高中数学-数学归纳法教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析

知识与技能：

1、了解由归纳法得出的结论具有不确定性，理解数学归纳法的原理与本质；

2、掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；

3、培养学生观察、探究、分析、论证的能力，体会类比的数学思想.

过程与方法：

1、创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程；

2、通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生

严谨

的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法；

3、通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力.

情感、态度与价值观：

1、通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；

2、通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；

3、通过质疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神.

学情分析

高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力,此前刚学习过合情推理和基本的证

明方法.学生需要在教师的引导下进行再发现、再认识，所以这对学生的数学素养，学习能

力提出了较高的要求.本节课是在学生进行了预习后讲解的，所教班级学生基础比较好，能

力也比较强.

评测练习

1.下面的证明过程有没有错？

证明：2+4+6+・一+2〃=〃2+〃(ne.N")

证明：假设“=左时等式成立，即2+4+6+…+2左=公+左，那么当〃=左+1时，

2+4+6H—•+2k+2(左+1)=%~+左+2(%+1)=(左+1)一+攵+1

即〃=k+1时等式也成立.从而原命题成立.

2.证明：2+4+6-I---\-2n=n~+n(〃eN*)

证明：(1)当〃=1时，左边=2,右边=1+1=2,左边=右边，所以等式成立.

(2)假设〃=女(%21,46"*)时等式成立，即2+4+6+…+2左=二+左，那么当〃=攵+1

时，

2+4+6+…+2女+2(攵+1)=2(1+2+3+…+Z+Z+1)

=2小丁+1"+1)』+1

即〃=k+1时等式也成立.

根据(1)(2)可得，等式对所有的neN*都成立.

观评记录

一、教学目标

1、了解由归纳法得出的结论具有不确定性，理解数学归纳法的原理与本质；

2、掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；

3、培养学生观察、探究、分析、论证的能力，体会类比的数学思想.

二、教学重点和难点

重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些

与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题.

难点：(D学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，

不易根据归纳假设作出证明；(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问

题的递推关系.

三、教学过程

(-)创设问题情景

师：我们先来探究下面两个问题：

问题1：在数列｛q｝中，/=1,。,用=—%—(〃£N*),计算出，的，4的值并猜

1+4

想数列｛4｝的通项公式.

生：。2=—，。3=—，。4=一'猜想：=一

2■34n

师：很好.本题是观察数列｛4｝的前几项，归纳出一般的规律.我们再来探究一个问题：

问题2：法国数学家费马观察到

22'+1=5

22；+1=17

2"+1=257

2展+1=65537

都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如2'+1（〃eM）的数都是质数.半个世纪

后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数

月=2a+1=4294967297

不是质数，从而推翻了费马的猜想.

总结：通过前面两个例子，使我们进一步认识到用不完全归纳法得出的结论，因为只考

察了部分情况，结论不一定正确.对于不正确的情况，我们只需要举一个反例即可，但是正

确的情况我们就需要证明.对于问题1,我们会想到从n=5开始一个个往下验证.一般来说,

与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦.

特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，我们需要另辟蹊

径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立.这就是这节课我

们将要学习的《数学归纳法》.

【点评】教师通过教材前面学习过的具体例子引入，从学生解决过的最熟悉的问题入手,

虽然前面已经归纳得出该数列的通项公式，但能否证明对一切正整数都成立呢？这就在学生

思维上形成认知冲突，自然引起学生的探究欲望，从而很自然地引出了这节课的课题.

（二）设置问题，引导探究

师：我们先从多米诺骨牌游戏说起.（课件演示）

师：假若有无数个多米诺骨牌，如何保证能全部倒下？（课件演示）

生：（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

师：上面的同学说得很好.可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第％块倒

下时，相邻的第4+1块也倒下.这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒

下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

【点评】教师通过生活中的“多米诺骨牌效应”，让学生继续确认从有限能够递推到无

穷所需要的两个充分条件,让学生亲身经历数学科学方法的提炼过程,方法来源于数学实践,

也服务于生活，并得到了生活的验证.

师：大家能否类比多米诺骨牌原理，探究出证明与正整数有关的命题的方法（小组讨论

3分钟）.

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值/%eN*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设〃=上色之〃°,ZeN*））时命题成立，证明当〃=%+1时命题也成

立.

其中，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据.由〃。时命题成立=%+1

时命题成立=%+2时命题成立n……这样，只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从

〃。开始的所有正整数〃都成立.

上述证明方法叫做数学归纳法.

【点评】教师在这一环节中通过类比“多米诺骨牌效应”，提炼出数学归纳法的两个条

件，将前面提出的数学问题进行证明，是否可行，关键在于第二步这个命题是否成立，需要

证明它为真，这样才能保证一直能够递推下去.此时，教师恰时恰点的指导至关重要，这样

才能突破难点，浸润递推思想，让学生真正理解数学归纳法的本质.

