高中数学考试的知识点

高中数学考试必备的知识点整理

温馨提示：在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎

样去做，所以在考前的一天必须回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要

心中有公式，中等的题目都可以解决。

必修一：

一、集合的运算：

交集：定义：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为/nB

并集：定义：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为力UB

补集：定义：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为C4

u

二、指数与指数函数

1、基的运算法则：

(1)4m.〃n=〃m+n,(2)〃勿+〃〃=即…，(3)(^m)n=〃mn(4)(〃0)n=〃

n•bn

(5)(6)ao=l(aWO)⑺”“=1(8)/=而(9)—=」

\b)b”J成

2、根式的性质,

|^7,67>0

(1)点)“=a.(2)当〃为奇数时，病=〃；当〃为偶数时，=1〃1=〈.

[—a,a<0

5.指数式与对数式的互化：logN=b<^>ab=N(a>0,a1,JV>0)

6、对数的运算法则：

(1)〃b=N<=>b=log/N(2)log1=0(3)log〃〃=l

(4)log〃〃b=b(5)aiog^N=N(6)log〃(MN)=log“M+log〃N

(7)log〃(&)=k)g,M-log〃N(8)log〃Nb=blog〃N(9)换底公式：log〃N=喀,N

loga

b

n

(10)推论：logb"=_ig〃(”>(),且a>l和〃>(),且勿声2V>0).

a"押]Oaf

(11)logN=](12)常用对数：lgN=logN(13)自然对数：InA=logA

"*"10e

必修4：

1、特殊角的三角函数值

角a0°30°45°60°90°180°270°360°

角a的JIJIJIJI3”

0JI2n

弧度数6432~2

1

Sina0变昱10-10

222

1

1

Cosa1吏V20-101

22

9

tana01力不存在0不存在0

3

2、诱导公式：函数名不变，符号看象限（把a看成锐角）

公式一：Sin(a+2kH)=Sina公式二：Sin(a+兀)="Sina

Cos(a+2kn)=CosaCos(a+JI)=-Cosa

tan(a+2kn)=tanatan(a+JT)=tana

公式三：Sin(-a)=-Sina公式四：Sin(JT-a)=Sina

Cos(-a)=CosaCos(n-a)=-Cosa

tan(-a)=一tanatan(n-a)=-tana

JI

公式五：Sin(_-a)=Cosa公式六：Sin(_+a)=Cosa

22

JIJi

Cos(_一。)=SinaCos(_+a)=-Sina

22

3、两角和与角差的正弦、余弦和正切公式

①sin(a+3)=sinacosp+cosasin0②sin(a-p)=sinacosp-cosasinp

③cos(a+p)=cosacosp-sinasinp@cos(a-3)=cosacos0+sinasinp

⑤tan(a+B)Jana+tan0公门、tana-tanB

⑥tan(a-p)=

1-tanatanP1+tanatanP

4.二倍角的正弦、余弦和正切公式

①sin2a=2sinacosa②cos2acos2a—sin2a=l-2sin2a二2cosa2-l

公c2tana公.1-cos2a01+cos2a⑥

③tan2a=---------④sin2a=---------⑤cos2a

1-tan2a22

sinacosa=_sin2a

2

5、向量公式：

。0)(Cl//b<^>xy-x,y=0)

①弓〃=2M(X,y

xy21221

②％+E

③cos0=

2

④-，-=-•一=0⑥平面内两点间的距离公式：设f=（x,y）,则

ababa

|a|=乂2+六或卜|=Jx2+y2

⑦平面内两点间的距离公式：H=J（X；-X2）+（y2jy,2）

高中数学必修5知识点归纳

第一章解三角形

1、正弦定理：在AA口C中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为AABC的外接圆的

半径，则有'="=°=2R.

sinAsinBsinC

2、正弦定理的变形公式：①Q=2RsinA,b=2/?sinB,c=2/?sinC；

②sinA=__，sinB=___，sinC=___；（3）a:b:c=sinA:sinB:sinC；

2R2R2R

④a+b+c_a_b=\.

