沪教版九年级上册数学专题训练专题03锐角三角函数之正切重难点专练(原卷版+解析)

专题03锐角三角函数之正切重难点专练（原卷版）第I卷（选择题）一、单选题1．(2023·上海九年级单元测试）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、解答题2．(2023·上海九年级专题练习）如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．（1）求证：；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．3．(2023·上海奉贤区·九年级二模）如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°，点C、D分别在半径OA、OB上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD．（1）当cot∠ODC＝，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长；（2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数；（3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求的值．4．(2023·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．（1）AC＝；（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．5．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，经过点的抛物线与轴相交于点，顶点为．（1）求的正弦值；（2）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为，且与相似，求平移后的新抛物线的表达式．6．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点B，对称轴为直线，且对称轴与x轴交于点C．直线，经过点A，与线段交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）联结、．当的面积为3时，求直线的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结、，当时，求的余切值．7．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知正方形，点M为射线上的动点，射线交于E交射线于F，过点C作交于点Q．（1）当时，求的长．（2）当M在线段上时，若，求的长．（3）①当时，作点D关于的对称点N，求的值．②若，直接写出与的面积比_______．8．(2023·上海市民办嘉一联合中学九年级月考）如图，矩形中，是边上的一动点，联结、，过点作射线交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，，，（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当时，求；（3）如果是以为底角的等腰三角形，求的长9．(2023·上海九年级专题练习）如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是．（1）求点的坐标；（2）设点在新抛物线上，联结，如果平分，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．10．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．（1）求证：；（2）当平分时，求的长；（3）当是等腰三角形时，求的长．11．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．（1）求直线AB的表达式；（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线的表达式；（3）如果抛物线的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．12．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长；（3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长．13．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点，（1）求和的长；（2）当时，求的长；（3）联结，当和相似时，求的长．14．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，,点是边延长线上的一点，，垂足为的延长线交的平行线于点，联结交于点．（1）当点是中点时，求的值；（2）设，求关于的函数关系式；（3）当与相似时，求线段的长．15．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）若二次函数图像与坐标轴有三个交点，我们把以交点为顶点的三角形叫做二次函数交轴三角形，已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，交轴三角形的面积为．（1）求抛物线的对称轴及表达式（2）若点在轴上方的抛物线上，且．求点的坐标．（3）在（2）的条件下，过作射线交线段于点，使得，连结．试问与是否垂直，请通过计算说明．16．(2023·上海市西南模范中学九年级月考）在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，的延长线交于点．（1）当时，求线段的长；（2）当时，求线段的长．17．