《数学》复习人教A（新高考）-第3节　直线、平面平行的判定与性质

第七章

第3节直线、平面平行的判定与性质知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外

平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α平面内的一条直线一条直线与此文字语言图形表示符号表示性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b交线(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理2.平面与平面平行文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β相交直线性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线

于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的

平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b平行交线1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2.三种平行关系的转化1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(

) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(

) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(

) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(

)

解析

(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误. (2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.×××√2.下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是 (

) A.直线a上有无数个点不在平面α内

B.直线a与平面α内的所有直线平行

C.直线a与平面α内无数条直线不相交

D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交 解析

因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点， 因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.D3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_________________.

解析

∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形.平行四边形

4.(2021·郑州调研)平面α∥平面β的一个充分条件是 (

) A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析

若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A； 若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B； 若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C； 故选D.D5.已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的 (

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析

由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件.A6.(多选题)(2020·青岛质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断 中正确的是 (

) A.FG∥平面AA1D1D B.EF∥平面BC1D1 C.FG∥平面BC1D1 D.平面EFG∥平面BC1D1

解析

∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点， ∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1， ∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D， ∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；AC∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误.故选AC.考点分层突破题型剖析考点聚焦21.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 (

) A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α，β平行于同一条直线

D.α，β垂直于同一平面 解析若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当α内无数条直线互相平行时，α与β可能相交； 若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交； 若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件.

根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.

因此B中条件是α∥β的充要条件.考点一与线、面平行相关命题的判定///////自主演练B2.(多选题)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 (

) A.若m∥α，m∥β，则α∥β B.若m∥α，n∥α，则m∥n C.若m⊥α，n⊥α，则m∥n D.若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交 解析对于A，若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β，所以A错误.

对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线，相交直线或平行直线，所以B错误.

对于C，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，C正确.

对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交或平行，D正确.CD3.(多选题)(2021·潍坊调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是

(

) A.AD1∥BC1 B.平面AB1D1∥平面BDC1 C.AD1∥DC1 D.AD1∥平面BDC1

解析

如图，因为AB綉C1D1， 所以四边形AD1C1B为平行四边形.

故AD1∥BC1，从而A正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，

BD∩DC1＝D，ABD故平面AB1D1∥平面BDC1，从而B正确；由图易知AD1与DC1异面，故C错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故D正确.1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.感悟升华角度1直线与平面平行的判定【例1】(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面 是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，

BB1，A1D的中点. (1)证明：MN∥平面C1DE； 证明

如图，连接B1C，ME.

因为M，E分别为BB1，BC的中点， 由题设知A1B1綉DC，考点二直线与平面平行的判定与性质///////多维探究可得B1C綉A1D，故ME綉ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.【例1】(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面 是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，

BB1，A1D的中点. (2)求点C到平面C1DE的距离.

解过点C作C1E的垂线，垂足为H.

由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE， 故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE， 故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.

由已知可得CE＝1，C1C＝4，1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线.2.利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形.感悟升华【训练1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面

ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G

和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.

证明如图，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是AC的中点.又M是PC的中点， 所以AP∥OM.

根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA∥平面BMD.

因为平面PAHG∩平面BMD＝GH， 根据直线和平面平行的性质定理，所以PA∥GH.

因为GH⊄平面PAD，PA⊂平面PAD， 所以GH∥平面PAD.证明因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM，因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，所以EF∥PM，从而得EF∥BC.因为E为PB的中点，所以F为PC的中点.设点C到平面PBD的距离为d，在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.感悟升华【训练2】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF

是矩形，M是线段EF的中点. (1)求证：AM∥平面BDE； 证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.

因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形， 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.

又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE.【训练2】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF

是矩形，M是线段EF的中点. (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m， 试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.

解

l∥m，证明如下： 由(1)知AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l， 所以l∥AM， 同理，AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m， 所以m∥AM，所以l∥m.【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面； 证明

∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.考点三面面平行的判定与性质///////典例迁移【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

证明

∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.