师：现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明问题1中的猜想呢？

（三）方法尝试

（学生板书）

例1证明：（1）当”=1时，左边=1,右边=1,猜想成立.

（2）假设当“=%时猜想成立，即纥=L则当〃=Z+1时，

k

]_

%I1

k

即〃=%+1时猜想也成立.

师：用数学归纳法证明数学命题时，难点和关键都在第二步，而这一步主要在于合理运

用归纳假设，即以“n=k时命题成立”为条件，证明“〃=左+1时命题也成立”.这里容易

出现的错误是证明中不使用“n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+l代入命题，便断

言此命题成立，从而得出原命题成立的结论.

师：我再补充一点：完成第一步、第二步后，必须要下结论，其格式为：根据⑴⑵可知

猜想对任意〃eN*都成立.概括起来就是“两个步骤，一个结论.”注意：递推基础不可少，

归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

【点评】教师让学生试着对问题1中的猜想进行证明，从证明过程中归纳出数学归纳法

原理的形式化表达，并总结出注意事项，符合学生的认知规律，并突出了重点，突破了难点.

（四）数学归纳法的应用

下面请同学们用数学归纳法证明例2

例2用数学归纳法证明：I2+22+•.•+n2=/Z（/?+1）（2/,+1）（neN*）

6

本例主要由学生完成，教师适时作必要引导.

例3对于任意正整数〃，猜想并证明2"与n2的大小关系.

本例要求学生先猜想后证明，意在使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，并进一

步熟悉数学归纳法.教学中可先让学生思考1分钟，然后让学生在黑板上板书解题过程并找

一位同学进行点评,教师做最后的总结.通过这道题，我们可以看出初始值〃。不一定等于1,

其次，用数学归纳法证明与不等式有关的命题时，一定要有目标意识，再就是比较大小我们

经常采用作差法.

【点评】例1总结出数学归纳法证明过程中的注意事项后，例2趁热打铁，让学生进一

步强化步骤.例3是一个开放性的题目，对学生的思维提出了更进一步的要求，同时，例1

和例2是证明等式，例3是证明不等式，在证明的过程中，教师结合题目适时地点出了初始

值不一定是1和数学归纳法证题时的目标意识，通过具体题目点出加深了学生的印象.

四、课堂小结（师生共同完成）

重点：两个步骤、一个结论；

注意：递推基础不可少，

归纳假设要用到，

结论写明莫忘掉.

数学归纳法的基本思想：

在可靠的基础上利用命题本身具有传递性，运用“有限”的手段来解决“无限”的问

题.

数学归纳法的核心：

在验证命题〃=%正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑

的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,

实现了有限到无限的飞跃.

五、当堂检测

1.下面的证明过程有没有错？

证明：2+4+6H---\-2n-iv+n(〃wN')

证明：假设〃=%时等式成立，即2+4+6+…+2女=二+左，那么当〃=4+1时，

2+4+6+.—+2左+2(%+1)=%2+左+2(左+1)=(左+1)2+左+1

即〃=左+1时等式也成立.从而原命题成立.

生：缺少归纳奠基.

2.证明：2+4+6-I---i-2n=n2+n(〃eN*)

证明：(1)当”=1时，左边=2,右边=1+1=2,左边=右边，所以等式成立.

⑵假设〃=女色之1,女eN*)时等式成立，即2+4+6+・一+2左=/+左，那么当

〃=A+1时，

2+4+6+…+2A+2(Z+l)=2(l+2+3+―+Z+Z+l)

=2.空”业W+13+1

即〃=左+1时等式也成立.

根据(1)(2)可得，等式对所有的”eM都成立.

生：没有用上归纳假设.

【点评】教师选择学生熟悉的问题作为例题，容易激发学生的挑战欲望，让学生纠错，

既可以帮助学生熟练运用数学归纳法来解决问题，又可以检查学生对数学归纳法的理解程度,

特别是学生在解决问题的过程中容易出现各种各样的错误，此时教师恰好利用这些错误帮助

学生进一步深刻理解数学归纳法的本质.

六、课后作业

课本P96页

习题2.3A组1、2；B组1.

教材分析

《数学归纳法》是人民教育出版社普通高中课程标准试验教科书A版选修2-2第二章第

三节的内容，本节共两课时，这是第一课时，主要内容是数学归纳法的理解及简单应用.

1、数学归纳法在教材中的地位和作用

数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种重要证明方法,通过对数学归纳法的学习,

可对中学数学中的许多重要结论，如：等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式

定理等进行很好的证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础.

2、数学归纳法对思维发展的地位与作用

人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察一归纳一猜想一证明.猜想

的结论对不对，证明是尤为关键的.运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，

不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握.对数学归纳法原理的理解，

蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发

展起到了完善与推动的作用.