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两

角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）

3、余弦定理：在AABC中，有c?2=Z?2+C2-2bccosA,小=（72+C2-2accosB,

C2=a?+b?-labcosC.

.4a、人.Z）2+C2-02-Q2+C2-Z>2八。2+拉-0

4、余弦定理的1推论：cosA=^-------------cosB=----------------->,cosC=-------------

2bc2acZab

（余弦定理解决的题型：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他

两角.）

5>三角形面积公式：S=JbcsinA=JabsinC=|acsinB

AABC222

6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是AABC的角A、B、。的对边，贝人①若02+加=°2,

贝!|C=90。；霹tr+拉〉cz,则C<90。；③若a?+拉<C2,则C>90。.

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点

7、（1）测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问题.在实际生活中，要测量

角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题

均可结合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解.在解决与测量问题有关的题目时，要搞

清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含义，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化.

（2）解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下：

知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之

3

②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐

步在其余的三角形中求出问题的解.

第二章数列

1、数列：按照一定顺序的一列数称为数列。

2、项：①首项:数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数（a）

1

②数列记为｛。｝：a、a、a...a...

n123n

③通项：a

n

4、已知S求a的公式：=d（n=1）

nn>2）

［注］:①a=a+Q-1）d=nd+Q_d）（d可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列

n11

也是等差数列满力不为0,则是等差数列充分条件）.

②等差3｝前n项和S=加2+刖=「卜2+仆一4.一d可以为零也可不为零一为等差的充

n"LJL12^2

要条件~若d为零，则是等差数列的免分条件；若d不为零,则是等差数列的充分条件.

③上零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

5、数列：按照一定顺序排列着的一列数.

6、数列的项：数列中的每一个数.

7、有穷数列：项数有限的数列.

8、无穷数列：项数无限的数列.

9、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a>a）.

10、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a'<a）.

11、常数列：各项相等的数列（即：a=a）."

n+1n

12、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

13、数列的通项公式：表示数列％｝的第八项与序号"之间的关系的公式•

n

14、数列的递推公式：表示任一项a与它的前一项a（或前几项）间的关系的公

nn-1

式.Q=2Q+1（n>1）

nn-1

15、结论：n是奇数，2n是偶数，2nT和2n+l是奇数。

等差数列

1、等差数歹!I定义：一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一

个常数。这个常数叫做等差数列的公差；符号表示：a-a=d

n+1n

2、看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①Q-Q=d（〃N2,d为常数）②2Q=a+a（n>2）③Q=kn+b（n,k为常数

nn-1nn+1n-1n'

3、等差中项：由三个数Q,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为a

4

fT-Lf

与b的等差中项.若b=^_，则称b为a与c的等差中项.

4、通项公式：若等差数列3｝的首项是尸，公茬是d，则a尸a+(q_l)d.

n()z1)

5、等差数列通项公式的变形：①Q=。+n-md,⑨q=。一5一1d.

nm；a1n,

③d="n4;④n=JQ+l；⑤d="""m

n-1dn-m

6、结论：若｛a｝是等差数列，且m+n=p+q(mn、p、qeN*),则°+Q=Q+Q若

nPq

｛a"｝等差数列，且2n=p+q(np、jow则％=*+*

n(n-1)

7、等差数列的前“项和的公式：①S-1":②S=na+d.

2n12

S=Q+Q+.・・+Q()

〃项才口的性质：①若项数为2nQeN*),则'2"="，+"向，且

8、等差数列的的

S—S=nd》奇

偶奇，S,a.