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．三、填空题18．(2023·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____．19．(2023·上海九年级专题练习）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是_____．20．(2023·上海金山区·九年级一模）已知在中，，，，以点为直角顶点的的顶点在的延长线上，交的延长线于点，若，，那么的长等于______．21．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________．22．(2023·上海九年级专题练习）在中，，，点、分别是边、的中点，已知点在线段上，联结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果点、、在同一直线上，那么______．23．(2023·青浦区实验中学八年级期中）如图，的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且斜边与轴的夹角为，那么点的坐标是___________．24．(2023·上海九年级专题练习）已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=_____．25．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．专题03锐角三角函数之正切重难点专练（解析版）第I卷（选择题）一、单选题1．(2023·上海九年级单元测试）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（）A． B． C． D．答案:B分析：过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作，垂足为D则根据旋转性质可知，在中，所以故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．第II卷（非选择题）二、解答题2．(2023·上海九年级专题练习）如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．（1）求证：；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．答案:（1）证明见解析；（2）；（3）或．分析：（1）根据，得，，即可得．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出，求出，再根据，列出函数关系式，化简即可．（3）先证，再分3种情况讨论，分别求出AP的长．【详解】解：（1）∵，，∴∠ADP+∠PDE=90°，∠EDQ+∠PDE=90°，∴，∵，，∴∠A+∠B=90°，∠B+∠DEQ=90°，∴，∴．（2）∵，∴，∵点为斜边的中点，∴，∴，∵，AC=6，BC=8，∴在中，，，∵D为AB中点，∴BD=5，DE=，∴BE=，∵，∴，∵=y，∴．（3）∵，∴，∵∠PDF+∠EDQ=90°，∠BDQ+∠EDQ=90°，∴，∴，∴为等腰三角形时，亦为等腰三角形，①若，则∠QDB=∠B，∵∠QDB+∠EDQ=90°，∠B+∠DEB=90°，∴∠DEB=∠EDQ，∴DQ=QE，∴点Q为BE中点，∴y=BQ==BE=，解得:．②若，则=5∴y=，解得：．③若，∵连接，交线段于点∴点Q在线段BE上，∴∠BDQ≤90°，∵AC<BC，∠ACB=90°，∴∠B<45°，∴，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定及三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键.3．(2023·上海奉贤区·九年级二模）如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°，点C、D分别在半径OA、OB上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD．（1）当cot∠ODC＝，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长；（2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数；（3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求的值．答案:（1）；（2）67.5°；（3）或分析：（1）由题意∠COD＝90°，cot∠ODC＝，可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，证明AC＝OC＝4k＝2，推出k＝，可得结论．（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性质证明△PCB是等腰直角三角形，可得结论．（3）分两种情形：如图3﹣1中，当OC∥PD时，如图3﹣2中，当PC∥OD时，分别求解即可．【详解】解：（1）如图1中，∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝，∴设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，∵以CD为半径的圆D与圆O相切，∴CD＝DB＝5k，∴OB＝OA＝8k，∴AC＝OC＝4k＝2，∴k＝，∴CD＝．（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵，∴∠AOP＝∠POB，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），∴∠EPC＝∠FPB，∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPF＝∠CPB＝90°，∴∠PCB＝∠PBC＝45°，∵OP＝OB，∠POB＝45°，∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，∴∠CBO＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠OCD＝90°﹣22.5°＝67.5°．