相切，可知各切点为各个面的中心，棱柱的高等于球的直径，设棱柱底面三角形边长为a，则有eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,3)＝2⇒a＝4eq\r(3)，故棱柱体积V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).故选D.【答案】D11．(·山东平邑一中模拟)设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】写出逆命题，可知B中b与β不一定垂直．选B.【答案】B12．(·山东潍坊模拟)某几何体的一条棱长为eq\r(7)，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为eq\r(6)的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(5)【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图，设长方体的长，宽，高分别为m，n，k，由题意得eq\r(m2＋n2＋k2)＝eq\r(7)，eq\r(m2＋k2)＝eq\r(6)⇒n＝1，eq\r(1＋k2)＝a，eq\r(1＋m2)＝b，所以(a2－1)＋(b2－1)＝6⇒a2＋b2＝8，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝8＋2ab≤8＋a2＋b2＝16⇒a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．选C.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)13．(·广东珠海二模)一个五面体的三视图如图，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为________．【解析】由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(1＋2)×2×2＝2.【答案】214．(原创)已知直线a，b和平面α，β，试利用上述元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断α∥β的真命题：________.【答案】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))⇒α∥β或eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,a∩b＝O))⇒α∥β(答案不唯一)15．(·江西赣州联考)三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是eq\f(1,2)a.其中正确结论的序号是________．【解析】由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离为eq\f(1,2)a，④正确．【答案】①②③④16．(·南京一模)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BD＝C1D＝eq\r(a2＋h2)，BC1＝eq\r(a2＋4h2)，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×(a2＋h2)＝a2＋4h2,\f(1,2)(a2＋h2)＝6))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8,h＝2))，故此三棱柱的体积为V＝eq\f(1,2)×8×sin60°×4＝8eq\r(3).【答案】8eq\r(3)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2010·福州模拟)一几何体的三视图如下：(1)画出它的直观图，并求其体积；(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．【解析】(1)几何体的直观图如图棱锥P－ABC，其中PC⊥面ABC，∠ABC＝90°，△ABC斜边AC上的高为eq\f(12,5)cm，PC＝6cm，AC＝5cm，∴VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×eq\f(12,5)×6＝12(cm3)．(2)互相垂直的面分别有：面PAC⊥面ABC，面PBC⊥面ABC，面PBC⊥面PAB.【答案】(1)VP－ABC＝12cm3图略(2)互相垂直的面分别有：面PAC⊥面ABC，面PBC⊥面ABC，面PBC⊥面PAB18．(12分)(·课标全国)如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝eq\r(6)，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P—ABCD的体积．【解析】(1)证明因为PH是四棱锥P—ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝eq\r(6)，所以HA＝HB＝eq\r(3).因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝eq\r(6)，HD＝HC＝1，可得PH＝eq\r(3).等腰梯形ABCD的面积为S＝eq\f(1,2)AC×BD＝2＋eq\r(3).所以四棱锥的体积为V＝eq\f(1,3)×(2＋eq\r(3))×eq\r(3)＝eq\f(3＋2\r(3),3).【答案】(1)略(2)V＝eq\f(3＋2\r(3),3)19．(12分)(·东北四校联考)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A1B上，且AB⊥CP.(1)证明：P为A1B中点；(2)若A1B⊥AC1，求三棱锥P－A1AC的体积．【解析】(1)证明取AB中点Q，连结PQ，CQ，∴CQ⊥AB.又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPQ，∴AB⊥PQ，∴PQ∥B1B.∴P为A1B的中点．(2)连结AB1，取AC中点R，连结A1R、BR，则BR⊥平面A1C1CA，由已知A1B⊥AC1∴A1R⊥AC1，∴△AC1C∽△A1RA∴eq\f(C1C,AC)＝eq\f(\f(1,2)AC,A1A)，∴AC＝eq\r(2)A1A，由AC＝2，得AA1＝eq\r(2).∵VP－A1AC＝VC－A1APS△A1AP＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),2)，h＝CQ＝eq\r(3).∴VP－A1AC＝VC－A1AP＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),6).【答案】(1)略(2)VP－A1AC＝eq\f(\r(6),6)20．(12分)(·安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B—DEF的体积．【解析】(1)证明设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连结EG、GH，由于H为BC的中点，∴GH綊eq\f(1,2)AB.又EF綊eq\f(1,2)AB，∴EF綊GH.∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB.∴FH∥平面EDB.(2)证明由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B—DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝eq\r(2).VB—DEF＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·1·eq\r(2)·eq\r(2)＝eq\f(1,3).【答案】(1)(2)略(3)VB—DEF＝eq\f(1,3)21．(12分)(·江苏如皋模拟)如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC＝BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C(1)求证：面PCC1⊥面MNQ；(2)求证：PC1∥面MNQ.【证明】(1)∵AC＝BC，P是AB的中点，∴AB⊥PC.∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，∴CC1⊥面ABC，而AB⊂平面ABC，∴CC1⊥AB.∵CC1∩PC＝C，∴AB⊥面PCC1.又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB，∴MN⊥面PCC1.∵M