中考数学必考特色题型讲练(河南专用)【选择题】必考重点02圆的性质(原卷版+解析)

【选择题】必考重点02圆的性质关于圆的性质的考查，在江苏省各地级市中都有考查，考点主要集中在切线的性质与判定、圆周角定理，其中切线的考查较多，难度由简单到较难不等，对于圆的考查在选择题中并不仅限于考查圆的性质，垂径定理、圆与多边形以及与圆有关的计算等也都有考查，大多比较简单，没有作为一个单独的专题进行讲解。在解决圆周角有关题目时，首先要把握圆周角的概念，能够在图形中找到圆周角是解决此类题目的关键，然后运用圆周角定理及其推论找到相等的角、弧、弦等，通过转化即可求解。在解决圆的切线的有关题目时，应熟练掌握圆的切线的概念和判定定理以及圆的切线的性质，能够运用切线的性质，证明角度、线段之间的关系，重点掌握利用切线性质证明三角形相似的方法。【2022·江苏镇江·中考母题】如图，在等腰中，，BC=，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考点分析】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．【思路分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．【2021·江苏镇江·中考母题】如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（

）A．27° B．29° C．35° D．37°【考点分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【思路分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．【2020·江苏淮安·中考母题】如图，点、、在圆上，，则的度数是（

）A． B． C． D．【考点分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的度数是解答的关键．【思路分析】先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．【2020·江苏徐州·中考母题】如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（

）A． B． C． D．【考点分析】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.【思路分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.1．（2022·江苏南通·一模）如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（

）．A．2 B． C．3 D．2．（2022·江苏徐州·模拟）如图，是正方形的内切圆，切点分别为，，，，与相交于点，则的值是（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏南京·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（

）A．70° B．55° C．35° D．20°4．（2022·江苏连云港·二模）如图，弦CD所对的圆心角为，AB为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠DEF的值为（

）A． B．C． D．5．（2022·江苏苏州·一模）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（

）A． B． C． D．16．（2022·江苏无锡·模拟）如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，则sin∠ACP的值为（）A． B． C． D．无法确定7．（2022·江苏南通·二模）如图，的直径为10cm，△ABC内接于，，则下列量中不能确定的是（

）A．∠A的度数 B．弦BC的长 C．弦AC的长 D．的长8．（2022·江苏·景山中学三模）如图，AB是的直径，CD是的弦，连结AC、AD、BD，若，则的度数为A． B． C． D．9．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（）．A．60° B．50° C．40° D．20°10．（2022·江苏扬州·模拟）如图，点A，B，C，D在上，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ACB=（

）A． B． C． D．11．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，，与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线交于点D，于点E，延长交于点F，则下列结论正确的个数有（）①；②的长为；③；④；⑤为定值A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．（2022·江苏苏州·一模）如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．其中，一定正确的是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．③④13．（2022·江苏无锡·一模）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（

）A． B． C． D．14．（2022·江苏苏州·模拟）如图，点在以为直径的半圆内，连接、，并延长分别交半圆于点、，连接、并延长交于点，作直线，下列说法一定正确的是（

）①垂直平分；②平分；③；④．A．①③ B．①④ C．②④ D．③④15．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，是的内接三角形，，过点C的圆的切线交的延长线于点P，则的度数为（

）A． B． C． D．16．（2022·江苏徐州·模拟）如图，是的直径，切于点，交于点，连接．若，则等于（

）A． B． C． D．17．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，AB是的直径，点C在上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在弧AC上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若，则的度数为（

）A．55° B．50° C．45° D．40°18．（2022·江苏·南通市东方中学一模）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为（

）A．2 B．3 C．1 D．2.519．（2022·江苏无锡·一模）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，过点D作DE⊥DF分别交AB、AC于E、F（不与B、C重合）．取EF的中点O，连接AO并延长交BC于G，连接EG、FG．随着点E、F的位置的变化，有以下四个结论：①DE＝DF；②四边形AEDF的面积始终为9；③∠EGF＝90°；④四边形AEGF的面积有最小值为9．其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④20．（2022·江苏盐城·一模）如图，是△ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（