（3）如图3﹣1中，当OC∥PD时，∵OC∥PD，∴∠PDO＝∠AOD＝90°，∵CE⊥PD，∴∠CED＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y，则，解得x1＝2﹣2，x2＝－2﹣2（不合题意，舍去），∴PD＝2﹣2，∴，如图3﹣2中，当PC∥OD时，∵PC∥OD，∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，∵OP＝4，OC＝2，∴PC＝，∴PD＝PC＝，∴PE＝，∴EC＝OD＝，∴，综上所述，的值为或．【点睛】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．4．(2023·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．（1）AC＝；（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．答案:（1）；（2）；（3）；（4）．分析：（1）根据矩形性质可得∠B＝90°，即可利用勾股定理求出AC的长；（2）根据折叠性质及角平分线定义可推出四边形AEA＇F是菱形，则可利用菱形性质得出AF的长，即可求解FC；（3）根据点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值，先利用勾股定理求得DE，则可求出DA＇，再由相似三角形的判定与性质可得，从而求出AP，此题得解；（4）根据题意可分别从点A＇在AC上和BC上进行计算，求解方法都是利用相似三角形的判定与性质得出相关比例式，即可求得相应的x的值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°．∵AB＝8，BC＝12，∴AC＝．故答案为：．（2）如图，若点在∠BAC的平分线上，连接FA＇，∴∠EAA＇＝∠FAA＇．∵EA＝EA＇，∴∠EAA＇＝∠EA＇A．由折叠性质可得PE是AA＇的垂直平分线，∴FA＝FA＇．∴∠FA＇A＝∠FAA＇．∴∠EAA＇＝∠FAA＇＝∠EA＇A＝∠FA＇A．∴AE∥FA＇，AF∥EA＇．∴四边形AEA＇F是平行四边形．∵EA＝EA＇，∴四边形AEA＇F是菱形．∴AE＝AF＝5．∴FC＝AC－AF＝．（3）由题意得，点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值．∵四边形ABCD是矩形，BC＝12，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12．∵AE＝5，∴DE＝．∴DA＇＝DE－A＇E＝13－5＝8．由折叠性质可得PA＝PA＇＝x，∠EAP＝∠EA＇P＝90°，PD＝AD－AP＝12－x，∵∠ADE＝∠A＇DP，∴△ADE∽△A＇DP．∴．即．解得．∴在Rt△APE中，tan∠APE＝．故点，D距离的最小值时，tan∠APE的值为．（4）如图，当点A＇在AC上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°．∴∠BAC+∠BCA＝90°．由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，∴∠BAC+∠AEP＝90°．∴∠AEP＝∠BCA．∴△APE∽△BAC．∴．即．解得．如图，当A＇在BC上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAA＇+∠BA＇A＝90°，由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，∴∠BAA＇+∠AEP＝90°．∴∠BA＇A＝∠AEP．∴△APE∽△BAA＇．∴．即．在Rt△A＇BE中，EA＝EA＇＝5，BE＝AB－AE＝3，∴BA＇＝，∴，解得．∴若点在△ABC的内部时，x的取值范围为．【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及利用勾股定理求解相关线段的长度等知识是解题的关键．5．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，经过点的抛物线与轴相交于点，顶点为．（1）求的正弦值；（2）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为，且与相似，求平移后的新抛物线的表达式．答案:（1）；（2）或．分析：（1）将代入可得表达式，配方即得顶点坐标，设BC与x轴交于E，过E作EH⊥AB于H，求出EH、BE即可得出答案；；（2）设D坐标，根据题意可得，则用两边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．【详解】解：（1）将代入得：，解得，∴抛物线表达式为，∵，∴；设BC与x轴交于E，过E作EH⊥AB于H，如图：抛物线与y轴交于，设BC解析式为，将，代入得：，解得，∴解析式为，令得，∴，∴，∵，，∴，∴，∴又∴；（2）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，设，则平移后的新抛物线的表达式为，∴，，，，如图，设直线与轴交点为，则，∵，∴，∴，∴，故若△DCA与△ABC相似，只需或两种情况：①若△ABC∽△DCA，如图：∴，即，∴，∴，∴平移后的新抛物线的表达式为；②若△ABC∽△ACD，如图：∴，即，解得，∴，∴平移后的新抛物线的表达式为；综上所述，△DCA与△ABC相似，平移后的新抛物线的表达式为或．