2.3函数的奇偶性周期性对称性

2.3函数的奇偶性、周期性、对称性课标要求精细考点素养达成1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性函数的奇偶性通过函数的奇偶性的判断及其应用,培养数学抽象和逻辑推理的素养函数的周期性通过函数的周期性及其应用,培养逻辑推理的素养双对称函数的周期性通过函数性质的综合应用,培养数学运算和逻辑推理的素养1.(概念辨析)(多选)下列结论正确的有().A.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件B.若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0C.若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期D.若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称2.(对接教材)若函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+x+1,则当x<0时,f(x)的解析式为().A.f(x)=x3+x1 B.f(x)=x3x1C.f(x)=x3x+1 D.f(x)=x3x+13.(对接教材)设m为实数,若函数f(x)=x2mx+m+2(x∈R)是偶函数,则m的值为.

4.(易错自纠)函数f(x)=lg(1−x2)|x+3|−3是5.(真题演练)(2023·全国乙卷)已知f(x)=xexeax-1是偶函数,则实数A.2 B.1 C.1 D.2函数的奇偶性典例1试判断下列函数的奇偶性:f(x)=xlgx+x2+1;(2)f(x)=(1(3)f(x)=-x2+2x+1,x>0,x2+2x-1,x<0;(4判断函数奇偶性的三种常用方法(1)定义法:确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再化简解析式后验证f(x)=±f(x)或其等价形式f(x)±f(x)=0是否成立.(2)图象法:(3)性质法:设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.训练1设函数f(x)=ex+ex,g(x)=exex,f(x),g(x)的定义域均为R,下列结论错误的是().A.|g(x)|是偶函数B.f(x)g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是偶函数D.f(x)+g(x)是奇函数典例2(1)已知f(x)是定义在[m5,12m]上的奇函数,当满足x>0时,f(x)=2x1,则f(m)的值为().A.15 B.7C.3 D.15(2)已知函数f(x)=x3(a·2x2x)是偶函数,则实数a=.

函数奇偶性相关问题及解题策略(1)求函数的值:利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.(2)求函数解析式:先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.(3)求解析式中的参数值:在定义域关于原点对称的前提下,利用f(x)为奇函数⇔f(x)=f(x),f(x)为偶函数⇔f(x)=f(x),列式求解,也可利用特殊值法求解;对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求解.训练2(1)已知函数f(x)=ax3+bx5+2.若f(x)在区间[t,t]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=.

(2)已知函数f(x)=2x2x-1+a为奇函数,函数的周期性典例3(1)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=f(x),则函数的周期为;当x∈[0,2]时,f(x)=2xx2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=.

(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为().A.6 B.7 C.8 D.9函数周期性相关问题及求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题,应根据函数特征及周期性的定义,求出函数的周期.(2)周期函数的图象具有周期性,如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意:对称中心在垂直于y轴的直线上,对称轴垂直于x轴),那么这个函数一定具有周期性.训练3(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的实数x,f(x2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=x2,则f132=()A.94 B.14C.14(2)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[1,1)时,f(x)=-4x2+2,−1≤x<0,x,0≤x函数的对称性典例4(1)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,其图象关于直线x=2对称.当x∈[0,2]时,f(x)=x24x,则f(2025)=.

(2)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则f(1)=.

由函数图象的对称中心和对称轴可以推出函数的周期,结合已知条件解题.训练4(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)=f(x),且当1≤x<0时,f(x)=2x,则f92=()A.22 B.22C.12(2)(多选)设y=f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x+1)=f(x),且在[1,0]上是增函数,下列关于函数y=f(x)的判断正确的是().A.y=f(x)是周期为2的函数B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.y=f(x)在[0,1]上是增函数D.f12=抽象函数的性质及应用典例若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y),f(1)=1,则∑k=122f(k)等于(3 B.2C.0 D.11.已知f(x)是周期函数且为偶(奇)函数,求函数值,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解.2.函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质,在高考中常将它们综合命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来实现区间的转换,再解决相关问题.训练(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x+4)=f(x)且f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*)的值可能为().A.2 B.0 C.2 D.4一、单选题1.下列函数中既是奇函数又是减函数的是().A.f(x)=3x B.f(x)=x3C.f(x)=log3x D.f(x)=3x2.已知f(x)=x5+ax3+bx8(a,b是常数),且f(3)=5,则f(3)=().A.21 B.21C.26 D.263.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,若不等式f(m+2)≥f(12m)恒成立,则实数m的取值范围是().A.-∞,-13∪[3,+∞)B.-∞,-13C.[3,+∞)D.(∞,4.(2024·江苏淮安模拟)“a=1”是“函数f(x)=log2ax+1x-1是奇函数”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件二、多选题5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈(2,3)时,f(x)=|2x5|,则下列结论正确的有().A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)在区间(1,0)上单调递增C.f(2.5)=0D.f(2023.2)=0.66.(2024·江苏南通模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数,f(1+x)为偶函数,则().A.f(2x)+f(x)=0 B.f(1x)=f(1+x)C.f(x+2)=f(x2) D.f(2023)=0三、填空题7.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=.

8.(原创)已知函数f(x)的定义域为R,满足f34+x=f34-x,f32+x+f32-x=0,当x∈[1,1]时,f(x)=2+2-四、解答题9.已知函数f(x)=x2+(2a)x+4在定义域[b1,b+1]上为偶函数,函数g(x)=x+(1)判断g(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)若f(3t2)>f(1t),求t的取值范围.10.已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x32x(1)求f(x)的解析式;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t22t)+f(2t2k)<0恒成立,求实数k的取值范围.11.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)=f(x),且当1≤x≤2时,f(x)=x1,则f72的值为()A.52 B.32 C.12 D.12.(2024·江苏扬州模拟)(多选)定义:若存在非零常数k,T,使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立,则称