解三角形与三角形全等：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（解析版）

专题13解三角形与三角形全等

五年中考真题

考点1解三角形与三角形全等

一、单选题

1.（2020•广西贺州•统考中考真题）如图，将两个完全相同的和RSAC屈拼在一起，其中点A与

点8重合，点。在边AB上，连接夕C,若/ABC=N4夕C=30。，AC=4C=2,则夕C的长为（）

A.2不B.4疗C.2&D.46

【答案】A

【分析】先根据直角三角形的性质可得A8=4,AQ=4,NBWC'=6O。，再根据勾股定理和角的和差可得

BC=2底NB，BC=90°,最后在RfB'BC中，利用勾股定理即可得.

【详解】解：,/ZACB=ZA'C'B'=90°,ZABC=ZA'B'C'=30°,AC=AC'=2,

AB=4,A'B'=4,ZB'A'C=60°,

ABC=y）AB2-AC2=2>/3，/&BC=ZABC+AffA'C=90°,

则在放B'BC中,B'C=-JBC2+B'B2=7（2^）2+42=2y/l>

故选：A.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角

形的性质是解题关键.

2.（2020・广西贵港•中考真题）如图，点E,F在菱形438的对角线AC上，ZADC=120°,

NBEC=NCBF=50°,与8尸的延长线交于点M.则对于以下结论：①N8ME=30。；②

ADE^ABE；®EM=BC-,④AE+BM=QEM.其中正确结论的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】先由菱形的性质得AD=AB=BC=CD,ZBAD=ZBCD=60°,ZDAE=ZBAE,ZDCE=Z

BCE=30。，再由三角形的外角性质得NBFE=80。，则/EBF=50。，然后证z\CDE丝ACBE(SAS),得N

DEC=/BEC=50。，进而得出①正确；由SAS证aADE丝Z\ABE,得②正确；证出^BEM丝Z\EBC

(AAS),得BM=EC,EM=BC,③正确；连接BD交AC于O,由菱形的性质得ACJ_BD,再由直角三

角形的性质得OD=；CD=；BC,OC=GOD,贝lJOC=2^BC,进而得出④正确即可.

【详解】解：•••四边形ABD是菱形，NADC=120。，

；.AD=AB=BC=CD,ZBAD=ZBCD=60°,NDAE=NBAE,ZDCE=ZBCE=yZBCD=30°,

,/ZBFE=ZBCE+ZCBF=300+50°=80°,

NEBF=180°-ZBEC-NBFE=180°-50°-880°=50°,

CD=CB

在ACDE和ACBE中,NDCE=NBCE,

CE=CE

/.△CDE^ACBE(SAS),

.,.ZDEC=ZBEC=50°,

.•./BEM=/DEC+NBEC=100°,

/BME=180°-NBEM-NEBF=180°-100°-50°=30°,故①正确;

AD=AB

在AADE和AABE中，NDAE=NBAE,

AE=AE

.,.△ADE^AABE(SAS),故②正确；

,ZZEBC=ZEBF+ZCBF=100°,

.".ZBEM=ZEBC,

NBEM=NEBC

在ABEM和ZiEBC中，NBME=NECB=30。,

BE=EB

.,.△BEM^AEBC(AAS),

.\BM=EC,EM=BC,故③正确：

连接BD交AC于O,如图所示：

•..四边形ABCD是菱形，

.\OA=OC,AC±BD,

NDCO=30。，

.,.OD=^CD=yBC,OC=V3OD,

.•.OC=9BC,

2

；.AC=2OC=GBC,

VBM=EC,EM=BC,

；.AE+BM=AE+EC=AC=GBC=GEM,故④正确，

正确结论的个数是4个，

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的

性质，证明三角形全等是解题的关键.

3.（2020.广西贵港.中考真题）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且P是CO边上

的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+BM的最小值为（）

A.Vio-lB.V2+1c.MD.5/5+1

【答案】A

【分析】作点E关于DC的对称点E，，设AB的中点为点O,连接OEL交DC于点P,连接PE,由轴对

称的性质及90。的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE，的值减去以AB为直径的圆

的半径OM,根据正方形的性质及勾股定理计算即可.