②若项数为eN*),MS=(2n-l)a,J

1-S=a,邑=〃(其中S=na,

2n-ln奇偶〃SH-1奇n

S=(n-l)a).偶

偶n

\Q>0

9、在等差数列｛a｝中，有关S的最值问题：⑴当4>0,d<0时，满足〈m的项数m

nn1\a<0

lm+l

使得s取最大值.(2)当a<0,d>0时，满足I%<0

的项数m使得s取最小值。在解含绝

mI[Q

n,>0m

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

等比数列

1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为

等比数列，这个常数称为等比数列的公比.符号表示：巴u=q(注：①等比数列中不会出

a

现值为0的项；②同号位上的值同号)

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①*=%祗22«为常数且X0)②片八色一("4沫向。”尸0)

③a=cq"(c,q为非零常数).④正数列｛a｝成等比的充要条柞是数列｛log｝(n>l)成等

nnxn0

比数列.

2、等比中项：在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，则G称为a与b的等

比中项.若G?=ab,则称G为a与b的等比中项.(注：由G?=ab不能得出a,G,b成等

比，由a,G,b=>G2=ab)

5

通项公式：若等比数列｛a｝的首项是a,公比是q,则a

3、-aQn-1

nn1

4、通项公式的变形：①Q=Q0-m；②Q=aq-（n-D.③。…=匕_；④q-m=巴」

nm1naa

1m

5、性质：若｛a｝是等比数列，且m+n=p+q（m、n>p、qeN，）,则a・a=aa；若

nmnPq

｛Q｝是等比数列，且2〃=p+q（n>p、qeN*）,则Q2=Q.Q

nnpq

（na（q=1）

6、等比数列｛Q｝的前〃项和的公式：①S_「一依）Q-Qq-

n〃彳=1〃（qw1）

1-q1-q

eS=Q+Q+…+Q

7、几种常见的数列的思想方法：

①等差数列的前〃项和为S，在dVO时，有最大值.如何确定使S取最大值时的〃值，有两

nn

种方法：一是求使a>0,a<0,成立的“值；二是由s=%2+g-色）”利用二次函数的性

nn+1”212

质求n的值.

②数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

数列通项公式对应函数

等差数列Q=Q+(〃-1)d=+(Q+d)y=dx+b（dwC时为一次函数）

n11

a

等比数列a=aqi=V=aq*（指数型函数）

n1q

数列前n项和公式对应函数

cn(n-1),d/d\y=ax2+bx（awO时为二次函

等差数列S=na+_____a=_m+(a-_)r

n12212

数）

（指数型函数）

等比数列ea(1-qn)aay=aqx+b

3=-----2-=———i—•qn+——1_

n1-q1-q1-q

综合数列的知识点部分

1、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：⑴定义法:对于n22的任意自然数,

a

验证Q-Q（3为同一常数。（2）通项公式法。（3）中项公式法：验证

nn-1Cl

n-1

6

2a=a+a（02=aa）neN都成立。

n+1nn-2n+1nn+2

2、数列求和的常用方法

①公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

[c]

②裂项相消法:适用于<_____>其中｛a｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数

\aan

Inn+1）

列、含阶乘的数列等。

③错位相减法:适用于｛而｝其中｛a｝是等差数列，也｝是各项不为0的等比数列。

nnnn

④倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

3、常用结论：

①1+2+3+...+n=''②1+3+5+...+（2n-l）=n2③

ni2

13+23++〃3=|^n(n+1)|

④12+22+32++n2=_n(n+1)(2/?+1)

6n(n+1)nn+1

111

——=1(---1L,)

n(n+2)2nn+2

⑥1=1(1_1)(p<q)

pqq-ppq

4、求通项的方法：①累加法，如：a-a=/(n)②累乘法，如：％=/(〃)

n+1n(J

n

.pB

③构造法：如：a=Aa+B=>a=4(。+)

n

n+1nn=1—1—1

第三章不等式

i、常见用语的符号表示：“不超过”：w“超过”：>“超不过”：V

2、比较大小的方法：a-b>O=a>b；a—b=0=a=b；a-b<0a<b.（利用作差法）

技巧：优先考虑加减，后考虑两边平方。

回顾：作差法的步骤：作差；变形；定正负；得出结论。

3、不等式的8条性质（利用生活上的一些事情去记忆，例如两（三）人比谁有钱；比谁高…）:

①a>bob<a；（两个的游戏）

②a>b,b>cna>c；（第三个是中间人时）

③a>6=>a+c>b+c；（C无需任何条件）（三个游戏）

@a>b,c>0=>ac>be,a>b,c<0=>ac<be；

⑤Q>匕,c〉d=>Q+C>b+d；（四人游戏，大+大，小+小）

©a>b>O,c>d>O=>ac>bd；（大X大，小义小）

@a>b>O=>an>bn（neN,n>1）；（分身术）

⑧a>b>0=>了>^/b（neN,n>1）.

