2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版拓展拔高练六含答案

1版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版拓展拔高练六拓展拔高练六(时间:45分钟分值:50分)1.(5分)(2023·柳州模拟)已知函数f(x)=-4x-8-9x-2,x∈[0,1],g(x)=x3-3m2x-2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数mA.[1,32] B.[3C.[1,2] D.[32【解析】选A.已知函数f(x)=-4x-8-9x-2=4(2-x令t=2-x∈[1,2],所以y=4t+9t-16在[1,32]上单调递减,在[当t=32时,ymin=-4,当t=1时,y=-3,当t=2时,y=-7所以-4≤y≤-3,即f(x)的值域为[-4,-3].因为g(x)=x3-3m2x-2m(m≥1),所以g'(x)=3x2-3m2=3(x+m)(x-m),又因为x∈[0,1],m≥1,所以g'(x)≤0,所以g(x)在x∈[0,1]时单调递减,所以g(x)的值域为[1-3m2-2m,-2m].因为对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,所以g(x)的值域包含f(x)的值域,即m所以m≥1,3m22.(5分)已知函数f(x)=lnx+(e-a)x-2b,若不等式f(x)≤0,对x∈(0,+∞)恒成立,则ba的最小值为(A.-12e B.-2e C.1e D.【解析】选A.由题意知lnx≤(a-e)x+2b恒成立,设y=lnx上一点为(x0,y0),则lnx≤1x0(x-x0)+lnx0=1x0x+ln故a则ba=12(ln令g(x)=xlnx-xex+1易知g'(1e)=0,所以g(x)在(0,1e)上单调递减,在(故bamin=12g(x)min=12g(3.(5分)(2023·安庆模拟)已知函数f(x)=exx-ax,x∈(0,+∞),当x2>x1时,不等式f(x1)x【解析】因为x∈(0,+∞),所以x1f(x1)<x2f(x2).即函数g(x)=xf(x)=ex-ax2在(0,+∞)上单调递增.则g'(x)=ex-2ax≥0恒成立,所以2a≤ex令m(x)=exx,则m'(x)=x∈(0,1)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,x∈(1,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,所以2a≤m(x)min=m(1)=e,所以a≤e2所以实数a的取值范围为(-∞,e2]答案:(-∞,e24.(5分)已知函数f(x)=alnx+12x2,在其图象上任取两个不同的点P(x1,y1Q(x2,y2)(x1>x2),总能使得f(x1)-f【解析】因为f(x1)-f(x所以f(x1)-f(x2)>2x1-2x2,所以f(x1)-2x1>f(x2)-2x2,构造函数g(x)=f(x)-2x=alnx+12x2-2x,则g(x1)>g(x2所以g(x)在(0,+∞)上为增函数,由于g'(x)=ax+x-2,因此g'(x)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立由g'(x)=ax+x-2≥0,可得a≥-x2+2x当x>0时,则y=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以a≥1,因此实数a的取值范围为[1,+∞).答案:[1,+∞)5.(10分)已知函数f(x)=x24-2lnx.若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),证明:x1+x2【证明】f(x)=x24-2lnx,f'(x)=x2-42x在(2,+∞)上单调递增,x=2是极值点,又x1,x2为函数f(x)的零点,所以0<x1<2<x2,要证x1+x2>4,只需证x2>4-x1.因为f(4-x1)=(4-x1)24-2ln(4-x1)=x124-2x1+4-2ln(4-x1),所以f(4-x1)=2lnx1-2x1+4-2ln(4-x1),令h(x)=2lnx-2x+4-2ln(4-x)(0<x<2),则h'(x)=2x-2+24-所以h(x)在(0,2)上单调递增,所以h(x)<h(2)=0,所以f(4-x1)<0=f(x2),又f(x)在(2,+∞)上单调递增,4-x1>2,x2>2,所以4-x1<x2,即x1+x2>4得证.6.(10分)已知函数f(x)=1x-x+aln(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,求证:f(x1)-【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1x2-1+ax①若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.②若a>2,令f'(x)=0得,x=a-a2-4当x∈(0,a-a2-42)∪(当x∈(a-a2-42,所以f(x)在(0,a-a2-42),(a(2)由题意f'(x)=-x2-ax+1x2(x>0)有零点x1,x2,即x1,x2满足方程所以x1+x2=a,x1x2=1.由(1)知a>2,又x1=1x不妨设0<x1<1<x2.所以f(x1)-f(=-2+a×lnx1x2因此,要证f(x1)-f(x2)x1-x2<a-2,即证2lnx2-x2+1x2<0(x由(1)知g(x)在(0,+∞)上单调递减,而g(1)=0,所以当x∈(1,+∞)时,g(x)<0.因此,2lnx2-x2+1x2<0(x所以f(x1)-7.(10分)(2023·湖南名校联考)已知函数f(x)=xlnx-ax2,a∈R.(1)若f(x)存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)若x1,x2为f(x)的两个不同的极值点,证明:3lnx1+lnx2>-1.