2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 711 数系的扩充和复数的概念 作业

2020-2021学年新教材人教A版必修第二册7.1.1数系的扩充和

复数的概念作业

一、选择题

1、已知复数二满足—2（i是虚数单位），则Izl的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

2、在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3、已知复数zi，z2在复平面内对应的点分别为（1.1）.（0.1）,则5=（）

A.1+iB.-l+iC.-1-iD.l-i

4、欧拉公式/=cos6+isin夕（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名

数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的

关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当。=乃时，就有0加+1=°,根据上

述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5、已知复数2=5抽2019。+8$2019。，.，则复平面表示z的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6、已知i为虚数单位，复数二满足以一2-刈=1,则z在复平面内对应的点所在的象限

为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7、设非零复数Z。为复平面上一定点，乙为复平面上的动点，其轨迹方程Z-Zo|=|ZJ,

z为复平面上另一个动点满足zz=-i,则Z在复平面上的轨迹形状是（）

2±_±_±

A.焦距为Z«的双曲线B.以4）为圆心，4为半径的圆

C.一条直线D.以上都不对

8、已知复数z=x+M（x,yeR）满足|Z—2|=G,则7的最大值为（）

]_昱昱

A.2B.3c.2D.&

9、设复数二满足但―’"=2+0则z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10、关于复数3—4i的说法正确的是（）

①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5

③在复平面内对应的点在第四象限；④共钝复数为3+4i

A.①③B.①@④C.①②③④D.①③④

2-i

11、在复平面内，复数i对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12、设复数马=-1+*Z2=3-i（i是虚数单位），若复数z满足Iz-zJ-|z-Z2l=4,

Z+Z

IZ--lL——2Hi

则2的最小值是（）

A.1B.2c.&D.百

二、填空题

13、在复平面内，。是原点，向量函对应的复数是-5+21,点A关于实轴的对称点

为点B,则向量砺对应的复数为.

14、复数z=2-3i在复平面内的对应点在第象限.

15、已知复数z2）+（/-9）/・在复平面内对应的点位于第三象限，则实数皿的取

值范围是.

16、已知实数X,〃满足胃+（1+2》_〃_/.=0,贝产=,P=.

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知“是实数，〃是纯虚数，且满足5一人=3+初，求/+〃

的值.

18、（本小题满分12分）如图所示，平行四边形的顶点0,A,C对应复数分别

为0,3+2i,-2+4i,试求

①行所表示的复数，1所表示的复数；

②对角线瓦所表示的复数；

③对角线丽所表示的复数及砺的长度.

19、（本小题满分12分）已知下列复数：2+，、-3/\-3+4/\4.

（1）在复平面上作出表示这些复数的向量；

（2）在复平面上作出表示这些复数的点关于实轴的对称点.

20、（本小题满分12分）当加为何值时，复数2=（〃"2"2）+（2加+3»（加6/?）在复平

面上的对应点：

（1）在第一象限？

⑵在直线X一）'-9=0上？

（3）在直线％=8右侧？

参考答案

1、答案B

由复数的几何意义可知Z对应的轨迹，从而得到।z।的最大值.

详解：由复数的模的几何意义可知，

复数z在复平面内对应的点Z的轨迹为：以（°，D为圆心，以2为半径的圆的内部（包括

圆周）.

而।z।表示点Z到点（°，°）的距离，

所以当点Z为（℃）时，|z|最大，

故Izl的最大值是3.

故选：B.

2、答案D

由复数的几何意义作出相应判断.

解：'/sin2>0,cos2<0,.'.z=sin2+icos2对应的点在第四象限，故选D.

3、答案D

勺

由已知条件可得4/2,然后代入云，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

详解

•.•复数Z14在复平面内对应的点分别为（1,1）,（0,1）,

/.zi=l+i,4=i.

Zj1+i-i（l+i）

故选：D.

4、答案D

根据欧拉公式及复数的几何意义，即可求得对应点的坐标，进而判断在复平面对应的点

所在象限.

详解：欧拉公式e'"=cos6+isin。,

173.

=------1

22

fl㈤

2’2

对应点的坐标为1人所以在第四象限，

故选：D.

5、答案C

由诱导公式分别判断sin2019°<0,cos2019°<0,由复数的几何意义即可得解.

详解由sin2019°=sin(2019—1800)°=sin2190<0

cos2019°=cos(2019-1800)°=cos2190<0

所以z在复平面对应的点为(Sin219°,cos219。)，在第三象限.

故选：C.

6、答案A

由复数的几何意义可得，复数z在复平面内对应的点Z在以(2,3)为圆心，1为半径

的圆上，根据图像即可得答案.

详解：设复数z=a+bi,则z-2-3i=a-2+(b-3)i,所以

22

|z-2-3;|=7(«-2)+(/?-3)=1；即-2)2+S-3尸=1,则复数z在复平面内对应

的点Z在以(2,3)为圆心，1为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点在第一象限.

故选A.

