2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量基本定理及坐标表示【课件】

第五章平面向量、复数第2节平面向量基本定理及坐标表示ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1知识梳理1.平面向量的基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个____________结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________________基底若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底不共线向量λ1e1＋λ2e2不共线2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则互相垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是____________.4.平面向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0常用结论1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.×解析(1)共线向量不可以作为基底.√×√D解析因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，2.设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(

)∴λ＝－2，b＝(6，－8).ABD解析各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形.假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选ABD.解析因为四边形ABCD是平行四边形，C解析易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.2KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一平面向量基本定理的应用C解析如图所示.∵A，M，Q三点共线，D解析如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，B考点二平面向量的坐标运算对角线AC与BD交于点O，C解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，DA.1 B.2 C.3 D.4∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，(4，7)解析以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，6角度1利用向量共线求参数考点三平面向量共线的坐标表示解析2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，例2(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.所以点P的坐标为(3，3).例3

已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为__________.角度2利用向量共线求向量或点的坐标(3，3)所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).解

a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，训练2

平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；解

设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).等和线的应用解析法一由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系.2法二如图，连接AB交OC于点D，当点D与点A，或点B重合时t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.所以x＋y的最大值为2.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3A.(2，2) B.(－2，－2)C.(1，1) D.(－1，－1)解析因为A(2，2)，B(1，1)，D解析对于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立.2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(

) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)BD解析∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；4.(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(

) A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μcAB当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误.故选AB.解析根据题意，设AB边的中点为D，D因为△ABC是等边三角形，则CD⊥AB.B解析如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).解析因为a∥b，解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，解

ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，10.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)， (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，解

法一

∵A，B，C三点共线，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，解

在△ABC中，即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，解析如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C