关于等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据。

4、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.

7

5、一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）解的讨论.

△=62-4acA>0A=0A<0

口

上

二次函数廿

y=ax2+hx+c

(a>0)的图象

oXi=»3

一元二次方程

有两相异实根有两相等装

ax2+bx+c=0无实根

X,X(x<x)X=X=-__

（a>0）的根1212122a

[xxw—。

ax2-\-bx+c>0或X}R

(a>0)的解集112I2a\

ax2+bx+c<0*<x<x}

00

(a>0)的解集112

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。

二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等

式.6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对（X,），），

所有这样的有序数对（x,y）构成的集合.

8、在平面直角坐标系中，已知直线6+8），+。=0,坐标平面内的点P（x,y）.

00

①若B>0,Ar+By+C>0，则点P（x,y）在直线Ax+By+C=O的上方.

0000

②若B>0,Ar+By+C<0,则点P（x,y）在直线Ar+By+C=0的下方.

0000

9、线性规划：①、画直线（边界）②虚、实线区别：虚线：>/<实线：2/W

③分边：取特殊点（在线内外）检验

注意：直线未经过原点时，优先使用（0,0）判定；直线过原点则选择数轴上的点。

10、线性约束条件：由x,y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x,y的线性约束条

件。

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式。

线性目标函数：目标函数为x,y的一次解析式。

8

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。

可行解：满足线性约束条件的解G,y）。

可行域：所有可行解组成的集合。

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。

11、设。、。是两个正数，则?称为正数。、。的算术平均数，/丁称为正数。、。的几

何平均数.，

12、均值不等式定理：若。〉0,/?>0,则a+022/T,即>yfaU.

13、常用的基本不等式：①G+匕22R）；②abW）（a,b£R）；

"+2

③必/"+"]~（。>0力>0）；«2+hi>[a+^^a,beR）

F④▼w•

高中数学选修1—1知识点归纳

第一章常用逻辑用语

1、命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题；判断为假的

语句叫做假命题；

（注意：疑问句、祈使句、感叹句。一般都不是命题；要判断一个命题是真命题，一般需要

经过严格的推理论证，在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而

判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

2、命题的条件与结论：“若p,则q”的形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结

论。

注意：有些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可

以写成“若P，则q”的形式.

3、四种命题：

①原命题为：若p,则q,

②逆命题为：若q,则p,即交换原命题的条件和结论即得其逆命题.

③否命题为：若[p，则iq，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.

④逆否命题为：若[q,则1p,即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命

题.

4、四种命题的相互关系：

（­）四种命题之间的相互关系

结论：互为逆否的两个命题是等价的。（对角线命题真假性统一）

9

（二）四种命题的真假性（三）四种命题的真假性之间的关系：

逆否命①两个命题互为逆否命题，它们有相同的的

原命题逆命题否命题

题真假性

真真真真②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的

真假假真真假性

假真真真没有关系

假假假假

5、充分条件与必要条件定义：若pnq,则p是q的充分条件，q是p的必要条件

6、充要条件定义：如果p是q的充分条件，p又是q的必要条件，则称p是q的充分必要条

件，简称充要条件，记作poq

注意①充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是充分性；二是必要性。

②充要条件的判断方法

⑴定义法：直接利用定义进行判断.：

⑵等价法“p台q”表示p等价于q,要证p=q,只需证它的逆否命题非非p即可,

同理要证pkq,只需证非疗非p即可，所以p妗q,只需非q台非p.