【详解】解答：解：作点E关于DC的对称点已，设AB的中点为点O,连接OE，，交DC于点P,连接

PE,如图:

•.•动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AMLBM,

...点M在以AB为直径的圆上，OM=3AB=1,

•.•正方形ABCD的边长为2,

；.AD=AB=2,ZDAB=90°,

是AD的中点，

.\DE=yAD=1x2=l,

•••点E与点H关于DC对称，

；.DE，=DE=1,PE=PE;

.,.AE'=AD+DE'=2+1=3,

在RtAAOE，中，OE'=〃b+a="+代=加,

线段PE+PM的最小值为:

PE+PM

=PE，+PM

=ME'

=OE'-OM

=Vio-i.

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数

形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

4.(2023年安徽中考数学真题)如图，点E在正方形的对角线4c上，瓦'_L43于点尸，连接QE

并延长，交边BC于点M,交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=()

C.x/5+lD.9

【答案】B

DFAFADDF

【分析】根据平行线分线段成比例得出生=芸=2,根据得出鉴_=为=2,则

EMFBCMEM

133

CM=-AD=^进而可得=根据得出GMBsGDA,根据相似三角形的性质得出

8G=3,进而在RtZ^BGM中，勾股定理即可求解.

【详解】解：：四边形A8CO是正方形，AF=2,FB=1,

AAD=BC=AB=AF-bFG=2+l=3fAD//CB,AD1AB,CB1ABf

,:EFA.AB,

：.AD//EF//BC

DEAF一

・・.——=—=2,AADESACME,

EMFB

.AD=DE=2

13

则CM=—AD=2，

22

3

Z.MB=3—CM=—

2

■:BC//AD,

:・GMBsGDA,

3

.・.BGMB&_1

AG-DA-7-2

:.BG=AB=3,

在RtABGM中,MG=\lMB2+BG2=^|^+32=孚，

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌

握以上知识是解题的关键.

5.（2023年安徽中考数学真题）如图，E是线段A8上一点，VADE和是位于直线同侧的两个等

边三角形，点尸/分别是CZ）,43的中点.若9=4,则下列结论第送的是（）

A.F4+P3的最小值为34B.PE+P尸的最小值为

C.CDE周长的最小值为6D.四边形ABCO面积的最小值为36

【答案】A

【分析】延长A。，BC,则48Q是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与尸重合时,

则。，尸，尸三点共线，各项都取得最小值，得出B,C,D选项正确，即可求解.

【详解】解：如图所示，

延长A£),8C,

依题意⑷。=/QBA=60°

.•.-A3。是等边三角形,

•.•尸是C。的中点，

PD=PC,

"：ZDEA=ZCBA,

：.ED//CQ

：.APQC=NPED/PCQ=NPDE,

:rPDEAPCQ

：.PQ=PE,

四边形DEC。是平行四边形，

则P为E0的中点

如图所示，

设AQBQ的中点分别为G,〃，

22

.•.当E点在A8上运动时，P在G”上运动,

当E点与尸重合时，即AE=£B,

则。，尸，尸三点共线，2/取得最小值，此时AE=EB=g（AE+EB）=2,

则△A£>E^Z\ECE,

C,。到AB的距离相等，

则C£>〃AB,

此时/>尸=349=百

2

此时V45E和4CE的边长都为2,则ARPB最小，

PF=2x2=6,

2

/.PA+PB=2近,

或者如图所示，作点B关于67/对称点3',则PB=P8,则当AP,3'三点共线时，AP+PB=AB'

此时AB'=\lAB2+BB'="+(2商=2疗

故A选项错误，

根据题意可得P.Q,尸三点共线时，尸尸最小，此时PE=PR=JL则PE+PF=26,故B选项正确:

