湖北剩荆宜三校2024-2025学年高三数学上学期10月联考试题含解析

湖北省荆荆宜三校2024-2025学年高三数学上学期10月联考试题试卷满分：150分留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答案卡对应题目的答案标号涂黑。如须要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.3.已知等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的正整数的值为（）A.5 B.6或7 C.6 D.5或64.十一国庆节放假五天，甲、乙两名同学安排去敬老院做志愿者，若甲同学在五天中随机选一天，乙同学在前三天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（）A. B. C. D.5.已知随机变量，且，则的最小值为（）A.9 B.8 C. D.66.已知，为非零不共线向量，设条件：；条件：对一切，不等式恒成立，则是的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.将函数的图象上全部的点，横坐标扩大为原来的2倍纵坐标保持不变得的图象，若在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，的最小值分别为，，则（）A. B. C. D.，的大小关系不确定二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以，和表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事务；再从乙盒子中随机取出一球，以表示由乙盒子取出的球是红球的事务，则下列结论中正确的是（）A.，，是两两互斥的事务 B.C.事务与事务相互独立 D.10.已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的是（）A.数列不是等比数列B.C.对于一切正整数都有与3互质D.数列中按从小到大的依次选出能被5整除的项组成新的数列，则11.已知函数的图像关于直线对称，则下列结论正确的是（）A.B.在上单调递减C.的最大值为D.把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，曲线在点处的切线方程为B.在定义域内为增函数的充要条件是C.当时，既存在极大值又存在微小值D.当时，恰有3个零点，，，且三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知的绽开式中的系数为，则实数的值为______.14.已知平面对量，，且，则______.15.设是定义在上的不恒为零的函数，且满意为偶函数，为奇函数，则______.16.用表示函数在闭区间上的最大值，若正数满意，则的值为______.四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）若，求的取值范围.18.（12分）已知数列的前项和为，满意，.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列满意，求数列的前项和.19.（12分）如图所示（图中数字为相应线段的长度），将两个三棱锥组合得到一个几何体，且平面平面.（1）证明：平面平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（12分）甲、乙两人进行对抗赛，每场竞赛均能分出输赢.已知本次竞赛的主办方供应8000元奖金，并规定：①若其中一人赢的场数先达到4场，则竞赛终止，同时这个人获得全部奖金；②若竞赛意外终止时无人先赢4场，则根据竞赛接着进行各自赢得全部奖金的概率之比给甲、乙安排奖金.已知每场竞赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场竞赛相互独立.（1）若在已进行的5场竞赛中甲赢2场、乙赢3场，求竞赛接着进行且乙赢得全部奖金的概率；（2）若竞赛进行了5场时竞赛终止（含自然终止与意外终止），则这5场竞赛中甲、乙之间的竞赛结果共有多少不同的状况？（3）若竞赛进行了5场时竞赛终止（含自然终止与意外终止），设，若主办方按规定颁发奖金，求甲获得奖金数的分布列；21.（12分）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，过点的直线与抛物线交于，两点.（1）已知点的坐标为，求最大时直线的倾斜角；（2）当的斜率为时，若平行的直线与交于，两点，且与相交于点，证明：点在定直线上.22.（12分）函数，.（1）求的单调增区间；（2）对，，使成立，求实数的取值范围；（3）设，为正实数，探讨在的零点个数.2024年湖北省荆荆宜三校高三上学期10月联考高三数学答案一、选择题12345678CCDBBCBA二、多项选择题9101112ADBCDBCBC三、填空题13.2 14. 15.0 16.或四、解答题17.解：（1）因为，，所以，即.又，，，所以，为锐角，，所以， 5分（2）由余弦定理知，.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立8分又，所以的取值范围为 10分18.解：（1）因为，可得，即，可得，即，又由，可得，所以数列表示首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以 6分（2）由，则数列的前项和：，即 12分19.解：（1）取的中点，连接，.因为，所以，且.又，所以，则.因为，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面 5分（2）取的中点，连接，，因为，所以.因为平面平面且交线为，平面，所以平面.因为平面，所以，且.过点作交于点，则，.以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令，得.，所以直线与平面所成角的正弦值为 12分20.解析：（1）设竞赛接着进行场乙赢得全部奖金，则最终一场必定乙赢当时，乙以赢，；当时，乙以赢，；所以，乙赢得全部奖金的概率为即. 3分（2）因为进行了5场竞赛，所以甲、乙之间的输赢状况有以下四种状况：甲赢4场，乙赢1场；甲赢3场，乙赢2场；甲赢2场，乙赢3场；甲赢1场，乙赢4场.5场竞赛不同的输赢状况有种，即28种. 6分（3）①若甲赢4场，乙赢1场：甲获得全部奖金8000元；②若甲赢3场，乙赢2场：当竞赛接着下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得6000元奖金；③若甲赢2场，乙赢3场：当竞赛接着下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得2000元奖金；④甲赢1场，乙赢4场.甲没有获得奖金.设甲可能获得的奖金为元，则甲获得奖金的全部可能取值为8000，6000，2000，0，8分；；；.∴甲获得奖金数的分布列为：800060002000012分21.解析：（1）设直线的方程为，，记，，则，则由题设得抛物线方程为 4分联立消去得∴，∴令则∴由单调性得当时，最大为，此时，直线的倾斜角为90° 6分（2）设，则由得∴∴又∵∴同理∴又∵∴∴∴点在定直线上. 12分22.解析：（1），当，即时，，单调递增.综上，的递增区间是 3分（2），即，设，则问题等价于，，由（1）可知，当时，，故在递增，∴，，，∵，，当，，在递增，，故，，实数的取值范围是； 7分（3），，，①若，则∵，∴，则在上递增，∴此时无零点， 9分②若时，设，则，∵∴，∴故在上递增.∵，，故存在，使得，故时，，即，递减，