）A．120° B．135° C．150° D．160°21．（2022·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝；④＝．其中正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④22．（2022·江苏南京·模拟）如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（）个①；②当时，；③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；④当时，．A． B． C． D．23．（2022·江苏南京·模拟）如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（）A． B． C． D．24．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H．若⊙O的半径为4，则MA―MH的最大值为（

）A． B． C．1 D．225．（2022·江苏·苏州市第十六中学一模）如图，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（

）A．2 B． C． D．【选择题】必考重点02圆的性质关于圆的性质的考查，在江苏省各地级市中都有考查，考点主要集中在切线的性质与判定、圆周角定理，其中切线的考查较多，难度由简单到较难不等，对于圆的考查在选择题中并不仅限于考查圆的性质，垂径定理、圆与多边形以及与圆有关的计算等也都有考查，大多比较简单，没有作为一个单独的专题进行讲解。在解决圆周角有关题目时，首先要把握圆周角的概念，能够在图形中找到圆周角是解决此类题目的关键，然后运用圆周角定理及其推论找到相等的角、弧、弦等，通过转化即可求解。在解决圆的切线的有关题目时，应熟练掌握圆的切线的概念和判定定理以及圆的切线的性质，能够运用切线的性质，证明角度、线段之间的关系，重点掌握利用切线性质证明三角形相似的方法。【2022·江苏镇江·中考母题】如图，在等腰中，，BC=，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考点分析】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．【思路分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．【答案】C【详解】解：如图：作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO==6∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ACB=30°，CD=BC=∴AD==3∴⊙A的半径为3,∴⊙O与⊙A的半径和为6∵AO=6∴⊙O与⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直线是⊙A的切线∴BC所在的直线与⊙O相切∴当=360°时，BC所在的直线与⊙O相切同理可证明当=180°时，所在的直线与⊙O相切．当⊥AO时，即=90°时，所在的直线与⊙O相切．∴当为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切故答案选C．【2021·江苏镇江·中考母题】如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（

）A．27° B．29° C．35° D．37°【考点分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【思路分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．【答案】A【详解】解：连接OD，∵⊙O与边AC相切于点D，∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴，故选：A．【2020·江苏淮安·中考母题】如图，点、、在圆上，，则的度数是（

）A． B． C． D．【考点分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的度数是解答的关键．【思路分析】先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．【答案】C【详解】∵在圆O中，∠ACB=54º，∴∠AOB=2∠ACB=108º，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==36º，故选：C．【2020·江苏徐州·中考母题】如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（

）A． B． C． D．【考点分析】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.【思路分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.【答案】B【详解】∵，∴∠APO=70°，∵，∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，又∵OA=OB，∴∠ABO=20°，又∵点C在过点B的切线上，∴∠OBC=90°，∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°，故答案为：B.1．（2022·江苏南通·一模）如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（

）．A．2 B． C．3 D．【答案】B【思路分析】首先由垂径定理证得AB=2AE，△BEO是等腰直角三角形；然后利用勾股定理求得BE的长，进而求得AB的长即可．【详解】∵OC⊥AB，∴=，AB=2BE，∠BEO=90°，∵∠ADC=22.5°，∴∠COB=45°，∴OE=BE，在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2，∵OC=2，∴OE=BE=∴AB=2BE=故选：B2．（2022·江苏徐州·模拟）如图，是正方形的内切圆，切点分别为，，，，与相交于点，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【思路分析】连接EG，根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．【详解】解：连接EG，∵EG是切点，∴EG过圆心O，∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，∴AEAB，EG＝BC，根据同弧所对的圆周角相等可得：∠MFG＝∠MEG．∴tan∠MFG＝tan∠MEG．故选：B．3．（2022·江苏南京·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（

）A．70° B．55° C．35° D．20°【答案】C【思路分析】根据圆内接四边形的对角互补可得，再由三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等即可求解．【详解】四边形ABCD内接于⊙O，，∠B＝70°，，，D是的中点，，．故选：C．4．（2022·江苏连云港·二模）如图，弦CD所对的圆心角为，AB为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠DEF的值为（

）A． B．C． D．【答案】C【思路分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再判断出点四点共圆，然后根据圆周角定理即可得．【详解】解：如图，连接，弦所对的圆心角为，，，且点是的中点，，（等腰三角形的三线合一），又，点四点共圆，则由圆周角定理得：，故选：C．5．（2022·江苏苏州·一模）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（