COE周长等于CD+£>£+CE=C£>+AE+EB=CD+43=8+4,

即当CQ最小时，CDE周长最小，

如图所示，作平行四边形GDM",连接CM,

NGHQ=60°,ZGHM=NGDM=60°,则2cHM=120°

如图，延长DE,"；,交于点N,

则/NG。=NQGH=60。，ZA©G=ZA£>E=60°

△NG。是等边三角形，

ND=GD=HM,

在：NPD与4Hpe中,

ZNPD=ZHPC

■NN=NCHP=60°

PD=PC

：.NPD^HPC

・•・ND=CH

：.CH=MH

：./HCM=/HMC=30°

：.CM//QF9则CMJLZW,

・•・OMC是直角三角形，

在△DOW中，DC>DM

当。C=ZW时，DC最短，DC=GH=-AB=2

2

CD=PC+2PC

CDE周长的最小值为2+2+2=6,故C选项正确；

■:一NPg_HPC

**•四边形A3C7）面积等于SADE+SEBC+SDEC=SADE+S平行四边川芯8〃

・•・当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，2G重合，C,"重合

...四边形ABC。面积的最小值为3x3x22=36，故D选项正确，

4

故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当

E点与尸重合时得出最小值是解题的关键.

二、填空题

6.（2019•江苏南通•统考中考真题）如图，ZkABC中，AB=BC,ZABC=90°,F为AB延长线上一点，点E

在BC上，且AE=CF,若NBAE=25。，则NACF=度.

【分析】先利用HL证明4ABE丝Z\CBF,可证/BCF=NBAE=25。，即可求出NACF=45o+25o=70。.

【详解】VZABC=90°,AB=AC,

AZCBF=180°-ZABC=90°,ZACB=45°,

在RtAABE和RtACBF中，

[AB=CB

[AE=CF'

RtAABE^RtACBF(HL),

/BCF=NBAE=25°,

/ACF=NACB+NBCF=450+25°=70°,

故答案为70.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性

质是解题的关键.

7.(2021.四川甘孜•统考中考真题)如图，腰长为20+2的等腰ABC中，顶角/4=45。，。为腰AB上

的一个动点，将ACC沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与ABC的某一条腰垂直时，8。的长

为.

【答案】应或2虚

【分析】分两种情况：当CE_LAB时，设垂足为M,在放中，N4=45。，由折叠得：ZACZ)=Z

DCE=22.5°,证明ABCM丝△OCM,得到证明AMDE是等腰直角三角形，即可得解；当

AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质计算即可；

【详解】当CELA8时，如图,

设垂足为M，在RdAMC中，NA=45。,

由折叠得：ZACD=ZDCE=22.5°,

•.•等腰AABC中，顶角乙4=45。，

；./B=NACB=67.5。，

：.ZBCM=22.5°,

：.ZBCM=NDCM,

在ABCM和△OCM中，

ZBMC=ZDMC=90°

■CM=CM,

[NBCM=2DCM

：./\BCM^/\DCM(ASA),

：.BM=DM,

由折叠得：ZE=ZA=45°,AD=DE,

/.△MOE是等腰直角三角形，

:.DM=EM,

设。M=x,则BM=x,DE=y/2x,

••AD-x.

；AB=2忘+2,

：.2x+五x=2五+2,解得：x=y/2>

:.BD=2X=26_；

当CE_LAC时，如图，

A

由折叠得：NAC£>=/£>CE=45。，

•.•等腰AABC中，顶角乙4=45。，

；./E=/A=45°,AD^DE,

.•./AQC=ZECC=90。，即点。、E都在直线A8上，且AAOC、4DEC、AACE都是等腰直角三角形，

AB=AC——2y/2+2,

.♦.AQ=2±AC=2+&,

2

8Q=AB-AZ）=（272+2）-（2+&）=正，

综上，8。的长为正或2立.

故答案为：丘或2丘.

【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，注重分类

讨论思想的运用是解题的关键.

8.（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子

上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末

端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆A3=6米，AO:OB=2:1,支架

OMYEF,OM=3米，AB可以绕着点。自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时NA0W=45。，此时点

3到水平地面E尸的距离为米.（结果保留根号）

【答案】（3+何/（夜+3）

【分析】过点8作比）_LEF于点。，过点A作AC上8。交8D于点C,交。”于点N,易得四边形

MDCN为矩形,分别解Rt_ANO,RtAACB,求出0N,8C,C。的长，利用8D=3C+8进行求解即可.