又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB， ∴A1G綉EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG.【迁移1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

证明

如图所示，连接A1C交AC1于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD， ∵D为BC的中点， ∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，

DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质及D，D1分别为BC，B1C1的中点知，D1C1綉BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.解

连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.感悟升华【训练3】(2020·成都联考)如图，在四棱锥P－ABCD中， 平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，

AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点. (1)证明：平面BMN∥平面PCD； 证明连接BD，如图所示. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD为正三角形. ∵M为AD的中点，∴BM⊥AD. ∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD.

又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD.∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD.又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD.又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD.【训练3】(2020·成都联考)如图，在四棱锥P－ABCD中， 平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，

AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点. (2)若AD＝6，求三棱锥P－BMN的体积.

解在(1)中已证BM⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD， ∴BM⊥平面PAD.∵PA＝PD，PA⊥PD，AD＝6，∵M，N分别为AD，PA的中点，课后巩固作业提升能力分层训练3一、选择题1.下列命题中正确的是 (

) A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

解析

A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确.D2.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是 (

) A.平行 B.相交

C.AC在此平面内 D.平行或相交 解析把这三条线段放在正方体内可得如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，∵EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG，故选A.A3.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有

(

) A.0条

B.1条

C.2条

D.1条或2条 解析如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH. ∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD， ∴EF∥平面BCD.

又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD， ∴EF∥CD.

又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH. ∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH， 所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.C4.(多选题)(2021·山东名校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BB1，DD1，A1B1的中点，则下列说法正确的是 (

) A.B1D∥平面A1FC1 B.CE∥平面A1FC1 C.GE∥平面A1FC1 D.AE∥平面A1FC1

解析

作出图形如图所示，观察可知，B1D∥FO，CE∥A1F，AE∥C1F，又FO⊂平面A1FC1，A1F⊂平面A1FC1，C1F⊂平面A1FC1， 所以选项A，B，D正确； 因为GE∥A1B， 所以GE与平面A1FC1相交，所以选项C错误.ABD5.(多选题)(2021·武汉质检)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是 (

) A.若m∥α，α∥β，则m∥β B.若α∥γ，β∥γ，则α∥β C.若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n D.若m∥l，n∥l，则m∥n

解析

对于A，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误； 对于B，若α∥γ，β∥γ，则α∥β，故B正确； 对于C，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，故C正确； 对于D，若m∥l，n∥l，则m∥n，故D正确.BCD解析如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，则△DEH∽△BEA，因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，B所以FH∥D1G.又四边形CDD1C1是平行四边形，所以△DFH∽△C1GD1，所以FD1＝C1G，DF＝CG，解析

根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点.8.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

可以填入的条件有________________(填序号).

解析由面面平行的性质定理可知，①正确； 当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误； 当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点， 所以m∥n，③正确.①或③9.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H

分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点

M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件

_________________________________________________时， 就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可， 不必考虑全部可能情况).

解析

连接HN，FH，FN， 则FH∥DD1，HN∥BD， 且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D， ∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH， 则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.点M在线段FH上(或点M与点H重合)

三、解答题10.(2020·绵阳诊断)如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面

ABCD，点E、F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2. (1)证明：EF∥平面PCD； 证明取PC的中点G，连接DG，FG. ∴DE∥FG且DE＝FG， ∴四边形DEFG为平行四边形， ∴EF∥DG， 又∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， ∴EF∥平面PCD.10.(2020·绵阳诊断)如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面

ABCD，点E、F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2. (2)求三棱锥F－PCD的体积.

解∵EF∥平面PCD， ∴F到平面PCD的距离等于E到平面PCD的距离， ∴VF－PCD＝VE－PCD ∵PA⊥平面ABCD，11.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，

M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：

(1)BE∥平面DMF； 证明如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O， 因为四边形ADEF为平行四边形， 所以O为AE的中点.

连接MO，则MO为△ABE的中位线， 所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF.11.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，

M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：

(2)平面BDE∥平面MNG.

证明因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点， 所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