）A． B． C． D．1【答案】D【思路分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据是半圆弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根据，求出OD=OC=OA=，利用三角函数ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，∵是半圆弧的，∴∠AOD=60°，∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO=60°，AD=OA，∵点C在半圆弧的中点处，∴=半圆弧的一半，∴∠CAO=45°，∵，∴AD=OA=，∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cos45°-cos60°sin45°）=2×=1．故选择：D．6．（2022·江苏无锡·模拟）如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，则sin∠ACP的值为（）A． B． C． D．无法确定【答案】B【思路分析】连接BC，OC，先证明△PAC∽△PCB，则，设AC＝2k，BC＝3k，AB，从而求出sin∠ACP．【详解】解：如图，连接BC，OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，∴∠PCA=∠BCO，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠PCA=∠CBO，∵∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，于是，设AC＝2k，BC＝3k，由∠ACB＝90°得，AB，∴sin∠ACP＝sin∠ABC．故选：B．7．（2022·江苏南通·二模）如图，的直径为10cm，△ABC内接于，，则下列量中不能确定的是（

）A．∠A的度数 B．弦BC的长 C．弦AC的长 D．的长【答案】C【思路分析】连接CO并延长交于点D，连接BD，OB．由可知的度数是确定的，由圆周角定理可知，，，通过解可知弦BC的长是确定的，通过弧长公式可以推出的长是确定的，的度数不确定导致弦AC的长不能确定．【详解】解：如图所示，连接CO并延长交于点D，连接BD，OB，∵，∴的度数是确定的；∵是的直径，∴，∵，∴的值是确定的，∴是定值，即弦BC的长是确定的；∵，∴是确定的，∴的长，∴的长是确定的；∵的度数不确定，∴弦AC的长不能确定，故选：C．8．（2022·江苏·景山中学三模）如图，AB是的直径，CD是的弦，连结AC、AD、BD，若，则的度数为A． B． C． D．【答案】B【思路分析】先求出，由，可得．【详解】是的直径，，又圆周角定理，．故选：B．9．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（）．A．60° B．50° C．40° D．20°【答案】B【思路分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.【详解】解：连接，∵为的直径，∴．∵，∴，∴．故选B．10．（2022·江苏扬州·模拟）如图，点A，B，C，D在上，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ACB=（

）A． B． C． D．【答案】C【思路分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC，进而得出答案．【详解】∵，∠CAD=30°，∴∠CAB=∠CAD=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ADB=∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-50°-30°-30°=70°．故选：C．11．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，，与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线交于点D，于点E，延长交于点F，则下列结论正确的个数有（）①；②的长为；③；④；⑤为定值A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【思路分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD=PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误；②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误；③由∠BOC=60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；④证明∠CPB=∠CBF=30°，∠PCB=∠BCF，可得△BCF∽△PCB相似；⑤由等边△OBC得BC=OB=4，再由相似三角形得CF•CP=BC2，便可判断正误．【详解】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BAH=30°，∵BD与半圆O相切于点B．∴∠ABD=90°，∴∠H=60°，∵∠ACP=∠ABP，∠ACP=∠DCH，∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°，∵∠PBD=90°-∠ABP，若∠PDB=∠PBD，则∠ABP+60°=90°-∠ABP，∴∠ABP=15°，∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，∴∠PDB不一定等于∠ABD，∴PB不一定等于PD，故①错误；②∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BOC=×180°＝60°，∵直径AB=8，∴OB=OC=4，∴的长度=，故②正确；③∵∠BOC=60°，OB=OC，∴∠ABC=60°，OB=OC=BC，∵BE⊥OC，∴∠OBE=∠CBE=30°，∵∠ABD=90°，∴∠DBE=60°，故③错误；④∵M、C是的三等分点，∴∠BPC=30°，∵∠CBF=30°，∠PCB=∠BCF，∴△BCF∽△PCB故④正确；⑤∵∠CBF=∠CPB=30°，∠BCF=∠PCB，∴△BCF∽△PCB，∴，∴CF•CP=CB2，∵CB＝OB＝OC＝AB＝4，∴CF•CP=16，故⑤正确．故选：B．12．（2022·江苏苏州·一模）如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．其中，一定正确的是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．③④【答案】D【思路分析】①AB为直径，所以∠ACB＝90°，就是AC⊥BF，但不能得出AC平分BF，故错，②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF，③证出D、P、C、F四点共圆，再利用△AMP∽△FCP，得出结论．④由直径所对的圆周角是直角即可得到结论．【详解】解：①∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，故①错误，②如图，连接CD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDF＝90°，假设AC平分∠BAF成立，则有DC＝BC，∴在Rt△FDB中，DC＝BC＝FC，∴AC⊥BF，且平分BF，与①中的AC⊥BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，故②错误，③∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∴D、P、C、F四点共圆，∴∠CFP和∠CDB都对应，∴∠CFP＝∠CDB，∵∠CDB＝∠CAB，∴∠CFP＝∠CAB，又∵∠FPC＝∠APM，∴△AMP∽△FCP，∵∠ACF＝90°，∴∠AMP＝90°，∴FP⊥AB，故③正确，④∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AF．故④正确，综上所述只有③④正确．故选：D．13．（2022·江苏无锡·一模）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．【详解】解：∵AE、CD切⊙O于点A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为：，∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，故选：A．14．（2022·江苏苏州·模拟）如图，点在以为直径的半圆内，连接、，并延长分别交半圆于点、，连接、并延长交于点，作直线，下列说法一定正确的是（

