2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第八章 第六节 利用空间向量研究直线、平面的位置关系含答案

14版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第八章第六节利用空间向量研究直线、平面的位置关系第六节利用空间向量研究直线、平面的位置关系课程标准1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.考情分析考点考法:高考题常以平行、垂直关系为载体,考查空间向量的运算、直线的方向向量、平面的法向量的应用.线面、面面关系是高考热点,主要在解答题中体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.注:①一条直线l有无穷多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.【微点拨】(1)直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以用赋值法求出平面的一个法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=0【微点拨】利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.若两平面的法向量平行,则两平面平行B.若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行C.若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行D.若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行【解析】选AB.易知AB正确;C中向量a和b所在的直线可能重合;D中a所在的直线可能在平面内.2.(选择性必修一P30例3·变形式)平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于()A.2 B.-4 C.4 D.-2【解析】选C.因为α∥β,所以两平面的法向量平行,所以-21=-42=k3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有()A.l∥α B.l⊥αC.l与α斜交 D.l⊂α或l∥α【解析】选B.由a=-n知,n∥a,则有l⊥α.4.(忽视线在平面内)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=-2,1A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α或l∥α D.l与α斜交【解析】选C.因为a=1,0,2,所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l⊂α.【巧记结论·速算】1.若v是直线的方向向量,则λv(λ≠0)也是直线的方向向量;2.若向量n是平面的法向量,则μn(μ≠0)也是平面的法向量.【即时练】两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是________.