【点睛】本题考查了二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，难度较大，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．6．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点B，对称轴为直线，且对称轴与x轴交于点C．直线，经过点A，与线段交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）联结、．当的面积为3时，求直线的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结、，当时，求的余切值．答案:（1）；（2）；（3）或分析：（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分和与不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线经过点，对称轴为直线，∴，∴∴抛物线表达式为；（2）把代入得y=4，∴抛物线顶点B坐标为，由的面积为3得,∴BE=2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为，把点和点代入得，∴，∴直线表达式为；（3）如图，①若，如图，则四边形为平行四边形：则点坐标为，连接，∴；②若与不平行，如图，则四边形为等腰梯形：作BF⊥y轴于F，则，∴点坐标为，连接，∴，综上所述，此时的余切值为或．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用．7．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知正方形，点M为射线上的动点，射线交于E交射线于F，过点C作交于点Q．（1）当时，求的长．（2）当M在线段上时，若，求的长．（3）①当时，作点D关于的对称点N，求的值．②若，直接写出与的面积比_______．答案:（1）4；（2）6；（3）①或；②分析：（1）利用正方形的性质证明，得到，即可得到答案；（2）根据正方形的性质及垂直的定义证得，推出CQ=MQ=FQ，从而得到MF=2CQ=6；（3）①分两种情况：（i）当点N在正方形内部，延长交于点G，（ii）当点N在正方形外部，连接，延长交于点G，根据正方形的性质及翻折的性质、勾股定理列式计算即可求出答案；②过点E作GH⊥AB于G，交CD于点H，根据△ABE∽△DME，，求得DM=2，CM=6，EH=，同理：BF=4AD=32，得到CF=24，利用面积公式分别计算与的面积，列式计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠MDE，∠BAE=∠DME，∴，∴，，∴，∴DM=4；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，∵DE=DE，∴△ADE≌△CDE，∴∠EAD=∠ECM；∵AD∥BC，∴∠EAD=∠F，∵，∴∠ECQ=∠DCF=，∴∠ECM=∠QCF，∴，∴CQ=QF，∵∠CMF+∠F=∠QCM+∠QCF=，∴∠QCM=∠CMF，∴CQ=MQ=FQ，∴MF=2CQ=6，（3）①（i）当点N在正方形内部，延长交于点G，∵DM=2CM，AD∥BC，∴CF=4，，∴AG=FG，设，根据勾股定理得，解得：，；（ii）当点N在正方形外部，连接，延长交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAM=∠AMD，由翻折得∠AMD=∠NMA，∴，∴AG=MG，设，根据勾股定理得，解得，，综上所述，或；②过点E作GH⊥AB于G，交CD于点H，∵AB∥CD，∴△ABE∽△DME，∵，∴AB=4DM，GE=4EH，∴DM=2，CM=6，EH=，同理：BF=4AD=32，∴CF=24，∴，∵，∴，∵，∴，∴与的面积比为=，故答案为：．．【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，翻折的性质，锐角三角函数，熟练掌握各知识点是解题的关键．8．(2023·上海市民办嘉一联合中学九年级月考）如图，矩形中，是边上的一动点，联结、，过点作射线交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，，，（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当时，求；（3）如果是以为底角的等腰三角形，求的长答案:（1）．定义域为；（2）；（3）4或分析：（1）根据条件证明，根据对应边成比例得，代入数值即可；（2）过点M作MF⊥BP，利用△BPM的面积可求出MF的长，利用勾股定理可得PF，BF的长，从而可求的正切值；（3）分∠EBC=∠ECB或∠EBC=∠E两种情况讨论．【详解】解：（1）在矩形中，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，，，．∴所求函数的解析式为．定义域为．（2）如图所示，作，垂足为点．∵，∴．∵，，∴．由的面积，可得，即．解得．∵，，∴．∴．∴．（3）（i）当时，可得，．∴．∴，即．解得或（不符合题意，舍去）（ii）当时，可得，．∴．整理，得．解得或（舍）综上所述，的长为4或．【点睛】本题属于相似形综合题，难度较大，掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用及分类讨论思想解题是本题的解题关键．9．(2023·上海九年级专题练习）如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是．（1）求点的坐标；（2）设点在新抛物线上，联结，如果平分，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．