高中数学 4-3向量与实数相乘课后训练 湘教版必修2

4.3向量与实数相乘双基达标(限时20分钟)1．2(3a－2b)－3(a－b)等于 A．3a－b B．－b C．9a－7b D．9解析2(3a－2b)－3(a－b)＝6a－4b－3a＋3b＝3答案A2．四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是 ()．A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形解析∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a－2b，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD是平行四边形．答案B3．若O是平行四边形ABCD的中心，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e2，则eq\f(3,2)e2－e1等于()．A.eq\o(BO,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→)) C.eq\o(CO,\s\up6(→)) D.eq\o(DO,\s\up6(→))解析因为eq\f(3,2)e2－e1＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))，故选A.答案A4．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b方向相反，则a＝________b.答案－eq\f(3,2)5．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________.解析∵m与n共线，∴m＝λn(λ∈R)，即－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝－2λe1＋λe2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝－2λ,k＝λ))，解答k＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(MN,\s\up6(→)).解在题图中，连接CN，∵N为AB的中点，∴AN綉DC，∴四边形ANCD是平行四边形．eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b，又eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a－b.综合提高限时25分钟7．如图，已知eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，用eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))表示eq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))等于()．A.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))B．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))解析eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→)).答案B8．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的()．A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴△ABC中BC的中线在直线AP上，故直线AP一定通过△ABC的重心．答案C9．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝________．解析2y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)y＋b＝0，即eq\f(7,2)y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)b＝0，∴y＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.答案eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c10．在四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝________．(用a、b表示)解析∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))，∴2eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＋(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＝－b＋a.∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b.答案eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b11．(1)设a、b是两个不共线向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a－2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋4b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a－4b，试判断A、C、D(2)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，证明这个四边形为梯形．(1)解∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b.又eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a－4b＝－2(a＋2b)．∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，从而向量eq\o(CD,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线．又∵有公共点C，故A、C、D三点共线．(2)证明∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|.∵这两个向量所在直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD、BC为两条底边的梯形．12．(创新拓展)如右图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC上的点且DM＝eq\f(1,4)DC，BN＝eq\f(1,3)BC，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝a，eq\o(AN,\s\up6(→))＝b，试以a、b为基底表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→)).解∵eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，而eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝a，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a. ①又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，而eq\o(BN,\s\up6(→))＝