2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（解析版）

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：直观图 1题型二：空间几何体的表面积（侧面积） 6题型三：空间几何体的体积 10题型四：空间几何体表面距离最短问题 13题型五：空间几何体外接球问题（补形法） 19题型六：空间几何体外接球问题（对棱相等型） 23题型七：空间几何体外接球问题（单（双）面定球心法） 25题型八：空间几何体内切球问题（独立截面法） 32题型九：空间几何体内切球问题（等体积法） 36题型一：直观图典型例题例题1．（2023春·河南驻马店·高一统考期末）用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】在直观图中，，且，则，故，又因为，则，可得，故为等腰直角三角形，所以，，故轴，依据题意，作出的原图形如下图所示：

延长至点，使得，则为的中点，由题意可知，，，，且，所以，且，故四边形为平行四边形，则，取的中点，连接，因为、分别为、的中点，则.故选：D.例题2．（多选）（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（

）

A．为锐角三角形B．的面积为C．的周长为D．的面积为【答案】CD【详解】如图，因为正三角形的边长为，故，所以，，在中，，由余弦定理得，,在中，，由余弦定理得，,选项A，在中，因为，由余弦定理知，故选项A错误；选项B和D，，故选项B错误，选项D正确；选项C，的周长为，故选项C正确.

故选：CD.例题3．（2023·江苏·高一专题练习）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，该直观图是一个等腰梯形，且，则原平面图形的边.

【答案】【详解】分别过作于点，于点，因为，所以，所以，所以，所以，，因为，所以为等腰直角三角形，所以，所以，在中，，，，由正弦定理得，所以，所以，得，所以由斜二测画法可知，，所以，故答案为：

精练核心考点1．（2023春·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形ABCD中，（

）

A．3 B． C． D．9【答案】D【详解】在直观图中，，，则，，把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得，，所以.

故选：D.2．（2023春·辽宁·高一校联考期末）如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中为平行四边形，则原的周长是．

【答案】【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，原是等腰三角形，如图：

其中，，且，所以，所以原的周长为.故答案为：3．（2023春·贵州六盘水·高一统考期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为.

【答案】【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图：

其中，，，，过作交于，则为的中点，在中，，，所以；将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，故此圆台体积为.故答案为：；题型二：空间几何体的表面积（侧面积）典型例题例题1．（2023春·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）如图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某平面多边形，现将该图形绕对称轴旋转，则所得几何体的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，几何体是多边形绕线段CD的中垂线旋转得到的，它是以线段BE为底面圆直径，高为3的圆锥，和以线段CD、BE分别为上下底直径，高为3的圆台组成，而，圆锥的母线长，圆锥的侧面积，圆台的母线长，圆台的侧面积，所以所得几何体的表面积为.故选：C例题2．（2023春·贵州黔西·高一统考期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，

正三棱锥中，底面，则为正三角形的中心，连接并延长交于，则为的中点，且，依题意，，正三角形的边长为2，所以，，，，所以该三棱锥的侧面积为.故选：B例题3．（2023春·河南驻马店·高一统考期末）《九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为.【答案】【详解】如图所示，分别是正四梭台不相邻两个侧面的高，，则即为正四梭台的高，，由，得，所以此方亭的表面积为.故答案为：.

精练核心考点1．（2023春·浙江台州·高一校联考期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（

）．

A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，连接交点为O，

则对角线，，所以，因为直四棱柱的底面是菱形，所以，所以，∴直四棱柱的侧面积.故选：D.2．（2023春·湖北荆门·高一统考期末）圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示：

圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，则，解得，所以圆锥母线长为，所以该圆锥的侧面积为故选：B.3．（2023春·福建南平·高一统考期末）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2.该正四棱台的表面积为.【答案】/【详解】因为正四棱台的侧面等腰梯形，

又正四棱台的上、下底面的边长分别是4、8，高为2，所以侧面梯形的斜高为，则梯形的面积，上下底底面面积分别为，，所以该四棱台的表面积为．故答案为：．题型三：空间几何体的体积典型例题例题1．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考期末）一个正三棱柱的各棱长均为，则该三棱柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】该三棱柱的体积为.故选：C.例题2．（2023春·江苏徐州·高一统考期末）如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】解：根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图，

所以即为圆台母线与底面所成角，即，分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，因为，则四边形为矩形，且，因为，，，所以，，所以，，且，因为，则，所以，圆台，圆锥的高均为，所以，该工业部件的体积为.故选：B.例题3．（2023春·福建龙岩·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，.记四面体的外接球的球心为，为球表面上的一个动点，当取最大值时，四面体体积的最大值为.