7、答案B

由Z-z0|=|zJ,知点Z1的轨迹为连接原点。和定点z°的线段的垂直平分线，

因为ZZ=T,所以'Z,将此式整体代入点Z1的方程，化简即可得解.

详解

由|4-z0|=|zj,知点4的轨迹为连接原点°和定点Z。的线段的垂直平分线，

z=-

因为Z|Z=7,所以'Z,

--Z=

将此式整体代入点4的方程，得Z°|||

即两边同时乘以Z。，得z°Z。，

1_J_

所以Z在复平面上的轨迹是以Z。为圆心，Z。为半径的圆，

故选:B.

8、答案D

£

根据复数的几何意义求出复数z=x+yi的轨迹方程再根据X的几何意义求解即可.

详解

y

因为|z-2|=百，故|(x-2)+M=G,即(x-2)-+y2=3,又X的几何意义为(x,y)

到(°'°)的斜率.故当过原点的直线与(”—2)2+V=3切于第一象限时x取得最大值.

sin^=—0^——tan—=V3

此时设切线的倾斜角为6则2,易得3.故X的最大值为3.

故选：D

9、答案A

利用复数的乘除法运算法则化简，根据几何意义确定z在复平面内对应的点所在象限.

2+z(2+z)(2+i)3+4/34.

Z----------------------------------——+—I

2-i(2-z)(2+z)555

则z在复平面内所对应的点的坐标为位于第一象限.

故选：A.

10、答案C

根据复数的代数形式，复数的几何意义，共朝复数的概念判断①②③④均正确.

详解：复数3—4i的实部和虚部分别为3和-4,①正确；

复数模为5,②正确；

在复平面内对应的点为3Y)在第四象限，③正确;

复数3—4i的共轨复数为3+4i,④正确.

故选：C.

11、答案c

2-i

根据复数除法运算法则，求出i的实部和虚部，即可得出结论.

2-i_（2-/）（-/）_,

详解：i—~i2一,

2-i

i对应点的坐标为（一1，一2）,位于第三象限.

故选：C.

12、答案B

由题意可得复数Z在复平面内对应的点z的轨迹为以Z|，Z2为焦点,实半轴长为2,半焦

Z|+Z2

距为c=石的双曲线，求出2对应的点（1，°）,然后利用双曲线的性质可得答案.

详解

设复数z在复平面内对应的点Z,

因为4=-1+,，4=3",

所以4，Z2在复平面内所对应的点Z|、Z2之间的距离为26>4,

由|z-zj-|z-Z2l=4,可得z的轨迹是以Z「Z2为焦点，，实半轴长。=2,半焦距

c=右的双曲线的右支，

Z[+z）—l+i+3—i1

_!_____——_______________—1

而22，且点（1，°）在直线Z/2上，

Z+Z

|zl2|

所以2的最小值等于C，T）与（1，°）之间的距离减去9一。），

22

即-\/（3—I）+（-l—0）-（^5-2）=2

故选8.

13、答案-5-2i

由题意结合复数的几何意义可得点“（一5,2）,进而可得点8（-5,-2）,再由复数的几何

意义即可得解.

详解：：在复平面内，。是原点，向量方对应的复数是一5+21,

：・点”（-5,2）

又点A、点3关于实轴对称，.•.点8（-5,-2）,

向量砺对应的复数为-5-2i.

故答案为：-5-2i.

14、答案四

求出复数z在复平面内对应的点的坐标，进而可得出结论.

详解：复数2=2-3，在复平面内的对应点的坐标为（2，-3）,该点位于第四象限.

故答案为：四.

15、答案（一3,2）

加一2<0

<

复数z=s-2）+（.-9）i在复平面内对应的点位于第三象限，可得“-9<0,解得即

可.

详解：解：.••复数z=（'”-2）+（〃--9）i在复平面内对应的点位于第三象限，

m-2<0

.一9<0,解得一3cx<2.

,实数用的取值范围是（一二2）.

故答案为：（-32）.

13

16、答案g4

24

尤2+1-p=0

由炉+（l+2i）x-p-i=0可得、+%-P+（2xT）i=0,然后卜一1=0,解出

即可.

详解：由％2+（1+2，）1_〃_'=0可得厂+*一夕+（2》-1k=0

[1

I2

x2+x-p=0I3

<P=­

所以121=。，解得14

J_3

故答案为：万，4

17、答案0

详解：设Z?=x，，xwR,则由一xi=3+A7’2,即（a—x）i=3—九,

Q-X=O4=3

.解方程组,得

3-x=0x=3

那么/+/=32+（3i）2=o

18、答案①—3—2i,-3—2，②5-27③l+6i,而

②由m=函一正计算可得；

③由丽=砺+诙可得对应复数，再由模的运算计算出模.

详解：①A0=—Q4，；•A0所表本的复数为—3—2i.

:配=而，，比所表示的复数为-3-2i.

@'-'CA=OA-OC＞

二及所表示的复数为（3+2/1-（-2+4i）=5-2i.

③对角线砺=砺+反，它所对应的复数z