高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册7 3离散型随机变量的数字特征

人教A版（2019）选择性必修第三册7.3离散型随机变量的

数字特征

一、单选题

L设随机变量的分布

则当〃在（（），；）内增大时，（）A.EC）增大，增大B.EC）增大，

减小

C.OE&）减小，增大D.EC）减小，。信）减小

2.某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元.根

据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是（）

A.2000元B.2200元

C.2400元D.2600元

3.已知甲、乙两人进行五局球赛，甲每局获胜的概率是|,且各局的胜负相互独立，

已知甲胜一局的奖金为10元，设甲所获得的资金总额为X元，则甲所获得奖金总额

的方差。（X）=（）

A.120B.240C.360D.480

4.已知随机变量X的分布列为:

X-101

\_\_

Pa

~26

119

设y=2x+i,则y的数学期望E（y）的值是（）A.B.：c.f

o3J

5.设p,qe（O,l）,随机变量量^的的分布列是:

g012

1-p上P_

p

222

随机变量〃的分布列是:

7012

P_l-p

P

222

则＜）A.（力⑷）皿＞（。（喇3B-（。⑷）2＜（"⑺L

U（。©）2=（。⑺）aD,（。（/）2与大小关系不定

6.某射手射击所得环数4的分布列如下:已知J的数学期望E（4）=8.9,则）的值为

（）

自78910

pX0.10.3y

A.0.8B.0.6

C.0.4D.0.2

7.设随机变量x,y满足y=2x+b"为非零常数)，若玫y)=4+o,r>(y)=32,则

E(x)和。(X)分别等于()

A.4,8B.2,8

C.2,16D.2+"16

8.已知随机变量g«5,|),则。(3~1)=()

A1°R105

A-TB.5C.§D.10

9.已知随机变量J的取值为由=0,L2).若P(J=0)=g,E©=1,则3(2舁3)=

()

10.袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后

放回，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为X,则E(X)=()

69

A.1B.2C.-D.-

11.已知随机变量X,y满足Y=QX+8,且。力为正数，若Q(X)=2,Q(Y)=8,则

()

A.b=2B.6/=4C.a—2D.b=4

12.抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷m・次，设抛掷

次数为随机变量筝，i=l,2.若〃/=3,m=5,则()

A.E(。)<E(⑵，D(&)<D(⑵

B.E(。)<E(①)，D(4)>D(9)

C.E«1)>E«2),D(0)<D(a)

D.E（0）＞E（a）,D（&）＞D（&）

二、填空题

13.若西,七,…,x”的方差为2,贝1]2芭+3,2X2+3,2x,+3的方差为

14.已知随机变量4则。（24+1）=.

15.若随机变量X的分布列为

X01

2

Pm

3

则。（X）=.

16.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成

功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p（pHO）,发

球次数为X,若X的数学期望E（X）＞1.75,则。的取值范围是.

17.设随机变量X的方差O（X）=1,则。（2X+1）的值为.

三、解答题

18.为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取

五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误

可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为:，

答错的概率为1.

（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X,求X的分布列及数学期望；

（2）若甲在回答过程中出现在第i（迂2）个等级的概率为证明：为等比

数列.

19.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场

的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元

（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设

甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,、1小时以上且不超过2小时离开的概率

分别为3、两人滑雪时间都不会超过3小时.

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量g（单位：元），求g的分布列与数

学期望E（J）,方差仇

20.随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范

畴.某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育

器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次

随机取球.

（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；

（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得

分，求总得分X的分布列.

21.京西某地到北京西站有阜石和莲石两条路，且到达西站所用时间互不影响.下表是

该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：

时间（分钟）10〜2020〜3030〜4040〜5050〜60

莲石路（0）的频率0.10.20.30.20.2

阜石路（右）的频率00.10.40.40.1

若甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站（将频率视为概率）

（1）甲、乙两人应如何选择各自的路径?

（2）按照（1）的方案，用X表示甲、乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数

学期望.

参考答案:

1.D

求得出。之间的关系，再求出后化),。(4)讨论其单调性即可判断

【详解】

解：由因为分布列中概率之和为1,可得4+6=；,

.•.E(/=_；+6=_g+(g_a)=_“，.•.当a增大时，£传)减小,

又由D(^)=(-l+a)2x-^+(O+a)2xa+(l+a)2x/>=-^z+^j+；

可知当。在(0,；］内增大时，0(4减小.

故选：D.

2.B

根据期望的计算方法，即可求解.

【详解】

由题意，出海的期望效益E(X)=5000x0.6+(-2000)x(l-0.6)=3000-800=2200(元).