）①垂直平分；②平分；③；④．A．①③ B．①④ C．②④ D．③④【答案】D【思路分析】①AB为直径，所以∠ACB＝90°，就是AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，故错，②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF，③先证出D、P、C、F四点共圆，再利用△AMP∽△FCP，得出结论．④直径所对的圆周角是直角．【详解】证明：①为直径，，垂直，但不能得出平分，故①错误，②如图1，连接，为直径，，，假设平分成立，则有，在中，，，且平分，垂直，但不能得出平分，与①中的垂直，但不能得出平分相矛盾，故②错误，③如图为直径，，，、、、四点共圆，和都对应，，，，又，，，，，故③正确，④为直径，，．故④正确，综上所述只有③④正确．故选：D．15．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，是的内接三角形，，过点C的圆的切线交的延长线于点P，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【思路分析】连接OC，BP与圆交于点D，连接CD，利用切线的性质和圆周角定理得出∠PCD=∠OCB；再由△PCD∽△PBC，得出∠PDC=∠PCB=115°，进而求得∠PCD便可解答．【详解】解：如图，连接OC，BP与圆交于点D，连接CD，∵PC是圆的切线，∴∠PCO=90°，∵BD是圆的直径，∴∠BCD=90°，∴∠PCD+∠DCO=90°，∠BOC+∠DCO=90°，∴∠PCD=∠OCB，∵OC=OB，则∠OCB=∠OBC，∴∠PCD=∠PBC，∵∠P=∠P，∴△PCD∽△PBC，∴∠PDC=∠PCB；∵∠A=∠BDC=65°，∴∠PDC=∠PCB=115°，∴∠PCD=115°-90°=25°，∴∠P=∠BDC-∠PCD=65°-25°=40°，故选：D．16．（2022·江苏徐州·模拟）如图，是的直径，切于点，交于点，连接．若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【思路分析】先由，，求得的度数，再结合是的直径，切于点A，即可得到结论．【详解】解：，是的直径，切于点A，，即，故选：D．17．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，AB是的直径，点C在上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在弧AC上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若，则的度数为（

）A．55° B．50° C．45° D．40°【答案】B【思路分析】连接，由圆内接四边形的性质求出的度数，由等腰三角形的性质可求出的度数，再根据切线的性质求出答案即可．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是圆的内接四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的切线，∴，即，∴．故选：B18．（2022·江苏·南通市东方中学一模）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为（

