2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章 第九节 圆锥曲线中的定值问题含答案

1版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章第九节圆锥曲线中的定值问题第九节圆锥曲线中的定值问题【核心考点·分类突破】考点一长度或距离为定值[例1](2024·九江模拟)如图,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A为C1上的一个动点(非左、右顶点),连接AF1并延长交C1于点B,且△ABF2的周长为8,△(1)求椭圆C1的标准方程;【解析】(1)因为△ABF2的周长为8,由椭圆的定义得4a=8,即a=2,又△AF1F2面积的最大值为2,所以12·2c·b=2,即bc=2,因为a2=b2+c2,所以b2+c2=4,所以b2+2b2=4,解得b所以椭圆C1的标准方程为x24+y[例1](2024·九江模拟)如图,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A为C1上的一个动点(非左、右顶点),连接AF1并延长交C1于点B,且△ABF2的周长为8,△AF(2)若椭圆C2的长轴端点为F1,F2,且C2与C1的离心率相等,P为AB与C2异于F1的交点,直线PF2交C1于M,N两点,证明:|AB|+|MN|为定值.【解析】(2)由(1)可知F1(-2,0),F2(2,0),椭圆C1的离心率e=ca=22,设椭圆C2的方程为x2a'2+y2b'2=1,则有a'=椭圆C2的标准方程为x22+y设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因为点P在曲线C2上,所以x02+2依题意,可设直线AB,MN的斜率分别为k1,k2,则AB,MN的方程分别为y=k1(x+2),y=k2(x-2),于是k1·k2=y0x0+2·y0x联立方程得y=k1(x+2)x24+y所以x1+x2=-42k122k12+1所以|AB|=1+k12(x同理可得:|MN|=4k因为k2=-12k1,所以|MN|=4k2所以|AB|+|MN|=4k12+4【解题技法】定值问题的求解策略(1)圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.(2)定值问题同证明问题类似,在求定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定值显现.【对点训练】在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.设椭圆C2:4x2+y2=1.若M,N分别是C1,C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.【证明】当直线ON垂直于x轴时,|ON|=1,|OM|=22,则O到直线MN的距离为3当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为y=kx(显然|k|>22),则直线OM的方程为y=-1k由y=kx,所以|ON|2=1+k24+k2,同理|OM设O到直线MN的距离为d,因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,所以1d2=1|OM|2+1|综上,O到直线MN的距离是定值.考点二与直线斜率有关的定值问题[例2](2024·武汉模拟)已知O为坐标原点,椭圆x2a2+y2b2=1(a>(1)求椭圆的方程;【解析】(1)由题意知,ca=32,椭圆的上顶点到右顶点的距离为a2即ca=32a2+b2因此,椭圆的方程为x24+y2[例2](2024·武汉模拟)已知O为坐标原点,椭圆x2a2+y2b2=1(a>(2)若椭圆的左、右顶点分别为E,F,过点D(-2,2)作直线与椭圆交于A,B两点,且A,B位于第一象限,A在线段BD上,直线OD与直线FA相交于点C,连接EB,EC,直线EB,EC的斜率分别记为k1,k2,求k1·k2的值.【解析】(2)如图所示:不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),由图可知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,因为点D(-2,2),则-2k+m=2,则m=2k+2,联立y=kx+mx2+4y24m2-4=0,Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)>0,可得m2<4k2+1,即(2k+2)2<4k2+1,解得k<-38由根与系数的关系可得,x1解得-12<k所以-12<k<-38,易知E(-2,0),由于C在直线OD上,设C(-x0,x0),又由于C在直线FA上,则x0-x0-2=yk1·k2=y2x=-y=-(=-k=-4=-14【解题技法】与直线的斜率有关的定值问题的解题策略1.选择合适的参数(倾斜角、点的坐标);2.依据题设条件,求出所求(斜率的或与其有关的)解析式;3.结合题设条件,化简所求解析式得出定值.【对点训练】(2024·西安模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为原点,点P(1,1)在C(1)求C的方程;【解析】(1)因为点P(1,1)在C的渐近线y=bax上,所以a=bA(a,0),则S△PAO=12a=12,所以a=1,故所以C的方程为x2-y2=1;(2024·西安模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为原点,点P(1,1)在C(2)过点P作直线l交C于M,N两点,过点N作x轴的垂线交直线AM于点G,H为NG的中点,证明:直线AH的斜率为定值.【解析】(2)当直线l的斜率不存在时,直线l与双曲线只有一个交点,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),联立x2-y2=1y-1=k(x-1),消去y得(1-k2)则1-解得k<1且k≠-1,x1+x2=2k(1-k)1-k2直线AM的方程为y=y1x1令x=x2,得y=y1(x2-1)x因为H为NG的中点,所以H(x2,y1所以kAH=y1(x2-1)因为y1x1-1+=2k+1x1-1+1x2-1=2k+x1+x2-2(x所以直线AH的斜率为定值.【加练备选】如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>(1)求椭圆E的方程;【解析】(1)由题设知ca=22,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=所以椭圆E的方程为x22+y2如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.【解析】(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入x22+y得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k考点三与面积有关的定值问题[例3](2024·安庆模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(-a,0),B(0,-b)两点,椭圆的离心率为32,(1)求椭圆C的方程;【解析】(1)根据题意可知e=ca=3又S△OAB=12ab=1,即可得ab=2,结合a2=b2+c2解得a2=4,b2=1,c2=3,即椭圆C的方程为x24+y2[例3](2024·安庆模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(-a,0),B(0,-b)两点,椭圆的离心率为32,(2)设P为椭圆C上第一象限内任意一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【解析】(2)由(1)可知A(-2,0),B(0,-1),如图所示:设P(x0,y0),且x0>0,y0>0,易知直线PA的斜率kPA=y0x0+2,所以PA的直线方程为y=同理直线PB的斜率kPB=y0+1x0,所以PB的直线方程为y=由题意解得M(0,2y0x0+2所以可得|AN|=x0y0+1+2,|四边形ABNM的面积S=12|AN|·|BM|=12(x0y0+1+2)(又x024+y02故S=x=4+4=4(即四边形ABNM的面积为定值.