【解析】(1)因为f(x)=xlnx-ax2,a∈R,x>0,所以f'(x)=lnx+1-2ax.因为f(x)存在单调递增区间,所以f'(x)=1+lnx-2ax>0有解,即1+lnxx>2a令g(x)=1+lnxx,则g'(x)=当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.所以当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=1,故2a<g(1)=1,解得a<12故a的取值范围是(-∞,12)(2)因为f'(x)=lnx+1-2ax,所以x1,x2是方程lnx=2ax-1的两个不同的根,即lnx1=2ax1-1,①lnx2=2ax2-1,②要证3lnx1+lnx2>-1,即证2a(3x1+x2)>3.①-②,得2a=ln即证lnx1-lnx显然x1,x2>0,不妨设x1>x2>0,t=x1则t>1,即证lntt-即证lnt-3(t设h(t)=lnt-3(则h'(t)=1t-12(3当t∈(1,+∞)时,h'(t)>0,所以h(t)在(1,+∞)上单调递增,所以当t>1时,h(t)>h(1)=0,故3lnx1+lnx2>-1得证.拓展拔高练七(时间:45分钟分值:60分)1.(5分)若tanα=3,则sin2α=()A.35 B.-35 C.-34 【解析】选A.sin2α=2tanαtan2α+12.(5分)若α∈(0,π2),sin2α=cos2α,则cos2α的值为(A.-35B.-12 C.0 【解析】选D.因为α∈(0,π2),sin2α=cos2α所以cosα≠0且2sinαcosα=cos2α,解得tanα=12所以cos2α=1-tan2α1+3.(5分)已知锐角α,β满足α+2β=2π3,tanα2tanβ=2-3,则sin(β-α)=(A.12 B.C.6-24 【解析】选C.由α+2β=2π3得α2+β=所以tan(α2+β)=tanα又tanα2tanβ=2-3,所以tanα2+tanβ=3-3,由解得tanα2=2-3tanβ=1或tanα2sinβ=cosβ=22,sinα=2tanα21+tan2α2所以sin(β-α)=sinβcosα-cosβsinα=22×32-22×14.(5分)(多选题)下列关系式中,正确的是()A.sin5θ+sin3θ=2sin4θcosθB.cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθC.sin3θ-sin5θ=-12cos4θcosD.sinθ·sinα=1【解析】选AD.由sin5θ=sin(4θ+θ)=sin4θcosθ+cos4θsinθ,sin3θ=sin(4θ-θ)=sin4θcosθ-cos4θsinθ,cos5θ=cos(4θ+θ)=cos4θcosθ-sin4θsinθ,cos3θ=cos(4θ-θ)=cos4θcosθ+sin4θsinθ,代入前三项,得sin5θ+sin3θ=2sin4θcosθ,A正确,B错误,右边应是2sin4θsinθ;C错误,右边应是-2cos4θsinθ;选项D,等号右边=-12cos(θ+α)-cos(θ-α)=-1sinθsinα)]=-12(-2sinθsinα)=sinθsinα,故选项D正确5.(5分)已知α为锐角,且tanαtan(α+π4)=-2【解析】由tanαtan(α+π4)=tanαtanα解得tanα=2或tanα=-13因为α为锐角,所以tanα=2.sin(2α+π2)=cos2α=1-tan2α答案:-36.(5分)计算:cosπ7+cos3π7+cos5π7【解析】原式=12sinπ7(2sinπ7cosπ7+2sinπ7cos3π7+2sin(sin4π7-sin2π7)+(sin6π7-sin4π7)]=sin6π7答案:17.(5分)若sinα1+cosα=12,则sinα+cos【解析】因为sinα1+cosα=tanα2=12,所以sinα+cosα=2tanα答案:78.(5分)已知tan(θ-π4)=3,则cos2θ=__________【解析】令α=θ-π4,则θ=α+π4,且tanα=3,所以cos2θ=cos(2α+=-sin2α=-2tanαtan2α答案:-39.(5分)已知tan(π+θ)=2,则sin(2θ+π4)=__________【解析】因为tan(π+θ)=2,由诱导公式得:tan(π+θ)=tanθ=2,所以sin2θ=2sinθcosθsin2cos2θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1×22=2答案:210.(5分)(2023·秦皇岛模拟)已知tan(α+β2)=62,tanαtanβ=137,则cos(α【解析】tanαtanβ=sinαsinβcosα所以cos(α-β)=-103cos(α+βcos(α+β)=1-tan2α+β21+tan2α+β2=答案:211.(5分)(2023·安庆模拟)已知sinα+sinβ=12,cosα+cosβ=13,则tan(α+β)=__________,cos(α-β)=【解析】将已知两个等式分别和差化积,得sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-①②两式相除得tanα+β2则tan(α+β)=2tanα+β2(sinα+sinβ)2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=14(cosα+cosβ)2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=19两式相加可得2+2cos(α-β)=1336cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-5972答案:-125-12.(5分)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的极小值是__________.