【答案】/【详解】

依题可得，四面体的外接球的球心为中点，外接球半径，要使取到最大值，则，即与球相切时，所以,在中，，∴，∴，∴，过作，垂足为，所以点在以为圆心为半径的圆上，又，∴四面体体积的最大值为.故答案为：.精练核心考点1．（2023春·云南昆明·高二统考期末）如图，圆锥被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底面半径分别为和，高为的圆台，则所得圆锥的体积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】设圆锥的高为，则，解得，因此圆锥的体积为.故选：B.2．（2023春·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设圆锥的高为，母线长为，底面圆半径为，则，解得：，，所以，所以圆台体积为：，故选：A3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为.【答案】【详解】圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为，内切球与母线切于点，则，所以，过点作于，则，所以，所以圆台的体积为，故答案为：题型四：空间几何体表面距离最短问题典型例题例题1．（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）如图，在三棱锥中，，，为锐角，侧棱，一只小虫从点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到点，则小虫爬行的最短距离为（

）

A． B．C． D．【答案】D【详解】根据题意，在三棱锥中，，则有，可得，又，则，而，则，又△PAB，△PAC为正三角形，将三棱锥沿侧棱展开，得到如图所示的多边形，其中，

根据余弦定理，最短距离故选：D．例题2．（2022秋·上海崇明·高二统考期末）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，是底面圆周上两点，，，，为线段的中点.一只蚂蚁沿着圆锥表面从点爬到点经过的最短距离是.【答案】【详解】将圆锥的侧面沿母线展开成扇形，如图示：所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A爬到点C经过的最短距离是线段.则弧长为，所以，因为，所以，所以在扇形中，，又C为线段PB的中点，.所以在中，,,,由余弦定理得：，所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A爬到点C经过的最短距离是.故答案为：例题3．（2021秋·湖北武汉·高三校联考阶段练习）如图，一个几何体由一个长方体与一个半圆柱组成，且，分别为圆柱上下底面的直径，，，设，试求：（以下结果用表示）(1)该几何体的表面积与体积；(2)从点沿几何体表面到点的最短距离；【答案】(1)；(2)【详解】（1）几何体的体积为：；几何体的表面积为：，（2）当路径经过正方体表面时，；当路径经过半圆柱表面时，；取，即，当时，，，当时，，，即精练核心考点1．（2023春·山西太原·高一校联考阶段练习）如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A．1 B．C． D．4【答案】C【详解】由题意可知，圆锥的母线长为2，底面半径为，所以圆锥底面周长为，所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，如图所示在中，，由余弦定理可知，，所以,所以蚂蚁爬行的最短距离为.故选：C.2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B． C．6 D．【答案】B【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设，圆锥底面周长为，所以，所以，在中，由，得故选：B．3．（2023春·广东梅州·高一校联考期中）如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．(1)求该几何体的表面积；(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．【答案】(1)(2)【详解】（1）如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，其表面积为.（2）

将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴，又∵，∴，，设，则的弧长，∴，连接，取线段中点，连接，则，在中，，，∴，∴蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段，.∴蚂蚁爬行的最短距离为．题型五：空间几何体外接球问题（补形法）典型例题例题1．（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由平面BCD，，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，如图所示，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，则，所以该三棱锥的外接球表面积为.故选：C．例题2．（2023·全国·高一专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径.所以三棱锥外接球表面积.故选：B.例题3．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，，沿BD将△ABD折起，使得△ABC与△BAD全等，则四面体ABCD外接球球心到平面ABC的距离为.【答案】【详解】对于四面体ABCD，由题意可得：，如图，可将四面体ABCD补形为正四棱柱，其中为正方形，设，则有，解得，∵四面体ABCD的外接球即为正四棱柱的外接球，则球心O为的中点，故四面体ABCD的外接球的半径，设△ABC的外接圆的圆心为，半径为，则，∴，由正弦定理可得，则，连接，则平面ABC，即四面体ABCD外接球球心到平面ABC的距离为，由平面ABC，则，故，即，则，故答案为：.精练核心考点1．（2021春·江西上饶·高二校联考阶段练习）三棱锥中，平面ABC，且，且，三棱锥的外接球表面积为（

）A．16π B．20π C． D．24π【答案】D【详解】解：因为三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为PA＝AB＝2，，则长方体的长宽高分别为4，2，2，所以三棱锥P﹣ABC外接球的半径，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝24π．故选：D．2．（2021秋·广西防城港·高二校考期中）据《九章算术》记载，“鳖臑（biēnào）”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为.【答案】【详解】根据题意底面，，且可以还原为正方体如图故答案为：.3．（2021春·江苏常州·高二统考期末）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥．现有一个“阳马”，底面，底面是矩形，且，，，则这个四棱锥外接球表面积为.【答案】【详解】如图，由题意可知，即求长方体的外接球表面积，由长方体外接球半径公式知，所以长方体的外接球表面积为，即这个四棱锥外接球表面积为.故答案为:题型六：空间几何体外接球问题（对棱相等型）典型例题例题1．（2023春·广东湛江·高一湛江二十一中校考期中）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.所以四面体外接球表面积是.故答案为：B.例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为.【答案】【详解】对于四面体中，因为，所以可以把四面体还原为一个长方体，如图：