【详解】解：过点B作8£）_L防于点。，过点A作AC，交8。于点C,交0M于点、N,

0M1EF,

：.OM〃BC,

：.ANLOM,

四边形M0CV为矩形，

MN=CD,

•：AB=6,AO:OB=2:1,

AO=-AB=4,

3

在RtAVO中，AO=4,ZAOM=45°,

：.ON=OA♦cos45°=4x也=2&；

2

/.CD=MN=OM-ON=3-2应，

在RtZXACB中，AB=6,ZAOM=45°,

：.8C=AB-cos45°=6x—=3>/2；

2

8D=2C+8=30+3-2夜=3+夜（米）；

故答案为：3+血.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定.解题的关键是添加辅助线，构造直角三

角形.

9.（2023年河南省中考数学真题）如图，R4与：。相切于点A,PO交,：。于点8,点C在丛上，且

CB=CA.若。4=5,PA=\2,则C4的长为.

【答案】y

【分析】连接。C,证明..a4C%O8C,设C8=C4=x,则PC="一6=12—x,再证明

PAO^PBC,列出比例式计算即可.

【详解】如图，连接OC,

•.•弘与。相切于点A,

/a4c=90°；

OA=OB

<CA=CB,

oc=oc

OA.C=：,\OBC,

ZOAC=ZOBC=90°,

NPAO=NPBC=900,

ZP=ZP,

PAO^PBC,

POAO

~PC~~BC"

OA=5,PA=12,

尸0=6+12?=13,

设C3=C4=x,^iPC=PA-CA=12-xf

.135

..----=一,

12-xx

解得x=T，

故C4的长为与，

故答案为：~.

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练

掌握性质是解题的关键.

三、解答题

10.（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，在中，ZA=3O°,IB90?.

（1）在斜边4c上求作线段A。，使AO=3C,连接。B；

（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)若08=2,求AB的长.

【答案】（1）图见详解

(2)AB=2X/3

【分析】（1）以A为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点。，则问题可求解；

（2）根据含30度直角三角形的性质可得AC=23C,则有OC=AO,进而问题可求解.

【详解】（1）解：所作线段A。如图所示：

AC=2BC,

"：AO=BC,

AC=2AO,

：.OC=AO,即点。为AC的中点，

OB=2,

：.AC=2OB=4,

：.BC=2,

,AB=4AC2-OB1=2>/3•

【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30

度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键.

II.（2022・贵州安顺・统考中考真题）如图，在RtABC中，ZBAC=90°,AB=AC=\,。是BC边上的一

点，以AO为直角边作等腰心△AQE,其中—Z）AE=90。，连接CE.

（1）求证：虑/XACE；

⑵若N8AD=22.5。时，求8。的长.

【答案】⑴见解析

⑵3-1

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得ND4E=90O,A£>=AE,进而证明/B4D=NC4£,即可根

据SAS证明恒△AC£；

（2）勾股定理求得BC=正根据已知条件证明△ADC是等腰三角形可得AC=DC,进而根据

80=8C—8即可求解.

【详解】（1）证明：VADE是等腰直角三角形，

/.ZDAE=90°,AD=AE,

ABAC^90°,

ABAD=90°-ZDAC=ZCAE,

在△钳£＞与△ACE中

AB=AC

-ABAD=NCAE；

AD=AE

^ABD^^ACE,

(2)在RtABC中，NS4c=90。，AB=AC=l,

:.BC=ylAC2+AB2

NBAC=90°,NBAD=22.5°,

ZDAC=90°-/BAD=67.5°,

AB^AC,

r.ZAC£)=g(180°-90。)=45°,

ZADC=180°-ZACD-ZDAC=67.5,

ZADC=ZACD,

AC=DC=\,

:.BD=BC-DC=y/2~].

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的

性质与判定是解题的关键.

12.(2022•辽宁丹东•统考中考真题)如图，我国某海域有A,B,C三个港口，B港口在C港口正西方向

33.2nmile(nmile是单位“海里”的符号)处，A港口在8港口北偏西50。方向且距离B港口40nmile处，在

A港口北偏东53。方向且位于C港口正北方向的点。处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离.(参考数

据：sin50°~0.77,cos50yo.64,tan500~1.19,sin53°=0.80,cos530~0.60,tan530~1.33.)

【答案】货船与4港口之间的距离约为80海里

【分析】过点A作AELCO,垂足为E,过点B作垂足为凡根据题意得：EF=8C=33.2海里,

AG//DC,从而可得/AOC=53。，然后在MAAEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出

AE的长，最后在RdAOE中，利用锐角三角函数的定义求出A。的长，进行计算即可解答.