答案:（1）；（2）；（3）或分析：（1）设点D坐标（a，b），可得新抛物线解析式为：y=-（x-a）2+b，先求出点C，点B坐标，代入解析式可求解；（2）通过证明△AOC∽△CHD，可得∠ACO=∠DCH，可证EC∥AO，可得点E纵坐标为4，即可求点E坐标；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+4的顶点为C，∴点C（0，4），∴OC=4，∵tanB=4=，∴OB=1，∴点B（1，0）设点D坐标（a，b）∴新抛物线解析式为：y=-（x-a）2+b，且过点C（0，4），点B（1，0）∴，解得：，∴点D坐标（-1，）（2）如图1，过点D作DH⊥OC，∵点D坐标（-1，），∴新抛物线解析式为：y=-（x+1）2+，当y=0时，0=-（x+1）2+，∴x1=-3，x2=1，∴点A（-3，0），∴AO=3，∴，∵点D坐标（-1，），∴DH=1，HO=，∴CH=OH-OC=，∴，∴，且∠AOC=∠DHC=90°，∴△AOC∽△CHD，∴∠ACO=∠DCH，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，∴EC∥AO，∴点E纵坐标为4，∴4=-（x+1）2+，∴x1=-2，x2=0，∴点E（-2，4）；（3）如图2，∵点E（-2，4），点C（0，4），点A（-3，0），点B（1，0），点D坐标（-1，）∴DE=DC=，，AB=3+1=4，∴∠DEC=∠DCE，∵EC∥AB，∴∠ECA=∠CAB，∴∠DEC=∠CAB，∵△DEF和△ABC相似，∴或，又∵DE=，AC=5，AB=4，∴EF=或，∴点F（-，4）或（，4）设平移后解析式为：y=-（x+1-c）2+4，∴4=-（-+1-c）2+4或4=-（+1-c）2+4，∴c1=，c2=∴平移后解析式为：y=-（x+）2+4或y=-（x-）2+4，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．10．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．（1）求证：；（2）当平分时，求的长；（3）当是等腰三角形时，求的长．答案:（1）证明见解析；（2）；（3）的长为11或或．分析：（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点在的延长线上、点在线段上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，又，∴，∴，即；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，即解得，，∴，解得，；（3）解：作于，∵，，∴，由勾股定理得，，∴，∴，设，则，由勾股定理得，，∵，∴，当点在的延长线上，时，，∴，解得，，∴，当时，，∴，解得：，∴；当时，，∴，解得，，∴；当点在线段上时，为钝角，∴只有，则，∴，解得，，不合题意，∴是等腰三角形时，的长为11或或．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角函数、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．11．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．（1）求直线AB的表达式；（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线的表达式；（3）如果抛物线的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．答案:（1）；（2）；（3）．分析：（1）先设OA，OB，通过抛物线可求得OC，结合∠OCA=∠OAB，运用锐角三角形函数定义求解OA，OB即可；（2）过点D作DG⊥x轴，由△DGA≌△AOC推出D的坐标，从而结合A，D坐标运用待定系数法求解即可；（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H，则可根据平行线分线段成比例列式求解AH和OH，从而求解出抛物线的对称轴，即可求解出抛物线的解析式．【详解】（1）∵设直线与x轴、y轴分别交于点A（2m，0）、B（0，m），∴OA=2m，OB=m．∵∠OCA=∠OAB，∴tan∠OCA=tan∠OAB==．∵（a≠0）经过点C（0，4），OC=4，∴OA=2，OB=1，∴直线AB的表达式为．（2）过点D作DG⊥x轴，垂足为G．∵∠DGA=∠AOC=90°，∠DAG=∠ACO，AD=AC，∴△DGA≌△AOC，∴DG=AO=2，AG=OC=4，OG=2，∴点D（，2）．∵抛物线经过点A、D，∴∴∴抛物线的表达式为．（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H．∵EF∥OC，∴，AH=，OH=，∴∴∴抛物线的表达式为．当时，，抛物线的顶点坐标为．．【点睛】本题考查二次函数的与几何综合问题，涉及到锐角三角函数的运用以及平行线分线段成比例定理，熟记基本定理并灵活运用是解题关键．12．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长；（3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长．答案:（1）10；（2）；（3）或．分析：（1）如图作交BC于点H，设BH=x，根据正切可求出AH=2x，再根据勾股定理解出x即可．（2）作交AC于点E，利用三角形面积公式可求出的长，再利用勾股定理可求出，从而得到．再利用和结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可．（3）根据题意可证明，所以分两种情况讨论①当DQ=DF时，如图，作交BF于点P，，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长②当DF=QF时，如图，作交DQ于点O，同理设，解出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长．