【解析】因为v2=-2v1,所以v1∥v2.又l1与l2不重合,所以l1∥l2.答案:平行【核心考点·分类突破】考点一利用空间向量证明平行问题角度1线面平行[例1]如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.【证明】如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知,A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),则AC=(x0,y0-2,-2).因为AQ=3QC,所以Q34因为M为AD的中点,所以M(0,2,1).又因为P为BM的中点,故P0,所以PQ=34又因为平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1),故PQ·a=0.又因为PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD.角度2面面平行[例2]如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,证明平面EFG∥平面PBC.【证明】由题意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).因为EF=(0,1,0),BC=(0,2,0),所以BC=2EF,所以BC∥EF.又因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.又因为EF∩GF=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.【解题技法】利用空间向量证明线面、面面平行的方法(1)证明线面平行的常用方法:①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明面面平行常用的方法:①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;②证明两个平面的法向量平行;③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.提醒:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.【对点训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.【证明】建立空间直角坐标系如图,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE(1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的一个法向量,则n1⊥DA得x1令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).因为FC1·n1=-2+2=0,所以FC1又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.(2)因为C1设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量,由n2⊥F得x2=0z2=-2所以n2=(0,-1,2),因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.考点二利用空间向量证明垂直问题角度1线线、线面垂直[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.【证明】以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1),B(1,0,0).(1)因为∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.所以C(12,32,0),E(14,34设D(0,y,0),由AC⊥CD,得AC·CD=0,即y=233,则D所以CD=-12,36,0.又因为AE所以AE·CD=-12×14+36所以AE⊥CD,即AE⊥CD.(2)(方法一)由(1)知,D0,23所以PD=0,又因为AE·PD=34×233所以PD⊥AE,即PD⊥AE.因为AB=(1,0,0),所以PD·AB=0.所以PD⊥AB.又因为AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,所以PD⊥平面ABE.(方法二)由(1)知,AB=(1,0,0),AE=(14,34,设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则x=0令y=2,则z=-3,所以n=(0,2,-3)为平面ABE的一个法向量.因为PD=0,233,-1因为PD∥n,所以PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.角度2面面垂直[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【证明】(1)如图所示,以O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),所以AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0).所以AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以AP⊥BC,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,所以AM=35AP=(0,95,125)所以BM=BA+AM=-4则AP·BM=(0,3,4)·-4所以AP⊥BM,即AP⊥BM.由(1)知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC,所以AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.【解题技法】利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示【对点训练】如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.【证明】(1)取BC的中点O,连接PO,因为平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=3.所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,3).所以BD=(-2,-1,0),PA=(1,-2,-3).因为BD·PA=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3)=0,所以PA⊥BD,所以PA⊥BD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M12因为DM=32,0,3所以DM·PB=32×1+0×0+32×(-所以DM⊥PB,即DM⊥PB.因为DM·PA=32×1+0×(-2)+32×(-所以DM⊥PA,即DM⊥PA.又因为PA∩PB=P,所以DM⊥平面PAB.因为DM⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.考点三与平行、垂直有关的综合问题[例5]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.【解析】(1)由折叠的性质得CD⊥DE,A1D⊥DE.又因为CD∩A1D=D,所以DE⊥平面A1CD.又因为A1C⊂平面A1CD,所以A1C⊥DE.又A1C⊥CD,CD∩DE=D,所以A1C⊥平面BCDE.建系如图,则C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,23),E(-2,2,0),B(0,3,0),所以A1B=(0,3,-23),A1E设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),则A1B·取z=3,则x=-1,y=2,所以n=(-1,2,3)为平面A1BE的一个法向量.又因为M(-1,0,3),所以CM=(-1,0,3),所以cos<CM,n>=CM·n|CM||所以CM与平面A1BE所成角的大小为45°.(2)假设线段BC上存在点P满足条件,设P点坐标为(0,a,0),a∈[0,3],所以A1P=(0,a,-23),DP=(2,a设平面A1DP的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则ay取y1=6,则x1=-3a,z1=3a,所以n1=(-3a,6,3a).若平面A1DP与平面A1BE垂直,则n1·n=0,所以3a+12+3a=0,即6a=-12,所以a=-2.因为0≤a≤3,所以a=-2舍去.所以线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.【解题技法】1.“是否存在”型问题的两种探索方式(1)根据条件作出判断,再进一步论证.(2)利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.2.解决折叠问题的关键解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量.【对点训练】如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【解析】(1)连接BD,设AC交BD于点O,则AC⊥BD.连接SO,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设底面边长为a,则SO=62a所以S0,0,62a,D-2所以OC=0,22a,则OC·SD=0.故OC⊥SD.所以AC⊥SD.(2)侧棱SC上存在一点E使得BE∥平面PAC,此时SE∶EC=2∶1.理由如下:由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量,且DS=22a,0,BC=-2设CE=tCS(0<t≤1),则BE=BC+CE=BC+tCS=-2又因为BE·DS=0,所以22a×-22a+6所以t=13即当SE∶EC=2∶1时,BE⊥DS.而BE⊄平面PAC,故BE∥平面PAC.第七节利用空间向量研究距离问题课程标准能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.考情分析考点考法:高考题常以体积为载体,考查空间中点线距、点面距.求空间几何体的体积是高考热点,主要在解答题中体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.两点距即求空间中两个点连线的线段长,转化为向量的模求解.2.点到直线的距离设A是直线l上的定点,P是直线l外一点,若u是直线l的单位方向向量,AQ是AP在l上的投影向量,设AP=a,则点P到直线l的距离PQ=|AP|2【微点拨】已知向量a,直线l的单位方向向量为e,则向量a在e方向上的投影向量为acos<a,e>·e,即aa·eae·e=a·3.点到平面的距离公式如图,点P为平面α外一点,点A为平面α内的定点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度,则PQ=|AP·n|n||=|AP·4.异面直线间的距离(1)定义:两条异面直线间的公垂线段的长即为异面直线间的距离.(2)求解公式:如图,设两条异面直线a,b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a,b上任取A,B两点,则向量AB在n上的正射影长就是两条异面直线a,b的距离.则d=|AB·n|n||即两异面直线间的距离,等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.点到平面的距离是该点与平面上点距离的最小值B.点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线长度的最小值C.直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等D.直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α【解析】选ABC.由距离的最小性可知AB正确;C中直线l上任意点到平面α的距离相等,正确;D中直线l可能与平面α相交.2.(选择性必修一P34例6·变形式)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1A到平面B1D1DB的距离为()A.2 B.2 C.22 D.【解析】选A.由正方体性质可知,A1A∥平面B1D1DB,A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离,连接A1C1,交B1D1于O1(图略),A1O1的长即为所求,由题意可得A1O1=12A1C1=23.(选择性必修一P35练习2·变形式)直线l的方向向量为m=(1,0,-1),且l过点A(1,1,1),则点P(-1,2,1)到l的距离为()A.2 B.3 C.6 D.22【解析】选B.直线l的方向向量为m=(1,0,-1),且l过点A(1,1,1),又点P(-1,2,1),则AP=(-2,1,0),则|AP|=5,又因为AP·mm=|-所以点P(-1,2,1)到l的距离为(5)24.(不能正确使用公式)若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是________.

【解析】依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,而OA=(2,1,1),所以平行平面α,β间的距离d=|n·OA||n|答案:2【巧记结论·速算】1.空间中的距离都是指两个点集的元素之间距离的最小值.2.平行线间的距离可以转化为点到直线的距离.3.平面的平行线到平面的距离以及两平行平面间的距离都可以转化为点到平面的距离.【即时练】如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2.动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是()A.13 B.C.1 D.4【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),由题意可知,线段PQ长度的最小值为异面直线C1D与AC的公垂线的长度,则AC=(-1,1,0),DC1=(0,1,2),设向量n=(x,y,z),满足n⊥AC,n⊥DC则n·AC=令y=2,则x=2,z=-1,即n=(2,2,-1),故|PQ|min=|DA·n【核心考点·分类突破】考点一点线距及其应用[例1](1)空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离为()A.22 B.23 C.3 D.25【解析】选A.因为MN=(1,1,1),所以MN的一个单位方向向量为u=33(1,1,1)因为PM=(1,-1,3),故|PM|=12+(-PM·u=33×(1-1+3)=3所以点P到直线MN的距离为PM=11-3=2(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,已知E为CC'上一点,且2CE=EC',在平面CDD'C'内作EF∥A'B,交C'D'于点F,则直线EF与A'B之间的距离为__________.