故选：B.

3.A

设甲获胜的局数为y,则y8(5,|),x=ioy,然后由方差的性质和二项分布的知识可得

答案.

【详解】

设甲获胜的局数为乙则yB(5,|j,x=ioy

所以O(X)=1(X)力(丫)=100乂5><1乂1=120

故选：A

4.C

根据分布列的性质可求出〃，再根据期望公式即可求出随机变量X的数学期望，最后根据

E(y)=2E(x)+i,即可求出随机变量y的数学期望.

【详解】

根据分布列的性质，得;+，+。=1,解得a=g,

所以随机变量X的数学期望为E(X)=-lxt+Ox」+Ix：=-，.又y=2X+l,

2636

所以随机变量y的数学期望为E(y)=2E(X)+l=2x(T)+l=g.

故选：C.

5.C

根据随机变量。〃的分布列，利用期望和方差的公式，分别求得4和昌7，»7,结合二

次函数的性质，即可求解.

【详解】

由题意，可得EJ=Ox千+lxg+2x勺;+p,切=|_q,

则^=(^+P)2^^+(^-P)2x^+(-|-P)2xy

=_p2+p+：=_(p_；y+g,

当p=;时，。&取得最大值，最大值为

又由Z>7=(|-q)W+(g”xg+(；+q)2x詈

=-q-2+q+-1=-{/q--^L)-+1-,

当q=g时，力〃取得最大值，最大值为

所以①⑷)3=(。⑺)行

故选：C.

6.C

根据分布列的概率之和为1得苍丁的一个关系式，由变量的期望值得x,y的另一个关系

式，联立方程，求解y的值.

【详解】

解：由表格可知：

Jx+0.1+0.3+y=l

[7x+8x0.1+9x0.3+10xy=8.9

解得y=o-4.

故选：c.

本题考查根据分布列和期望值求参数，熟记概念即可，属于常考题型.

7.B

利用满足线性关系的两随机变量的均值、方差关系的计算公式即可求得.

【详解】

因为随机变量x,y满足y=2X+b,

所以E(y)=2E(X)+8=4+b,

E(x)=2；

D(y)=4D(X)=32,

.-.Z)(X)=8.

故选：B.

若随机变量x,y满足丫=次+。，他们的期望和方差分别满足：

E(y)=kE(X)+b,O(y)=公£>(X)

8.D

求出0（3=~,即可求出Z）（3^-1）=32D«）的值.

【详解】

解：由题意知，£>（^）=5x|xfl-|k^,所以。（3<-1）=32。⑷=9xt=1。,

故选:D.

本题考查了二项分布方差的求解，属于基础题.

9.C

设尸（J=l）=p,可得p《=2）=l_1_p,结合£管）=1,可求出P,进而可求出方差

。⑷,再结合0（2〃3）=4。⑷,可求出答案.

【详解】

14

由题意，设尸(4=1)=乙则尸(g=2)=l_：_p=1_p,

又E(/=0x*+lxp+2(*-p)=l,解得p=|,

31

所以P傍=1)=0P^=2)=~,

则。©=]1-。)2力+/-2)24,

Q

所以0(24-3)=40代)=于

故选：C.

本题考查随机变量的期望与方差，注意方差的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础

题.

10.C

2

根据题意可知取到黑球的次数X的取值可能是0,1,2,3,由于每次取到黑球的概率均为1,

3次取球可以看成3次独立重复试验，则X3(3,|),进一步求出答案.

【详解】

有放回的抽取时，取到黑球的次数X的取值可能是0,1,2,3,

由于每次取到黑球的概率均为,，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X8(3,|)

p（X=0）=C；

尸（X=D=C；

尸（X=2）=C；

8

p（X=3）=C；

125

…、八27,54-36、86

E（X）=0X------F1X--------F2X-------F3X-----=

1251251251255

故选：C.

11.C

根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果.

【详解】

由方差的性质可得，D(Y)=D(aX+b)=a2D(X),

因为。(X)=2,£>(y)=8,所以8=2/,

又。为正数，所以a=2.

故选：C.

本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型.

12.A

由〃/=3,求出4的分布列，从而求出E(。)，。(4)；由“2=5,求出&的分布列，从

而求出E(①)，D(0)；进而得到E(4)<E皤2),D(。)<D(9).

【详解】

解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷〃i次，

设抛掷次数为随机变量廓，i=l,2,

♦.♦川=3,...O的分布列为：

自123

J_

P_1_

544

1117

EQI=lx—+2x—+3x—=—,

71717111

DM=(1一一)2x2+(2一一)2x-+(3一一)2x-=—.