【详解】（1）如图作交BC于点H，设BH=x，根据题意，，∴AH=2x，在中，，∴解得x=5．∴BH=5．又∵是等腰三角形，即H点为BC中点，∴BC=2BH=10．（2）根据题意可知，即，∴，∴，．作交AC于点E，∴，得到：，即．，得到：．又∵∴，由，解得，．∵，是等腰三角形，∴也是等腰三角形，∴．（3）∵，，∴，又∵，∴当DQ=DF时，如图，作交BF于点P，设，∵,∴，∴，∴，∵，∵,∴，∴，∵，即解得x=，经检验是原方程的解，即．∴．当DF=QF时，如图，作交DQ于点O，设，同理，，，∵,∴，∴，∴，同理∵，即解得，经检验是原方程的解，．∴．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论．13．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点，（1）求和的长；（2）当时，求的长；（3）联结，当和相似时，求的长．答案:（1）；（2）；（3）或．分析：（1）根据正切三角函数的定义、勾股定理即可得；（2）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得，设，再根据正切三角函数、勾股定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出的值，由此即可得出答案；（3）如图（见解析），设，先根据正切三角函数、勾股定理分别可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后分和两种情况，最后分别利用相似三角形的性质求解即可得．【详解】解：（1）在中，，设，则，由勾股定理得：，，解得，；（2）如图，过点E作于点H，则四边形CFEH是矩形，，在中，，设，则，，是BC的中点，，在中，，，，，，在和中，，，，即，，解得：或（不符题意，舍去），则；（3）如图，过点E作于点H，在中，，设，则，，，，即，在和中，，，，由题意，分以下两种情况：①当时，，，即，解得，；②当时，，，即，解得，；综上，BE的长为或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的运用，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．14．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，,点是边延长线上的一点，，垂足为的延长线交的平行线于点，联结交于点．（1）当点是中点时，求的值；（2）设，求关于的函数关系式；（3）当与相似时，求线段的长．答案:（1）；（2）；（3）分析：（1）过点E作EH⊥CD于H如图易证EH是△DBC的中位线，及△AHE∽△EHD设AH=x，可得，求出x，由tan∠EAH=tan∠EAH=即可（2）取AB中点O，连接OC、OE，如图易证点A、C、B、E四点共圆，由圆周角∠BCA=∠BAF，圆内接四边形得∠CBE+∠CAE=180º，从而∠CBE=∠FAB，得△BCE∽△FAB，CE•FA=BC•AB，y=，(3)过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，从而△BCE与△BGE相似，由∠ECG=∠EBG与点A、C、B、E四点共圆，可证∠ECB=∠ECA，EM=EH，四边形EMCH为正方形有CM=CH，再证Rt△BME≌Rt△AHE（HL）得BM=AH，设AH=a，则MB=a，CM=7-a，CH=1+a，7-a=1+a，在Rt△CHE中CE=，结合CE•FA=35，求AF即可．【详解】过点E作EH⊥CD于H如图则有∠EHA=∠EHD=90º，∵∠BCD=90º，BE=DE，∴CE=DE，CH=DH，∴EH=BC=，设AH=x，则DH=CH=x+1,∵AE⊥BD,∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90º,∵∠AEH+∠EAH=90º,∴∠EAH=∠DEH,∴△AHE∽△EHD，∴EH2=AH•DH，∴，，负根舍∴tan∠EAH=，∵BF∥CD，∴∠AFB=∠EAH，∴tan∠EAH=，（2）取AB中点O，连接OC、OE，如图，∵∠BCA=∠BEA=90º，∴OC=OA=OB=OE，∴点A、C、B、E四点共圆，∴∠BCA=∠BAF，∴∠CBE+∠CAE=180º，∵BF∥CD，∴∠BFA+∠CAE=180º，∴∠CBE=∠FAB，∴△BCE∽△FAB，，∴CE•••FA=BC•AB，∵∠BCA=90º，BC=7，AC=1，∴AB=5，∴CE•AF=7×5=35，由CE=x，AF=y，xy=35，∴y=，(3)过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90º，∴四边形EMCH为矩形，∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，∴△BCE与△BGE相似，∴∠ECG=∠EBG，∵点A、C、B、E四点共圆，∴∠ECA=∠EBG，∴∠ECB=∠ECA，∴EM=EH，∴四边形EMCH为正方形，∴CM=CH，∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45º，∴∠EBA=∠EAB=45º，∴EB=EA，∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），∴BM=AH，设AH=a，则MB=a，CM=7-a，CH=1+a，∴7-a=1+a，∴a=3，∴CH=4，在Rt△CHE中，cos∠ECH=，∴CE=，由（2）得CE•FA=35，AF=．【点睛】本题考查求∠AFB正切值，函数关系，△BGE与△BAF相似时，求线段AF的长问题，难度较大，知识点较多，是综合利用知识的典范，能引辅助线拓展条件，会证中位线，相似三角形，利用相似三角形构造方程，能利用定义求三角函数值，会证点四点共圆，由同弧所对圆周角∠BCA=∠BAF，圆内接四边形对角得∠CBE=∠FAB，利用相似三角形CE•••FA=BC•AB，会证四边形EMCH为正方形，来增加条件证Rt△BME≌Rt△AHE（HL）得BM=AH，够找等量关系解直角三角形求CE，求AF是关键．