）A．2 B．3 C．1 D．2.5【答案】A【思路分析】连接，根据勾股定理逆定理的性质，得，根据切线和相似三角形的性质，推导得、，再根据全等三角形的性质，推导得，通过计算即可得到答案．【详解】如图，设切线AC与半圆的切点为E，连接根据题意，得，，∵AB=10，AC=8，BC=6∴∴∵∴∴∴，∴，和中∴∴∴故选：A．19．（2022·江苏无锡·一模）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，过点D作DE⊥DF分别交AB、AC于E、F（不与B、C重合）．取EF的中点O，连接AO并延长交BC于G，连接EG、FG．随着点E、F的位置的变化，有以下四个结论：①DE＝DF；②四边形AEDF的面积始终为9；③∠EGF＝90°；④四边形AEGF的面积有最小值为9．其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【思路分析】证明△BDE≌△ADF，即可判断①正确；根据①的结论判断②正确；以点O为圆心，OE为半径作圆O，由∠BDA=90°，证得AG为圆O的直径，即点G在圆O上，即可判断③正确；设AF=x，则BE=AF=x，AE=6-x，证明四边形AEGF是矩形，利用矩形面积公式求出四边形AEGF的面积=，利用二次函数的性质得到四边形AEGF的面积有最大值为9，即可判断④错误．【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，∴AD=BD=CD，∠B=∠CAD=45°，∠ADB=90°，∵∠EDF=90°，∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF，∴∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF，故①正确；∴四边形AEDF的面积==，∴四边形AEDF的面积始终为9，故②正确；以点O为圆心，OE为半径作圆O，连接OD，∵∠EDF=90°，点O为EF的中点，∴OD=OE=OF=OA，∵∠ADG=90°，∴∠GAO+∠AGD=∠ADO+∠GDO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠AGD=∠ODG，∴OA=OD=OA，∴AG为圆O的直径，即点G在圆O上，∴∠EGF=90°，故③正确；设AF=x，则BE=AF=x，AE=6-x，∵OA=OG=OE=OF，∴四边形AEGF是平行四边形，∵∠EAF=90°，∴四边形AEGF是矩形，∴四边形AEGF的面积=，∴当x=3时，四边形AEGF的面积有最大值，最大值为9，故④错误；正确的有①②③．故选：A．20．（2022·江苏盐城·一模）如图，是△ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（

）A．120° B．135° C．150° D．160°【答案】B【思路分析】连接OB和OC，作OD⊥BC，求出∠BOD=∠DBO=45°，再求出∠BOC的度数，最后利用圆周角定理得出∠A．【详解】解：连接OB和OC，作OD⊥BC，∵圆O半径为，BC=6，OD⊥BC，∴OB=，BD=3，∠BDO=90°，∴，∴∠BOD=∠DBO=45°，∴∠BOC=90°，∴∠A=135°，故选：B．21．（2022·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝；④＝．其中正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】C【思路分析】①易求得DF长度，即可判定；②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定；③易证AE=2EF，EF=2EC即可判定；④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S阴影即可解题.【详解】解：①∵△ABE沿AE折叠得△AFE，∴AF=AB=6，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=3，∴DF===3，∴DF=CF=3∴F是CD中点；∴①正确；②连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴，设OP=OF=x，则，解得：x=2，∴⊙O的半径是2；∴②正确；③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，∴∠EAF=∠EAB=30°，∴AE=2EF；∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°-∠AFD=30°，∴EF=2EC，∴AE=4CE，∴③错误；④连接OG，PG，作OH⊥FG，∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG为等边三角形；∴∠GOF=60°，∵OP∥CD，∴∠AOP=∠AFD=60°，∴∠POG=180°-∠AOP-∠GOF=60°，∵OP=OG，∴△OPG为等边三角形；∴∠POG=∠FOG=60°，OH=，S扇形OPG=S扇形OGF，∴S阴影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+（S扇形OGF-S△OFG）=S矩形OPDH-S△OFG=2×-××2×=．∴④正确；其中正确的结论有：①②④，3个；故选C．22．（2022·江苏南京·模拟）如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（）个①；②当时，；③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；④当时，．A． B． C． D．【答案】D【思路分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断④【详解】解：在中，．，故①正确；作AG⊥BD于G，在Rt△ABC中，，∵AD=AB=5，AG⊥BD∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG，在Rt△DCB中，，∴DG=BG=，在Rt△BGA中，，∴，故②当时，正确；AD=t，BE=2t，cosA=，当时，，，∴，∵，∴cosA=，∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠DEB=90°，∴与相切，故③以点为圆心、为半径画，当时，与相切正确；过E作EH