【详解】解：过点A作AELCD,垂足为E,过点B作B/LAE,垂足为F,

由题意得：

EF=BC=33.2海里,AG//DC,

：.ZGAD=ZADC=53°,

在&"BF中，ZABF=50°,AB=40海里，

.\AF=AB«sin50°=40x0.77=30.8（海里），

：.AE^AF+EF=M（海里），

AP64

在RfAAOE中，AD=------=—=80（海里），

sin53°0.8

货船与A港口之间的距离约为80海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

13.（2023年河南省中考数学真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪

ABC。为正方形，A8=30cm,顶点A处挂了一个铅锤如图是测量树高的示意图，测高仪上的点。，

A与树顶E在一条直线上，铅垂线40交8c于点从经测量，点A距地面1.8m,到树EG的距离

AF=llm,8〃=20cm.求树EG的高度（结果精确到0.1m）.

【答案】树EG的高度为9.1m

【分析】由题意可知，ZBAE=ZMAF=ZBAD=90°,FG=1.8m,易知NE4F=Na4//,可得

FF977

tanZE4F=—=tanZ^AH=-,进而求得斯二'm,利用EG=M+AG即可求解.

AF33

【详解】解：由题意可知，ZBAE=ZMAF=ZBAD=90°,FG=1.8m,

则NE4F+NB4F=NB4F+ZB4H=90°,

/.ZEAF=NBAH,

\*AB=30cm,BH=20cm,

RH9

贝Ijtan/B4H=——=-,

AB3

EF2

JtanZEAF=——=tanZBAH=-

AF3f

AF=1Im,则不=1,

/.EG=EF+FG=--F1.8~9.1m,

答：树EG的高度为9.1m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到/E4/=是解决问题的关键.

14.（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，AB^AC,CD上AB,BEVAC,垂足分别为O,E.

⑴求证：ABE=i,ACD

（2）若AE=6,8=8,求8。的长.

【答案】⑴见解析

⑵乩＞=4

【分析】⑴利用“AAS”可证明：ABEgACD：

（2）先利用全等三角形的性质得到AO=4E=6,再利用勾股定理计算出AC,从而得到4B的长，然后

计算他-4）即可.

【详解】（1）证明：CDLAB,BELAC,

ZAEB=ZADC=90°,

在4AB石和.ACD中,

\ZAEB=ZADC

\ZBAE=ZCAD,

|AB=AC

/.ABE^ACD(AAS)；

(2)解：,ABE^ACD.

AD=AE=6,

在RtACD中，AC=y/Alf+Cb2=A/62+82=10>

AB=AC=10,

:.BD=AB-AD=10-6=4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角

相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

15.(2023年广东省中考数学真题)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天

员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂

AC=BC=10m,两臂夹角NACB=100。时，求A,8两点间的距离.(结果精确到0.1m,参考数据

sin5O°®0.766,cos50°«0.643,tan500=1.192)

A

【答案】15.3m

【分析】连接AB,作作于。，由等腰三角形“三线合一''性质可知，AB=2AD,

1An

ZACD=-ZACB=50°,在RtZ\AC3中利用sinNACO=——求出AO,继而求出AB即可.

2AC

【详解】解：连接A8,作CDLAB于£>,

VAC^BC,CDVAB,

C£>是边AB边上的中线，也是NAC3的角平分线,

/.AB=2AD,ZACD=-ZACB=50°

2f

AF）

在RtZkACD中，AC=10m,ZACD=50°,sinZAC£>=—

AC

：.sin50°=—,

10

A£>=1Osin50°®10x0.766=7.66

AB=2AD«2x7.66=15.32«15.3（m）

答：A,8两点间的距离为15.3m.

【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

16.（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，ABC是边长为4的等边三角形，点。，E,F分别在

边A8,BC,C4上运动，满足AD=3E=CF.

（1）求证：..ADF^BED；

（2）设AO的长为x,的面积为y,求y关于x的函数解析式：

（3）结合（2）所得的函数，描述_£）所的面积随AO的增大如何变化.