15．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）若二次函数图像与坐标轴有三个交点，我们把以交点为顶点的三角形叫做二次函数交轴三角形，已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，交轴三角形的面积为．（1）求抛物线的对称轴及表达式（2）若点在轴上方的抛物线上，且．求点的坐标．（3）在（2）的条件下，过作射线交线段于点，使得，连结．试问与是否垂直，请通过计算说明．答案:（1）x=1，；（2）；（3）垂直，见解析分析：(1)y=ax2−2ax−4，利用对称轴x=-公式求得，由S△ABC=12，AB•OC=12，AB=6，设A（x1，0），B（x2，0），则x2-x1=6，由根与系数关系，x1+x2=2，联立解出x1，x2，由即可(2)设P（x,y），y>0，点P在抛物线上，过p作PD⊥x轴于D（x,0），AD=x+2，tan∠PAB=，得2y=x+2，与抛物线联立得x2-3x-10=0，可求P(5，)，（3）设CE交x轴于点G，过G作GH⊥BC于H，EM⊥x轴于M，∠PAB=∠ECB，利用正切比相等tan∠PAB=tan∠ECB=，相确定△OBC为等腰直角三角形，在Rt△OCB中，由勾股定理得，CB=4，BH：CH=1:2，可求G（，0），CG解析式为y=3x-4，AP解析式y=，求交点E（2,2），确定△EMB为等腰直角三角形，∠EBC=∠CBO+∠EBM=45º+45º=90º，EB⊥BC．【详解】(1)y=ax2−2ax−4，对称轴x=-=1，由S△ABC=12，∴x=0，y=-4，C(0,-4)，∴OC=4，∵AB•OC=12，∴AB=6，设A（x1，0），B（x2，0），则x2-x1=AB=6，当y=0时，ax2-−2ax−4=0，由根与系数关系，x1+x2==2，∴，∴，∴，∴y=x2−x−4，(2)设P（x,y），y>0，点P在抛物线上，过p作PD⊥x轴于D（x,0），∴AD=x+2，y=x2−x−4，由tan∠PAB=，∴2y=x+2，∴x2-3x-10=0，∴(x-5)(x+2)=0，∴x=5，∴y=，∴P(5，)，（3）设CE交x轴于点G，过G作GH⊥BC于H，EM⊥x轴于M，∠PAB=∠ECB，由tan∠PAB=tan∠ECB=，由OC=4,OB=4，∴OC=OB=4，∴∠OBC=45º，∴GH=BH，在Rt△OCB中，由勾股定理得，CB=4，由BH：CH=1:2，∴GH=HB=，∴GB==，∴G（，0），设CG解析式为y=kx+b，AP解析式为y=k1x+b1，y=kx+b过C（0，-4）、G（，0）两点，则y=3x-4，y=k1x+b1过A（-2，0）、P(5，)两点，则y=，联立得，解得，∴E（2,2），∴EM=2，BM=4-2=2，∴EM=BM，∴∠MBE=45º，∴∠EBC=∠CBO+∠EBM=45º+45º=90º，∴EB⊥BC．【点睛】本题考查对称轴，抛物线解析式，tan∠PAB=的点P坐标与EB⊥BC，涉及知识较多，掌握对称轴公式，待定系数法求解析式，会利用正切比求坐标，，通过数形结合与图中的相关信息，确定相确定△OBC与△EMB为等腰直角三角形，为解题关键．16．(2023·上海市西南模范中学九年级月考）在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，的延长线交于点．（1）当时，求线段的长；（2）当时，求线段的长．答案:（1）；（2）或AD=．分析：（1）先求出AC，BC的长，证出∠CAF=∠BCD，再得到∠CAF和∠BCD的三角函数值都与∠BCD的三角函数值相等，进一步得到BF的长；（2）分两种情况①当点F在线段BC上时，根据三角函数值相等得到比例式，进而得到方程，求出BG的长，再由平行得到△ACD和△BDG相似从而得到相似比，得出方程求出AD的长；②当点F在CB的延长线上时，方法可参照①．【详解】解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=，∴BC=4，AC=3，∵AE⊥CD，∠ACB=90°，∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，∴∠CAF=∠BCD∴tan∠CAF=tan∠BCD=，又∵∠ACB=90°，AC=3，∴CF=，BF=；（2）①如图1中，当点F在线段BC上时，过点B作BG//AC，交CD延长线于点G，∵tan∠CAF=tan∠BCD，∴=，即，∴BG=，∵BG//AC，∴∠ACD=∠G，∠CAD=∠DBG，∴△BGD∽△ACD∴，即，∴AD=．②如图2中，当点F在CB延长线上时，过点B作BG//AC，交CD延长线于点G，∵tan∠CAF=tan∠BCD，∴，即，∴BG=7，∵BG//AC，∴∠ACD=∠G，∠CAD=∠DBG，∴△BGD∽△ACD∴，即∴AD=．【点睛】本题考查三角形的三角函数的应用、相似的判定与性质，用到了分类讨论的思想，转化为方程去思考是解题的关键，本题是一道难度较大的综合题．17．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．答案:（1）y＝x2﹣4x+3，C（2，﹣1）；（2）P（0，4﹣7）；（3）E（4，3）分析：（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．【详解】解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A（3，0），把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由题意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵点E在抛物线上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，结合的相似三角形、三角函数表示等知识点，综合理解能力要求比较高。