■42444416

・・・〃2=5,・・・3的分布列为：

@12345

£]_11

P_1_

24816

£<52=lx—+2x—+3x-+4x—+5x—=—

248161616

311(2-)2x311312131

D<2=(1-----)2x—+^r(3)2XM(4-—)x—4-(5-—)2

162168161616

1367

x—=-----,

16256

：.E(4)<E(&),D(4i)<D(3).

故选：A.

求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：

（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义;

（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；

（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.

13.8

根据方差的性质进行求解即可.

【详解】

因为西,々,…，%的方差为2,

所以2占+3,2X2+3,2x.+3的方差为2x2?=8,

故答案为：8

14.3

根据二项分布的方差公式求出。传)，再根据方差的性质计算可得;

【详解】

解：因为随机变量48(4,小，所以O(g)=4x；x(l

所以O(2J+l)=22£)(&)=4xj=3

故答案为：3

根据分布列的性质，求机，再根据分布列求方差.

【详解】

21

由分布列的性质可得弓+机=1,

JD

由两点分布的方差可得O（X）=；x]2

I9

故答案为：B

6。,；

分别求出X=1,2,3所对应的概率，由数学期望计算公式可构造不等式求得结果.

【详解】

由题意得：P（X=l）=p,P（X=2）=（l-p）p,尸（X=3）=（l-p）2,

/.£（X）=p+2p（l-p）+3（l-p）2-p1-3p+3,

由E（X）＞1.75得：p2-3p+3＞1.75,解得：或（舍）,

故答案为：[oil

17.4

利用方差的运算性质Q（aX+，）=/Q（x）即可求解

【详解】

£＞（2X+1）=4O（X）=4.

故答案为：4

18.(1)分布列答案见解析，数学期望：y;(2)证明见解析.

(1)首先确定X的所有可能取值X=5,6,7,8,9,10,根据概率公式分别求出对应发生的概

率，列出分布列，即可求出数学期望；

(2)根据已知的关系，求出匕I与2」的关系式匕再通过化简和等比

数列的定义求解即可.

【详解】

解：⑴依题意可得,X=5,6,7,8,9,10,

P(X=5)Y©呜j噎,P-6)=需词=5同飞嗡,

)=呜Cl福

p(X=7)=C；

尸。=9)=呜卜。嘿，尸(X=K))y*《,

则X的分布列如表所示.

X5678910

32808040101

r

243243243243243243

…、u32,80r8040八10120

E(X)=5x---F6x----F7x---+8ox---h9x----F10x---=

243243243243243243T

(2)处于第i+1个等级有两种情况:

2

由第i等级到第i+1等级，其概率为耳£；

由第"1等级到第i+1等级，其概率为g?T；

2I1

所以匕|=§匕+§匕1，所以匕1-1=一§(4-匕1)，

即i3-

所以数歹ME-匕j为等比数歹u.

本题考查概率公式、随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力、数据处理能力，考

查数学运算、逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找PM与E,6T的关系式，

71

即：+GS2),进而根据等比数列的定义证明.

19.(1)卷；⑵分布列见解析,E⑷=8(),哈=竽.

(1)甲、乙两人所付费用相同即为0、40、80,求出相应的概率，利用互斥事件的概率

公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)确定随机变量4的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量4的分布列，然后

利用数学期望公式和方差公式求出Eq)和0(4.

【详解】

(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0、40、80元，

两人都付0元的概率为e=X=A，两人都付40元的概率为鸟=gx|=g,

两人都付80元的概率为=

则两人所付费用相同的概率为P=4+A+B=L+2+L=[；

2432412

(2)设甲、乙所付费用之和为J,J可能取值为0、40、80、120、160,

则P(^=0)=-xl=—,P(^=40)=-x-+lxl=l,

v74624v743264

1112115……、11121

尸(j=80)=—x—I—x—I—x—=—,尸(5=]20)=­x—I—x—=一,

'746234612'726434

P(^=160)=-xl=—.

v74624

所以，随机变量4的分布列为

g0408()120160

151

P

24412424

.,^)=0x±+40xl+80xA+120xl+160x±=80.

22

。⑷=(0-80)28(+(40-80)2X；+(80-80)2XA+02O-8O)X^-+(160-80)X^-

4000

3

本题考查概率的计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望以及方差的计算，考查运算

求解能力，属于中等题.

20.(1)I3；(2)分布列见解析.

(1)利用古典概型概率公式即求;

（2）由题知X的取值范围为{0,