2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第03讲 空间向量及其应用（解析版）

第03讲空间向量及其应用目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：空间向量的线性运算 1题型二：共线、共面向量定理的应用 3题型三：求数量积 6题型四：求长度 9题型五：求夹角 12题型六：向量的投影和投影向量 16题型七：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数 18题型八：求平面的法向量 20题型九：利用空间向量证明平行与垂直 21题型一：空间向量的线性运算典型例题例题1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点在上，且满足，为的中点，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，连接，

是的中点，，，，．故选：．例题2．（2023春·广东·高二统考阶段练习）在三棱柱中，，若点为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，为的中点，，故选：A.精练核心考点1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】

如图所示，因为点M在平面BCD内，可设，则有，即用向量，，表示，三个基向量的系数之和为1，显然A符合题意．故选：A．2．（2023秋·高一单元测试）下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】设，若，则点共面．对于A，，由于，故A错误；对于B，，由于，故B错误；对于C,，由于，故C错误；对于D，，由于，得共面，故D正确.故选：D.题型二：共线、共面向量定理的应用典型例题例题1．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】

因为，，所以，因为，所以，，，所以.故选：C例题2．（2023春·福建莆田·高二统考期末）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】平面，，，，四点共面，又，，解得．故选：D．或者根据平面，，，，四点共面，则存在实数，使得，即，又，所以解得故选：D例题3．（2023春·高二课时练习）对于空间任意一点，以下条件可以判定点､共线的是（填序号）.①；②；③；④.【答案】①③【详解】对于①，因为，所以，所以，所以共线，所以点P､A､B共线.对于②，因为，所以，所以共线，所以P､O､B共线，点P､A､B不一定共线.对于③，因为，所以，所以，所以共线，所以点P､A､B共线.对于④，因为，所以得，所以，则，所以平行或重合，当平行时，点P､A､B不共线.故答案为：①③.精练核心考点1．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】由，，得，因为A，C，D三点共线，所以，则存在唯一实数，使得，则，解得.故选：C.2．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，点E是上底面的中心，若，求的值．【答案】【详解】因为点是上底面的中心，所以,又因为,所以，所以，3．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则．【答案】【详解】由题意得，因为A、B、C、D满足四点共面且任意三点不共线，，所以，解得.故答案为：-4.题型三：求数量积典型例题例题1．（2023·江苏·高二专题练习）如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为，，，，故选：A.例题2．（2023春·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以.故选：B例题3．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是．【答案】1【详解】由题意得，，则,故答案为：1.精练核心考点1．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】为正三棱椎，为的中心，∴平面，平面，∴，，△ABC是等边三角形，∴，，故，，则．故选：D.

2．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知，，，则.【答案】2【详解】因为，所以,因为，所以,即，解得.故答案为:2.3．（2023春·高二课时练习）如图,在直三棱柱(即平面),,,求【答案】1【详解】∵平面，.又，∴E为BC的中点，．又.题型四：求长度典型例题例题1．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体中，，，，，为中点，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】由，两边平方得：.所以.故选：A.例题2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量，若与垂直，则（

）.A． B． C． D．【答案】D【详解】由于与垂直，所以，所以，故，故选：D例题3．（2023春·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考期末）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.

(1)用，，表示；(2)求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，而显见为中点，所以，又，故.（2）由已知且它们彼此的夹角都是，所以，故，所以.精练核心考点1．（2023·江苏·高二专题练习）已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则.【答案】【详解】，，．故答案为：

2．（2023春·陕西安康·高二校联考期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则．【答案】【详解】因为，且两两夹角为，所以，所以，所以.故答案为：.3．（2023春·福建漳州·高二统考期末）已知空间向量，若，则（

）A．5 B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，得，，所以，所以.故选：C4．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，，且，所以，得，所以，所以，所以，故选：B题型五：求夹角典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是.【答案】/【详解】由题设，可得如下示意图，