【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1,13直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离,BA'=(-1,0,1),BE=(0,1,13),BA'·BE|BA'|=2,|BE|=1+19cos<BA',BE>=BA'·BE|<BA',BE>∈所以sin<BA',BE>=1-(所以直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离为|BE|sin<BE,BA'>=103×9510答案:38【解题技法】向量法求点到直线的距离的方法方法一:(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.方法二:在直线上设出垂线段的垂足的坐标,利用共线和垂直求出垂足坐标,再求向量的模.方法三:(1)求直线的方向向量;(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的方向向量夹角的余弦值,进而求出正弦值;(3)求出所求点与直线上某一点所构成的向量的模,再乘以夹角的正弦值即为所求.提醒:平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解.【对点训练】如图,ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若P在正方体内部且满足AP=35AB+12AD+23AE,则A.34 B.45 C.56 【解析】选C.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),所以AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AE=(0,0,1),则AP=35(1,0,0)+12(0,1,0)+23(0,0,1)=(35,12所以AP在AB上的投影向量的长度为AP·ABAB所以点P到AB的距离|AP|2考点二点面距及其应用[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.(1)求证:AD⊥PB;(2)(一题多法)求点A到平面PBC的距离.【解析】(1)取AD的中点O,连接OP,OB,BD,(图略)因为底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,所以AD=AB=BD.因为O为AD的中点,所以BO⊥AD.在△PAD中,PA=PD,O为AD的中点,所以PO⊥AD.因为BO∩PO=O,所以AD⊥平面POB.因为PB⊂平面POB,所以AD⊥PB.(2)方法一:由题意及(1)易知OP=1,BO=3,PB=2,所以OP2+BO2=PB2,所以OP⊥OB,所以OP,OA,OB两两垂直,如图建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-2,3,0),P(0,0,1),所以AP=(-1,0,1),PB=(0,3,-1),PC=(-2,3,-1),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则n·所以x=0不妨取y=1,则n=(0,1,3),所以点A到平面PBC的距离d=|AP·n方法二:因为PA=PD,∠APD=90°,所以PO=12AD=1,由题意及(1)知PB又AD⊥PB,BC∥AD,所以BC⊥PB,记A到平面PBC的距离为h,S△PBC=12则由VA-PBC=VP-ABC得23h=13×12×2×2sin120°×1,所以h即A到平面PBC的距离为32【解题技法】求点面距的步骤(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.(3)求向量:求出相关向量的坐标(AP,α内两不共线向量,平面α的法向量n).(4)求距离d=|AP提醒:求线面距、面面距可转化为点面距求解.【对点训练】1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,BC=12AB=12AA1=2,BC1=23,M为线段AB(1)证明:BC1⊥CM;(2)若E为A1C1的中点,求点A1到平面BCE的距离.【解析】(1)因为AB⊥平面BB1C1C,C1B⊂平面BB1C1C,所以AB⊥C1B,在△BCC1中,BC=2,BC1=23,CC1=AA1=4,所以BC2+BC12=CC12,所以CB因为AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以C1B⊥平面ABC.又因为CM⊂平面ABC,所以C1B⊥CM.(2)由(1)知,AB⊥C1B,BC⊥C1B,AB⊥BC,以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.则B(0,0,0),C(2,0,0),C1(0,23,0),A1(-2,23,4),E(-1,23,2),BC=(2,0,0),BE=(-1,23,2),设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则n·BC=0令y=3,则n=(0,3,-3).又因为A1C=(4,-2故点A1到平面BCE的距离d=|0×4+(-22.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求:(1)直线MN与平面OCD的距离;(2)平面MNR与平面OCD的距离.【解析】(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,所以OA⊥AD,OA⊥AB,AB⊥AD,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD,因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD,因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD,所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD,因为RN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,所以RN∥平面OCD,因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,因为MN⊂平面MNR,所以MN∥平面OCD,设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),DC=(2,0,0),DO=(0,-2,2),则n·DC=2x=0n·所以,直线MN与平面OCD的距离为d1=|NC·n||(2)由(1)知平面MNR∥平面OCD,则平面MNR与平面OCD的距离为d2=|NC·n||【加练备选】

如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点,直线AC到平面PEF的距离为________.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,12,0),F(12,1,0),PE=(1,12,-1),PF=(1设平面PE