（3）集合法：利用集合间的包含关系进行判断.

①若AQB,则p是q的充分条件，由xGA,可得xGB；

②若贝ljp是q的必要条件，要使xGB,贝!!xCA是必不可少的；

③若A=B,则p是q的充要条件；

④若B,且5且4,则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

7、常见的几种条件：

①若p=q,但q=>p,则p是q的充分不必要条件（也可以说q的充分条件不必要条件是P）

②若/gq,但q=>p,则p是q的必要不充分条件（也可以说q的必要不充分条件条是p）；

③若P=>q,且q=>p,则P是q的充要条件（也可以说q是P的充要条件），记作P=q;

④若P=>q,且q=p,则P是q的既不充分也不必要条件；

※重要结论与注意：小范围n大范围，但是大范围不能推出小范围

8、逻辑联结词：且、或、非

且：P且q（p/xq）“同真为真；一假即假”

或：p或q（pvq）“同假为假；一真即真”

非：非p（-P）:“F与p的真假相反”

注意：若（pvq）为真，（p△q）为假，则你所得到的结论是？“p、q一真一假”

10

9、①全称命题：陈述某集合中的所有元素都具有（不具有）某种性质的命题，无一例外，

强调“整体、全部”.

全称命题p：VxeAf,p（x）,它的否定：-p：Sxe

00

常见的全称量词：对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给、所有的

②特称命题：陈述某集合中有（存在）一个元素具有（不具有）某种性质的命题，强调“个别、

部分”的特殊性.

特称命题p：GM,P（XQ）,它的否定-p：VxeM,.p（x）

常见的特殊量词：存在一木、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的

结论：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

10、如何判定全称命题和特称命题的真假？

①对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个x都验证使p（x）成立；若要判定为假

命题，只需举一个反例.

②对特称命题，若要判定为真命题，只需找一个元素x0使p（x0）成立；若要判定为假

命题，需证明对每一个x,p（x）不成立.

11、常见词语的否定

词语词语的否定

等于不等于

大于C

小于2

是不是

都是不都是（都不是要区分）

至多一个至少两个

至少一个一个都没有

任意某个

所有的某些

第二章圆锥曲线与方程

（一）椭圆

1、椭圆方程的第一定义：

|MF卜方程为椭圆，

氏意义

\MF\+\MF\=\FF|以为端点的线段

121212

|MF|+|MFj=2a（固定）FfzNc（焦距）a2=62+c2（a最大）

注：定义中要重视“括号”内的限制条件

2、椭圆的几何性质：

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

11

图形A

标准方程%以=1（a>b>0）与£=1（a>b>0）

（72b2Q2b2

范围-a<x<a^-b<y<b-b<x<bSL-Q<y<a

A1（-Q,0）、A?（Q,0）A（0,-Q）、A（0,Q）

顶点12

B（0,-b）、B（0力）B（-h0）、B（b,0）

1212

轴长短轴的长=2b长轴的长=2a

F（-c,O）,F（c,O）F（O,-c）,F（o,）

焦点c

1212

焦距|FF|=2cC2=Q2-/?2

对称性关于X轴、y轴、原点对称

e—=r^（0<e<1）

离心率

aVQ2

注意：标准方程是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。

如果知道两点坐标，确不知道焦点在什么轴上，我们为了方便计算，就设一般方程为

Ax2+By2=］（A>0,B>0,且4工B）

3、焦半径：

X2+1/2

①设P（x,y）为椭圆——%•=15>6>0）上的一点，F,尸为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义

00Q212

可以推出：|PF|=a+ex,\PF\=a-ex

1020

X2+V2

②设P（O用）为椭圆——缶=1（a>b>0）上的一点，已匕为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义

00b212

可以推出：|P尸|=a+",\PF\=a-ey归结起来为，左加右减”、士E加上减”.

1020

12

（二）双曲线

1、双曲线的第一定义：

|MFJ-帆,|<力乙历程为双曲线

眄尸卜|“尸2|>|尸/2氏轨迹