【答案】（1）见详解

（2）y=—x2-3y/3x+4y/3

4

（3）当2<x<4时，/>£尸的面积随AZ）的增大而增大，当0<x<2时，_DE/的面积随AD的增大而减小

【分析】（1）由题意易得=Z4=N8=60。，然后根据“SAS”可进行求证;

（2）分别过点C、F作FG±AB,垂足分别为点”、G,根据题意可得SA跋=46,

AF=4-x,然后可得FG=*（4-X）,由（1）易得aADF，,BED^、CFE,则有

SADF=SBED=SCFE=¥■尤（4-X），进而问题可求解；

（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解.

【详解】（1）证明：：ABC是边长为4的等边三角形,

ZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=4,

•:AD=BE=CF,

:.AF=BD=CE,

在尸和一8£D中,

AF=BD

<NA=N8,

AD=BE

：..ADF^B£D（SAS）；

(2)解：分别过点C、尸作FG1AB,垂足分别为点”、G,如图所示:

在等边-ABC中，ZA=ZB=ZACB=60°,AB=BC=AC=49

ACH=AC-sin60°=2V3,

：.SABC=^AB-CH=4y/3f

设AO的长为x,贝ijAZ）=RE=CF=x,AF=4-x,

/.FG=AF-sin60°=^-（4-x）,

SADF=^ADFG=~^~X（4~X）9

同理（1）可知ADF^,BED^CFE,

SADF=SBED-SCFE=¥"（4一x），

二£>£/的面积为y,

y=SMe-3s-4>/5--^―x（4-x）—x2—3>/3x+；

（3）解：由（2）可知：y=¥x2-3&+4G，

：3里>0,对称轴为直线*=―—访二？，

42x壬

4

...当x>2时，y随x的增大而增大，当x<2时，y随x的增大而减小；

即当2Vx<4时，一£>EF的面积随AD的增大而增大，当0<x<2时，_£>£尸的面积随AD的增大而减小.

【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二

次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键.

17.（2019•江苏南通・统考中考真题）如图，有一池塘，要测池塘两端A,8的距离，可先在平地上取一个

点C从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点。，使CD=6.连接BC并延长到

点、E,使CE=CB.连接。E,那么量出。E的长就是A,8的距离.为什么？

【答案】见解析

【分析】利用“边角边”证明AABC和ADEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答.

【详解】解：量出。E的长就等于A3的长，理由如下：

BC=CE

在.ABC和£>EC中，,NACB=NDCE,

CA=CD

ABCDEC（SAS）,

AB=DE.

【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

18.（2020・广西贵港•中考真题）如图，在ABC中，AB=4C,点。在8c边上，且。是

ACD的外接圆，AE是：。的直径.

（1）求证：AB是。的切线：

（2）若48=26，AD=3,求直径AE的长.

A

【答案】（1）见解析；（2）36

【分析】（1）连接。E,直径所对的圆周角是直角可得/ADE=90。，继而根据已知条件和等边对等角的性

质及等角代换可得：ZBAD=ZE=ZC,进而可得284）=90。，再根据切线的判定即可求证结

论；

（2）作垂足为H,易证AABCS/^DBA,继而根据相似三角形的性质可得：AB2=BC，

进而可求BC=8,由勾股定理可得AH,然后根据相似三角形的判定及其性质可得RtAAE4RQABH,

APAH

,代入数据即可求解•

ABAH

【详解】（1）证明：如图，连接OE,

•:4E是。的直径，

・・・ZADE=90°,

・・・ZZME+ZE=90°,

VAB=AC,AD=BD,

:./B=NC=/BAD,

又/E=/C,

，NBAD=NE=NC,

AZZME+ZBAD=90°,即

JAB是。的切线.

（2）解：如图，作垂足为“，

,:AB=ACf

：.BH=CH,

,:NB=NC=2NBAD,

AAABC^ADBA

.ABBC）

・・\=F，则niI432=3O5C，

又AB=2x/6，BD=AD=3,

，BC=8,

在RtAB”中，BH=CH=4,

由勾股定理求得：AH=2日

•；ZE=ZB,

RtZ^AED^RtZ^ABH,

.AEAD

•.----=-----，

ABAH

.”此竺=卒7

AH2V2

【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，圆周角定理，

解题的关键是熟练掌握所学知识并正确作辅助线构造三角形.