∴，设，则，又，所以，，，所以以.，所以故答案为：.例题2．（2023秋·高二课时练习）已知，则直线与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，又，所以故选：C.例题3．（2023秋·高二课时练习）已知，则．【答案】【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故故答案为：例题4．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）已知空间向量，，，，．(1)求，，；(2)求与所成角的余弦值．【答案】(1)，，(2)【详解】（1）解：由得，解得，，经检验符合；由得，解得，，．（2）解：由（1）可得，，，，．精练核心考点1．（2023·上海·高三专题练习）已知向量，向量，则与的夹角的大小为.【答案】【详解】因为，，所以，因为，所以.故答案为：.2．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知，，且，则向量与的夹角为【答案】【详解】因为，，，所以，解得；，因为，所以.故答案为：.3．（2023·江苏·高二专题练习）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为.【答案】【详解】正三棱锥中，设,且侧棱长相等，因为，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值为.故答案为：4．（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值.【答案】.【详解】记，，，则，，，，，，，，，又，，即与夹角的余弦值为.题型六：向量的投影和投影向量典型例题例题1．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）已用，，则在方向上的投影向量为．【答案】【详解】在方向上的投影向量为.故答案为：例题2．（2023秋·福建福州·高二校联考期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是.【答案】【详解】由题意可得：，则向量在向量上的投影向量是.故答案为：.精练核心考点1．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知向量，，则在方向上的投影向量为．【答案】/【详解】在方向上的投影向量为.故答案为：.2．（2023秋·高一单元测试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是．【答案】【详解】由题意可得：，所以向量在向量上的投影向量为．故答案为：.3．（2023·江苏·高二专题练习）已知向量，，则在上的投影数量为【答案】/1.5【详解】，则在上的投影数量为.故答案为：题型七：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数典型例题例题1．（多选）（2022秋·高二单元测试）已知，且与夹角为钝角，则的取值可以是（）A．-2 B．1 C． D．2【答案】BD【详解】因为，所以.因为与夹角为钝角，所以，且与不反向共线，又因为与共线时，有,此时与反向，所以且.对照选项可得B，D正确.故选:BD.例题2．（2023春·河南焦作·高一统考期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（

）A． B．(，4)C． D．(，1)【答案】A【详解】因向量的夹角为锐角，则，且不共线，即.综上可知，或.故选：A精练核心考点1．（2022·高二课时练习）已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是．【答案】【详解】由题意可知，，且与不共线．由，解得．若与共线，则，即，则，与方向相反需要舍去，因此实数的取值范围为．故答案为：2．（2022春·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考期末）已知、是相互垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为、是相互垂直的单位向量，则，，因为，，且与的夹角为钝角，则，解得，且与不共线，若与共线，则存在，使得，即，所以，，解得，因为与不共线，则.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.3．（2022秋·辽宁大连·高二大连市第三十六中学校考期中）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是.【答案】且【详解】因为，所以，，因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，当时，，解得，所以实数的取值范围为且.故答案为：且.题型八：求平面的法向量典型例题例题1．（2023·江苏·高二专题练习）若是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以也为平面的法向量，其它选项中的向量都不合题意，故选：D．例题2．（2023·全国·高二专题练习）若点，，，则平面的一个法向量．【答案】【详解】由题意，点点，，，可得向量，设平面的法向量为，可得，取，可得，所以平面的一个法向量为.故答案为：.精练核心考点1．（多选）（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）（多选）已知，是平面内的两个向量，则平面的一个法向量可以是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】因为，是平面内的两个向量，对于A，，，故正确；对于B，，，故错误；对于C，，，故正确；对于D，，，故错误.故选：AC.2．（2023·全国·高二专题练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【详解】解：，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，所以平面的法向量可以是.故答案为：（答案不唯一）.题型九：利用空间向量证明平行与垂直典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点．证明：平面.【答案】证明见解析【详解】因为在底面内，，所以，连接，因为为的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，所以，因为底面，底面，所以，所以以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系，因为侧面PAD为等边三角形，，所以，，，，，因为E是PD的中点，所以，所以，，，设平面的法向量为，则，令，得，因为，所以，又因为平面，所以平面.例题2．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且.求证：平面平面.【答案】证明见解析【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，则，所以，设平面ECA的一个法向量是，则，取，则，即，设平面DEA的一个法向量是，则，取，则，即，因为，所以，所以平面DEA⊥平面ECA.例题3．（2023秋·广西玉林·高二统考期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，点在上，且．(1)求证：；(2)求与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）建立以点为坐标原点,所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，所以，即，所以.（2）由（1）知，则，因为与所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

【答案】证明见解析【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图

则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面与平面平行．