2025版新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律课时作业新人教B版必修第三册

8.1.2向量数量积的运算律必备学问基础练进阶训练第一层1．已知|a|＝3，|b|＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－b3．设向量a，b满意|a|＝1，|a－b|＝eq\r(3)，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝()A．2B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)4．已知|a|＝4，|b|＝3，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb相互垂直，则k的值为()A．±eq\f(4,3)B．±eq\f(3,4)C．±eq\f(2\r(3),3)D．±eq\f(\r(3),2)5．在△ABC中，若BC＝8，BC边上中线长为3，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．－7B．7C．－28D．286．已知向量a，b，c满意：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a.(1)求向量a与b的夹角；(2)求|3a＋b|.关键实力综合练进阶训练其次层7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\r(3)，则|eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))|(λ∈R)的最小值是()A．eq\f(3,2)B．eq\r(3)C．eq\f(3\r(3),2)D．2eq\r(3)8．已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(32,9)B．－eq\f(10,9)C．－eq\f(16,9)D．49．(多选)下列各式肯定正确的有()A．0·a＝0B．a·b＝b·aC．(a·b)2＝a2·b2D．(a·b)c＝a(b·c)10．(多选)对于随意向量a，b，c，下列命题中不正确的是()A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π)C．若a⊥b，则a·b＝0D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b·c))a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c·a))b))·c＝011．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是()A．|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))B．|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))C．|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D．|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\f(（\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))）×（\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))）,|\o(AB,\s\up6(→))|2)12．已知a是平面内的单位向量，若向量b满意b·(a－b)＝0，则|b|的最小值为________，最大值为________．13．已知向量a，b，c满意a－b＋2c＝0，且a⊥c，|a|＝2，|c|＝1，求|b|.14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，则AB的长为________．核心素养升级练进阶训练第三层15.已知平面对量a，b满意|a|＝eq\r(2)，|b|＝1.(1)若|a－b|＝2，试求a与b夹角的余弦值；(2)若对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，求a与b的夹角．8．1.2向量数量积的运算律必备学问基础练1．答案：C解析：(a＋b)·(a＋3b)＝a2＋4a·b＋3b2＝33＝|a|2＋4×|a||b|cosθ＋3|b|2＝33＝9＋4×3×4cosθ＋48＝33，解得cosθ＝－eq\f(1,2)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3).2．答案：D解析：要推断A、B、C、D四个选项中的向量哪个与b垂直，只需推断这四个向量哪个与b的数量积为零即可．A．(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝|a||b|cos60°＋2|b|2＝1×1×cos60°＋2×12＝eq\f(5,2)≠0.B．(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos60°＋|b|2＝2×1×1×cos60°＋12＝2≠0.C．(a－2b)·b＝a·b－2b2＝|a||b|cos60°－2|b|2＝1×1×cos60°－2×12＝－eq\f(3,2)≠0.D．(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0.故选D.3．答案：B解析：由a·(a－b)＝0及|a|＝1，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝eq\r(3)，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4，所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2eq\r(3).4．答案：A解析：由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝0，即|a|2＝k2|b|2，所以9k2＝16，k2＝eq\f(16,9)，k＝±eq\f(4,3)，故选A.5．答案：A解析：在△ABC中，设BC的中点为D，则＝－.由题意知||＝4，||＝3，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝9－16＝－7.6．解析：(1)因为|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，所以c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，即1＋1×2×cos〈a，b〉＝0，即cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2).因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(2π,3).(2)|3a＋b|＝eq\r(（3a＋b）2)＝eq\r(9a2＋6a·b＋b2)＝eq\r(9＋6×（－1）＋22)＝eq\r(7).关键实力综合练7．答案：A解析：因为AB＝2，AC＝3，且·＝－3eq\r(3)，所以|－λ|2＝2－2λ·＋λ22＝9＋6eq\r(3)λ＋4λ2＝4(λ＋eq\f(3\r(3),4))2＋eq\f(9,4)，当λ＝－eq\f(3\r(3),4)时，|－λ|2取得最小值为eq\f(9,4)，则|－λ|取得最小值为eq\f(3,2).8．答案：C解析：由题意可知，＝－，＝－，∴·＝(－)(－)＝·－(＋)·＋2＝0－2·＋2，∵＝2，∴＝eq\f(2,3)，由D点是斜边AB的中点，可知CD＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，∴·＝－2·eq\f(2,3)＋eq\f(4,9)2＝－eq\f(8,9)2＝－eq\f(16,9).故选C.9．答案：AB解析：A明显正确；易得B正确；设a，b的夹角为α(a·b)2＝(|a||b|cosα)2＝|a|2|b|2cos2α，a2·b2＝|a|2·|b|2，则C不肯定正确；令a·b＝λ，b·c＝μ(a·b)c＝λc，a(b·c)＝μa知D不肯定正确．故选AB.10．答案：AB解析：A：当a与b中都不是0，a⊥b时，也能得到a·b＝0，所以本命题不正确；B：当两个平面对量反向平行时，它们的夹角为π，所以本命题不正确；C：因为a⊥b，所以有a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))·coseq\f(π,2)＝0，所以本命题正确；D：[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以本命题正确，故选AB.11．答案：ABD解析：·＝||||cosA＝||·||＝||2，故A项正确；·＝||||cosB＝||2，故B项正确；由·＝||||·cos(π－∠ACD)<0，又||2>0，故C项错误；因为△ABC为直角三角形，CD是斜边AB上的高，所以|AC||BC|＝|AB||CD|，由A项，B项可得||2＝，故D项正确，故选ABD.12．答案：01解析：设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cosθ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ，∴0≤|b|≤1.所以|b|的最小值为0，最大值为1.13．解析：∵a－b＋2c＝0，∴b＝a＋2c，∴b2＝a2＋4c2＋4a·c＝8，∴|b|＝2eq\r(2).14．答案：eq\f(1,2)解析：因为E为CD的中点，所以＝＋＝－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)，＝＋，因为·＝1，所以·＝(＋)·(－eq\f(1,2))＝2－eq\f(1,2)2＋eq\f(1,2)·＝1，即1－eq\f(1,2)2＋eq\f(1,2)||cos60°＝1，所以－eq\f(1,2)2＋eq\f(1,4)||＝0，解得||＝eq\f(1,2).核心素养升级练15．解析：(1)因为|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，|a－b|＝2，所以|a－b|2＝4，即2－2a·b＋1＝4，所以a·b＝－eq\f(1,2).设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(1,2),\r(2)×1)＝－e