【解析】sinx=2tancosx=1-f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),f(x)=4tanx21+tan2x2·(1+令t=tanx2,则y=8y'=8(由y'>0得-33<t<3由y'<0得t<-33或t>3则y只在t=-33即极小值为-33答案:-3拓展拔高练三(时间:45分钟分值:60分)1.(5分)已知f(x)的定义域为R,f(1)=2023,且f'(x)≥6x恒成立,则不等式f(x)>3x2+2020的解集为 ()A.(-1,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】选B.令函数g(x)=f(x)-3x2,因为g'(x)=f'(x)-6x≥0,所以g(x)在R上单调递增.因为g(1)=f(1)-3=2020,所以不等式f(x)>3x2+2020等价于g(x)>g(1),所以x>1.2.(5分)已知m>0,n∈R,若log2m+2m=6,2n+1+n=6,则m2n= (A.12 B.1 C.2 D.【解析】选B.由题意得log2m+2m=2n+1+n,log2m+2m=2×2n+n=log22n+2×2n,令g(x)=log2x+2x(x>0),则g'(x)=1x所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g(m)=g(2n),所以m=2n,所以m2n3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足xf'(x)<f(x),若a=f(1),b=f(ln4)ln4,c=f(3)3,则a,b,cA.a>b>c B.c>a>bC.b>a>c D.a>c>b【解析】选A.设g(x)=f(x)x(x≠0),则g'(x)=xf'(x)-f(x因为3>ln4>1,所以g(3)<g(ln4)<g(1),即a>b>c.4.(5分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是 ()A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)≥e3f(3) D.e2f(2)≤e3f(3)【解析】选A.令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).5.(5分)已知函数f(x)满足xf'(x)lnx+f(x)>0(其中f'(x)是f(x)的导函数),若a=f(e12),b=f(e),c=f(e2),则下列选项中正确的是 (A.4c<2b<a B.2b<4c<aC.a<2b<4c D.a<4c<2b【解析】选C.xf'(x)lnx+f(x)>0(x>0)⇒f'(x)lnx+1x·f(x)>0⇒[f(x)lnx]'令g(x)=f(x)lnx(x>0),则g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(e12)<g(e)<g(e所以12a<b<2c,即a<2b<46.(5分)f(x)为定义在R上的可导函数,且f'(x)>f(x),对任意正实数a,下列式子成立的是()A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0)C.f(a)<f(0)ea D.f(【解析】选B.令g(x)=f(所以g'(x)=f'(x)e所以g(x)在R上单调递增.又a>0,所以g(a)>g(0),即f(a)即f(a)>eaf(0).7.(5分)(多选题)已知定义在[0,π2)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,则下列判断中正确的是 (A.f(π6)<62f(π4) B.fC.f(π6)>2f(π3) D.f(π4)>2f【解析】选CD.令g(x)=f(x)cosx,x因为f'(x)cosx+f(x)sinx<0,则g'(x)=f'(故g(x)在[0,π2)上单调递减因为g(π6)>g(π4),从而有f(即f(π6)>62f(π4),故因为f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0又因为lnπ3∈[0,π2),结合g(x)在[0,π2)上单调递减可知g(lnπ从而有f(ln由cos(lnπ3)>0可得f(lnπ3)<0,故B错误;因为g(π6)>g所以f(π6)32>f则f(π6)>3f(π3)>2f(π3),故因为g(π4)>g(π3),所以f(即f(π4)>2f(π3),故D8.(5分)(多选题)已知a,b∈(0,e),且a<b,则下列式子中可能成立的是 ()A.aeb<bea B.aeb>beaC.alnb<blna D.alnb>blna【解析】选ABD.设g(x)=exx(x则g'(x)=ex所以g(x)=exx在(0,1)上单调递减,在(1,e)所以当a,b∈(0,e),a<b时,不能判断出g(a)与g(b)的大小.所以A,B都有可能正确;设f(x)=lnxx,则f'(x)=由f'(x)>0,得0<x<e,由f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,因为a,b∈(0,e),且a<b,所以lnaa<即alnb>blna.所以C不正确,D正确.9.(5分)(多选题)(2023·开封模拟)已知e是自然对数的底数,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且f(x)x+lnx·f'(x)>0,A.f(1e)+f(e)>0 B.f(1C.f(e)>0 D.f(1)=0【解析】选AC.令函数g(x)=lnx·f(x),则g'(x)=f(x)x+lnx·所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以g(e)=f(e)>0,g(1e)=-f(1所以f(1e)>0,f(1e)+f(e)>