19.（2022•山东荷泽・统考中考真题）荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡

角由原来的37。减至30。，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为A。，点B延伸至点力，

求8。的长.（结果精确到0.1米.参考数据：sin37°«0.60,cos370®0.80,tan37°®0,75,^1.73）

【答案】约为1.9米

【分析】根据正弦的定义求出AC,根据余弦的定义求出8C,根据正切的定义求出C£>,结合图形计算,

得到答案.

【详解】解：在R3ABC中，48=8米，/48C=37。，

则AC=A*sin/4B08x0.60=4.8（米），

8c=A»cosNAB08x0.80=6.40（米），

在RfZkAOC中，ZADC=30°,

AC4,8_4.8

贝ijCD=tanZADC-tan30°-近/30（米），

T

Z.BD=CD-BC=S.30-6A0~1.9（米），

答：BO的长约为1.9米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

20.（2023年江西省中考数学真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的

示意图，已知点8,A,D,E均在同一直线上，AB=AC=AD,测得

ZB=55°,3c=1.8m,DE=2m.（结果保小数点后一位）

（1）连接C。，求证：DCIBCi

（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）.

（参考数据：sin55°«0.82,cos55°®0.57,tan55°=1.43）

【答案】⑴见解析

（2）雕塑的高约为4.2米

【分析】（1）根据等边对等角得出4=NAC及448=ZAOC,根据三角形内角和定理得出

2（ZB+ZADC）=180°,进而得出N88=90。，即可得证；

（2）过点E作所18C,交8c的延长线于点尸，在Rt8OC中，得出AD=-^=",则

8sBcos55

1Q

BE=AD+DE=2+---,在/中，根据£F=8E.sin8,即可求解.

cos55°

【详解】（1）解：・・・48=AC=A。，

.・.ZB=/ACB,ZACD=ZADC

■:ZB+ZADC+/BCD=180°

即2（N3+NADC）=180。

JZB+ZADC=90°

即ZBCD=90°

:.DCIBC；

(2)如图所示，过点E作EFJLBC,交8c的延长线于点产，

在Rt8OC中，ZB=55°,BC=1.8m,DE=2m

Be

cosB------,

AD

小。=空1.8

cosBcos55°

1Q

・•・BE=AD+DE=2+—■—

cos55°

EF

在Rt△旗/中，sin^=—

BE

：.EF=BEsmB

=(2+-L8-工sin55。

Icos55°J

=4.2(米).

答：雕塑的高约为4.2米.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角

函数的定义是解题的关键.

21.(2023年河南省中考数学真题)如图，.至C中，点。在边AC上，且=

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出-A的平分线(保留作图痕迹，不写作法).

(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点£,连接OE.求证：DE=BE.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)利用角平分线的作图步骤作图即可；

(2)证明△8AE四△/ME(SAS),即可得到结论.

【详解】(1)解：如图所示，即为所求，

(2)证明：YAE平分NA4C,

ZBAE=NDAE,

VAB=AD,AE=AE,

：.AR4E^ADA£(SAS),

DE=BE.

【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等

三角形的判定是解题的关键.

22.(2023年湖南省长沙市中考数学真题)2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉

卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的

过程中，飞船从地面。处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km,仰

角为30。；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45。.

口

(1)求点A离地面的高度AO；

(2)求飞船从A处到8处的平均速度.(结果精确到O.Ikm/s,参考数据：G=L73)

【答案】⑴4km

⑵飞船从A处到B处的平均速度约为0.3km/s

【分析】(1)根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论；

(2)在RlAOC中，根据直角三角形的性质得到OC=迫AC=4/(km),在RtBOC中，根据等腰直

角三角形的性质得到OB=OC=46km,于是得到结论.

【详解】(1)解：在RtAOC中，•ZAOC=90°,ZACO=30°,AC=8km,

AO=；AC」x8=4(km),

(2)在RtAOC中，,ZAOC=9Q°,N4CO=30。，AC=8km,

...OC=*AC=4G(km),

在Rt30c中，N5OC=90°,ZBCO=45°,

.,./8CO=/OBC=45°,

/.OB=OC=4y/3km,

/.AB=OB-OA=(4y/3-4)km,

,飞船从A处到8处的平均速度=综於«0.3(km/s).