3、教学重点和难点

重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些

与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题.

难点：（D学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，

不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问

题的递推关系.

4、本节课可以采取探究式教学方法，也可以采用教师讲授式教学方法.

5、例题选取

本节课采用了课本中的例1,例2作为课后作业来完成.

教学设计

一、教学目标

1、了解由归纳法得出的结论具有不确定性，理解数学归纳法的原理与本质；

2、掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；

3、培养学生观察、探究、分析、论证的能力，体会类比的数学思想.

二、教学重点和难点

重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些

与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题.

难点：(D学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，

不易根据归纳假设作出证明；(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问

题的递推关系.

三、教学过程

(-)创设问题情景

师：我们先来探究下面两个问题：

问题1：在数列｛q｝中，/=1,。,用=—%—(〃£N*),计算出，的，4的值并猜

1+4

想数列｛叫的通项公式.

生：。2=—，。3=—，。4=一，猜想：=一

2■34n

师：很好.本题是观察数列｛4｝的前几项，归纳出一般的规律.我们再来探究一个问题：

问题2：法国数学家费马观察到

2,+1=5

2"+1=17

2少+1=257

2"+1=65537

都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如2*+1(〃eM)的数都是质数.半个世纪

后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数

月=2"+1=4294967297

不是质数，从而推翻了费马的猜想.

总结：通过前面两个例子，使我们进一步认识到用不完全归纳法得出的结论，因为只考

察了部分情况，结论不一定正确.对于不正确的情况，我们只需要举一个反例即可，但是正

确的情况我们就需要证明.对于问题1,我们会想到从n=5开始一个个往下验证.一般来说,

与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦.

特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，我们需要另辟蹊

径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立.这就是这节课我

们将要学习的《数学归纳法》.

（二）设置问题，引导探究

师：我们先从多米诺骨牌游戏说起.（课件演示）

师：假若有无数个多米诺骨牌，如何保证能全部倒下？（课件演示）

生：（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

师：上面的同学说得很好.可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒

下时，相邻的第4+1块也倒下.这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒

下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

师：大家能否类比多米诺骨牌原理，探究出证明与正整数有关的命题的方法（小组讨论

3分钟）.

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值/％eN*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设〃=乂42〃0，&6?7*））时命题成立，证明当〃=左+1时命题也成

立.

其中，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据.由〃。时命题成立=%+1

时命题成立=%+2时命题成立n……这样，只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从

〃。开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法叫做数学归纳法.

师：现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明问题1中的猜想呢？

（三）方法尝试

（学生板书）

例1证明：（1）当〃=1时，左边=1,右边=1,猜想成立.

（2）假设当〃=&时猜想成立，即为=L,则当〃=%+1时，

k

%I1

K1H---

k

即〃=&+1时猜想也成立.

师：用数学归纳法证明数学命题时，难点和关键都在第二步，而这一步主要在于合理运

用归纳假设，即以“n=k时命题成立”为条件，证明“〃=左+1时命题也成立”.这里容易

出现的错误是证明中不使用“n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+l代入命题，便断

言此命题成立，从而得出原命题成立的结论.

师：我再补充一点：完成第一步、第二步后，必须要下结论，其格式为：根据⑴⑵可知

猜想对任意〃eN*都成立.概括起来就是“两个步骤，一个结论.”注意：递推基础不可少，

归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

（四）数学归纳法的应用

下面请同学们用数学归纳法证明例2

例2用数学归纳法证明：I2+22+■.-+n2=++（ne7V*）

本例主要由学生完成，教师适时作必要引导.

例3对于任意正整数〃，猜想并证明2"与n2的大小关系.

本例要求学生先猜想后证明，意在使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，并进一

步熟悉数学归纳法.教学中可先让学生思考1分钟，然后让学生在黑板上板书解题过程并找

一位同学进行点评,教师做最后的总结.通过这道题,我们可以看出初始值小不一定等于1,

其次，用数学归纳法证明与不等式有关的命题时，一定要有目标意识，再就是比较大小我们

经常采用作差法.

四、课堂小结（师生共同完成）

重点：两个步骤、一个结论；

注意：递推基础不可少，

归纳假设要用到，

结论写明莫忘掉.

数学归纳法的基本思想：

在可靠的基础上利用命题本身具有传递性，运用“有限”的手段来解决“无限”的问

题.

数学归纳法的核心：

在验证命题n=%正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑

的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，

实现了有限到无限的飞跃.

五、当堂检测

1.下面的证明过程有没有错？

证明：2+4+64---\-2n=n2+n(nwN")

证明：假设〃=左时等式成立，即2+4+6+―+24=公+左，那么当〃=左+1时，

2+4+