三、填空题18．(2023·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____．答案:3分析：如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，通过计算得到等腰三角形△ABE，利用等腰三角形的三线合一得出AF⊥BE，接着推出∠AOC＝∠ABF．在Rt△ABF中，由勾股定理求出两直角边的长，再依据正切值的意义可求解．【详解】解：如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，可知AF经过点C，BE经过点F，设网格中的小正方形的边长为1，则AE=AB＝，∵F是BE的中点，∴AF⊥BE．由题意：∠DCB＝∠CBE＝45°．∴CD∥BE，∴∠AOC＝∠ABF．∴tan∠AOC＝tan∠ABF．∵BF＝，AF＝，∴tan∠ABF＝．∴tan∠AOC＝3．故答案为：3．【点睛】本题考察了网格中的边和角的计算问题，涉及到了等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识，要求学生能挖掘出图中的隐含条件，构造直角三角形，利用正切公式求出角的正切值，本题蕴含了数形结合的思想方法．19．(2023·上海九年级专题练习）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是_____．答案:分析：如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短；【详解】解：如图，作射线BG．∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，∵∠CDF是定值，∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝2m，在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴1＝m2+4m2，∴m＝（负根已经舍弃），∴EG的最小值为，故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性子，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，以及锐角三角函数的知识，20．(2023·上海金山区·九年级一模）已知在中，，，，以点为直角顶点的的顶点在的延长线上，交的延长线于点，若，，那么的长等于______．答案:分析：根据题意画图，作AH⊥CE于H，根据得出，由等边对等角得，根据三角形的内角和可得出，得出AK=AC，利用等腰三角形三线合一得KH=CH，再证出AH为的中位线，可得出AK，AD的长，利用勾股定理求出AB，AB+AD即可得的长．【详解】解：如图，作AH⊥CE于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴AK=AC=2，∵AH⊥CE，，∴KH=CH，，∴AH为的中位线，∴A为DK的中点，DK=2AK=4，AD=AK=2，∵，，，∴AB=，∴BD=AD+AB=．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．21．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________．答案:分析：如图，过点D作DG⊥AC于G，可得DG//BC，即可证明△AGD∽△ACB，可得，由CD是角平分线可得∠ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠CC′A=45°，可得∠CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得∠DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案．【详解】如图，过点D作DG⊥AC于G，∵∠ACB=90°，∴DG//BC，∴△AGD∽△ACB，可得，∵CD是角平分线，∴∠ACD=45°，∴CG=DG，∵AC=3，AC=AG+CG，∴+CG=3，即=3，解得：DG=，∴AG=，∴AD==，∵将绕点旋转，如果点落在射线上，∴AC′=AC，AE=AB，∴∠CC′A=∠ACD=45°，∴∠CAC′=90°，∴旋转角为90°，∴∠DAE=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB=5，=．故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．22．(2023·上海九年级专题练习）在中，，，点、分别是边、的中点，已知点在线段上，联结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果点、、在同一直线上，那么______．答案:或．分析：分两种情形：①当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．【详解】解：①如图2中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∵AC＝AB，∠ACB＝90°∴∠CEF＝∠CAB＝45°，∵PD＝PA，∠APD＝90°∴∠PAD＝∠PDA＝45°，∴∠HDC＝∠PDA＝45°，∵点是边的中点，∴EA＝EP＝EC∴∠EPC＝∠CEP，∵∠HDC＝∠DCA+∠DAC＝45°，∠CEF＝∠DCA+∠EPC＝45°，∴∠DAC＝∠EPC＝∠ECP，∴DA＝DC，设AP＝a，则,∴∴②如图3中，当点P在线段CD上时，由①可知，EF∥AB，∠CAB＝∠PDA＝45°，∴∠CAD＝180°-∠ACD-45°，∠COA＝180°-∠ACO-45°∴∠CAD＝∠COA，∵EF∥AB，∴∠CPE＝∠COA，∴∠CPE＝∠CAD，∵