【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键.

23.(2019•江苏南通•统考中考真题)如图，在Rt/kABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=1,以边AC上一

点O为圆心，OA为半径的。。经过点B.

⑴求。。的半径；

(2)点P为4B中点，作PQLAC,垂足为Q,求OQ的长；

(3)在(2)的条件下，连接PC,求tanNPCA的值.

【答案】(1)。0的半径为毡；(2)OQ=—；⑶tanNPCA=走.

332

【分析】(1)若连接OB,则ABCO是一个含30。角的直角三角形，AAOB是底角为30。的等腰三角形，可得

ZOBC=30°,再根据特殊角的三角函数值求得OB；

(2)连接OP,设AB与QP交于点M,根据题中条件证得NQPO=NA=30。，再根据特殊角的三角函数值求

得OQ；

(3)可在RMPCQ中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tanNPCA的值.

【详解】(1)连接OB,如图

VOA=OB,

.\ZABO=ZA=30°,

VZACB=90°,ZA=30°,

.・・ZABC=60°,

.\ZOBC=30°,

在RtzkOBC中，cosNOBC=—,

OB

即cos30°=—,

OB

解得。8=亚，

3

即(DO的半径为亚；

3

⑵连接OP,设AB与QP交于点M,

•・•点P为A8的中点，

.\OP±AB,

.,.ZQPO+ZPMB=90°,

VPQ±AC,

.•.ZA+ZAMQ=90°,

又・・・/AMQtNPMB,

/.ZQPO=ZA=30°,

在RSOPQ中，sinNQPO=器，

sin30°=华^

即至,

.2>/316

••OO=---x-=—

323

⑶在Rt/iOBC中,

•/OB=—,ZOBC=30°,ZACB=90°

3

，OC=O8xWn30?—,

3

CQ=CO+OQ=竽,

【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活

运用相关知识是解题的关键.

24.(2021・四川甘孜・统考中考真题)如图1,正方形ABCD的对角线AC,8。相交于点。，E是边上一

点，连接OE交AC于点尸，连接BE.

图1图2

(1)求证：ACBF-CDF；

(2)如图2,过点F作。E的垂线，交BC的延长线于点G,交OB于点、N.

①求证：FB=FG；

②若tan/BOE=g,ON=1,直接写出CG的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵①证明见解析；②2拒.

【分析】(1)由正方形的性质结合三角形全等的判定条件“SAS”即可证明；

(2)①由。£_LGN和ZECD=90。可推出ZEGF=NCDE,再根据ACBF=/\CDF可推出

NCBF=NCDE,即可证明NEGF=NC8尸，根据等角对等边即得出尸8=FG；②由题意易证

NBDE=NOFN,WLBtanZ.BDE—tanAOFN=—,即---=—,...——,从而可求出。F=2,

20D2OF2

OC=OD=4,进而可求BC=75OC=4&，CF=OC-OF=2.过点F作FH，BG于点H,易证

为等腰直角三角形，即得出CH=X？CF=0,从而可求BH=BC—CH=3亚.最后由等腰三角形“三线

2

合一''即得G”=BH=30，即可求出CG=GH-CH=20

【详解】(1)证明：•・,四边形A3CO是正方形，

:・CB=CD,ZBCF=NDCF=45。.

又,：CF=CF,

：._CBF^dCDF(SAS).

(2)①:DEIGN,

J/FEG+NG=90。.

■:ZDEC+ZCDE=90°f

:./G=/CDE.

■:ACBF=ACDF,

JZCBF=ZCDEf

：.4G=4CBF,

:・FB=FG；

(2)VZNDF+ZDNF=90°,ZOFN-^-ZONF=90°f

:・ANDF=4OFN,即NBDE=NOFN,

/.tanZ.BDE-tan40FN--.

2

・・•四边形ABC。是正方形，

AAC1BD,OD=OC=OB,

：.tanZB£)F=—=-,tanZ0F7V=—

OD2OF2

：.OC=OD=2OF,—=-

OF2

解得：OF=2,OC=OD=4.

，8C=V5OC=40，CF