设从同一个顶点出发的三条边长分别为x、y、z，则有：，解得：点A、B、C、D均为长、宽、高分别为，，的长方体的顶点，且四面体的外接球即为该长方体的外接球，于是长方体的体对角线即为外接球的直径，不妨设外接球的半径为，∴，∴外接球的表面积为.故答案为：.精练核心考点1．（2020·浙江杭州·高一期末）已知三棱锥中,,,.则该三棱锥的外接球表面积为.【答案】【详解】试题分析：由条件，可将三棱锥放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为，有，得到，所以长方体的体对角线长为，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为，从而其表面积为.2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为．

【答案】/【详解】中，，，，由余弦定理得，则折成的三棱锥中，，即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，

设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为，则，解得，又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，故三棱维的体积为，又三棱锥四个侧面是全等的，故三棱锥的表面积为，设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，故，故内切球表面积为.故答案为：题型七：空间几何体外接球问题（单（双）面定球心法）典型例题例题1．（2023春·全国·高一校联考阶段练习）已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为（

）A． B．或2 C． D．或【答案】D【详解】图1所示，设，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为，则由正弦定理，得，即．因为，所以．设外接球的半径为，由外接球的体积为，得，即．设球心到上､下底面的距离分别为，所以，故（如图1）或（如图2），即或，解得或，所以的面积为或．故选：D.

例题2．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的外接球上，分别是和的中点，，，当取得最大值时，三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，当为外接球直径时，最大，，，因为分别是和的中点，所以为的中位线，，又，故，因为，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以所以为直角三角形，所以，所以.故选：D.

例题3．（2023春·湖南·高二校联考期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示的四边形中，，，，.第二步：以为折痕将折起，得到三棱锥，如图（二）.第三步：折成的二面角的大小为，则活动结束后计算得到三棱锥外接球的表面积为.

【答案】/【详解】从第一步活动中可知是边长为2的正三角形，第二步活动中可知三棱锥外接球的球心是过底面外心的平面的垂线，与过外心的平面的垂线的交点，如图：

因为正三角形，所以的外心为的中心，因为以为斜边的直角三角形，所以的外心为的中点，三棱锥外接球的球心为，因，，所以,,故为二面角的一个平面角，所以，因为正三角形，所以，因平面，平面，所以，即，所以，所以，所以，设外接球的半径为，所以，所以外接球的表面积为.故答案为：.例题4．（2022秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知三棱锥P－ABC，PA⊥面ABC，，，．则三棱锥P－ABC外接球表面积为．【答案】【详解】如图，将三棱锥还原成直三棱柱。则三棱柱的外接球O，，，为上下底面的外心，O为的中点，为底面外接圆的半径根据正弦定理可得，根据题意可知，，根据勾股定理可知球的半径所以球O的表面积为故答案为：.精练核心考点1．（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】连接，交于，连接，则底面且是中点，，，所以到，，，，的距离均为，点即为正四棱锥的外接球球心，取中点，连接，分析可知，当时，截面圆的面积最小，线段也即此时截面圆的直径，所以截面圆的面积的最小值为．故选：C．

2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）已知正三棱锥的外接球为球，底面为等边三角形且其面积为，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示：设为等边三角形的中心，连接，则平面，正三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，连接，为等边三角形且其面积为，，，，又，在Rt中，，在Rt中，，，解得，球的表面积为．故选：A．3．（2023春·山东淄博·高一统考期末）已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为.【答案】【详解】记AD的中点为，连接，连接EF，设外接圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，

因为为等边三角形，，所以圆的半径，因为为等边三角形，是AD的中点，所以，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因为底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圆的圆心，故平面ABCD，所以，同理，所以四边形是矩形，所以，所以球的半径，所以外接球的表面积为．故答案为：．4．（2023春·四川乐山·高二期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为．【答案】【详解】如图，

取BC中点G，连接AG,DG，则，，分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，由，所以正方形OEGF的边长为，则，四面体的外接球的半径，球O的表面积为．故答案为：．题型八：空间几何体内切球问题（独立截面法）典型例题例题1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，轴截面如下图示，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，所以，所以.（当且仅当时等号成立）所以该圆锥的表面积的最小值为.故选：B

例题2．（2023·湖南·校联考模拟预测）定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥称为球的外切圆锥．已知某圆锥的内切球半径等于1，则该圆锥体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，作出该几何体的轴截面得到如图所示的平面图形，

设该圆锥的内切球球心为，底面圆的圆心为点，底面半径为，高为，法一：由等面积法可得：，化简得：，又：，∴，当且仅当，即时取等号．法二：如图：，∴，∴，∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号．故选：C．例题3．（2023春·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考期中）已知三棱锥的棱长均为，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球与三棱锥的三个侧面都相切，则球的半径为，球的体积为．【答案】【详解】如图所示：已知三棱锥的棱长均为，所以三棱锥为正四面体，设底面三角形中心为，底面，则，在上，取的中点，作截面，球，球与切于，连结.题意得，底面的外接圆半径为，点到平面的距离为，所以，所以设球的半径为，所以则，得.设球的半径为，则，，又,,得，所以球的体积为为故答案为：；.精练核心考点1．（2023春·全国·高一专题练习）已知圆锥的