【解题技法】与面积有关的定值问题的解题策略探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题,一般用直接求解法,即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形,可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来,然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式,把这个关系式代入几何图形的面积表达式中,化简即可.【对点训练】(2024·南昌模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),渐近线方程为y±x(1)求双曲线C的方程;【解析】(1)因为a>0,b>0,依题意,ba所以双曲线C的方程为x24-y2(2024·南昌模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),渐近线方程为y±x(2)过点A的两条直线AP,AQ分别与双曲线C交于P,Q两点(不与A点重合),且两条直线的斜率k1,k2满足k1+k2=1,直线PQ与直线x=2、y轴分别交于M,N两点,求证:△AMN的面积为定值.【解析】(2)依题意可知直线PQ斜率存在,设方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),y=kx+mx24-y2=1⇒(1-4k2)Δ=64k2m2+4(1-4k2)(4m2+4)>0,m2+1-4k2>0①,k1+k2=y1x=2kx1整理得(m+2k)(m+2k-1)=0.①m+2k=0⇒PQ:y=kx-2k,过A(2,0),舍去;②m+2k-1=0⇒PQ:y=kx-2k+1,过点(2,1),此时,将m=1-2k代入①得(1-2k)2+1-4k2=2-4k>0,k<12,所以PQ与x=2交于点M(2,1),故S△AMN=12【加练备选】已知O为坐标原点,点P(3,12)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,椭圆C的左、右焦点分别为F1,(1)求椭圆C的标准方程;【解析】(1)由椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,且F1F2可知:c=3,即a2=b2+3①,将P(3,12)代入方程C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)得:3a2+1所以椭圆的标准方程为x24+y2已知O为坐标原点,点P(3,12)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,椭圆C的左、右焦点分别为F1,(2)若点P0,P1,P2在椭圆C上,原点O为△P0P1P2的重心,证明:△P0P1P2的面积为定值.【解析】(2)设P0(x0,y0),P1(x1,y1),P2(x2,y2),当直线P1P2斜率不存在,即x1=x2时,由原点O为△P0P1P2的重心,可知x0+x1+x23=0,y0+y1+y23=0,故可得此时有P0(-2x1,0),该点在椭圆上,则4×x124=1,不妨取x1=1,则有P0(-2,0),P1(1,则此时S△P0P1P2当直线P1P2斜率存在时,不妨设P1P2的方程为y=kx+m,则联立y=kx+mx24+y2=1,整理得(1+4且需满足Δ=(8km)2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2+1-m2)>0,则x1+x2=-8km1+4k2,x1所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m由原点O为△P0P1P2的重心知,x0=-(x1+x2),y0=-(y1+y2),故P0的坐标为(8km1+4k2,-2m化简得:(8km1+4k2)2+4(即4m2=1+4k2,又原点O为△P0P1P2的重心,故P0到直线P1P2的距离为原点O到直线P1P2距离的3倍,所以d=3|而|P1P2|=1+k2|x1-x=1+=1+k2=1+k2=1+k2×因此S△P0P1P2=1=12×1+k2×=63|m|2综上所述,△P0P1P2的面积为定值.第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其几何性质【课程标准】1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)3.了解双曲线几何性质的简单应用.【考情分析】考点考法:高考对双曲线的考查形式有两种:(1)根据题设条件求双曲线的标准方程;(2)通过双曲线的标准方程研究双曲线的基本性质,常以选择题或填空题形式出现.核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.双曲线的定义(1)一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.(2)数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且c>a>0.【微点拨】(1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.(2)若a=c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若a>c,则轨迹不存在;若a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2(a>0,b>0)y2a2(a>0,b>0)图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±bay=±ab离心率e=ca,e∈a,b,c的关系c2=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长等轴双曲线①定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.②性质:a=b;e=2;渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13241.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上B.若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同C.焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大D.焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线【解析】选AC.双曲线的焦点一定在实轴上,A正确;若两条双曲线的焦点相同,ba=c2-a2a2=eba=c2-a2a2=e2-1,焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,则ba越大,即渐近线斜率的绝对值ba越大,C正确;焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线,如双曲线x22.(混淆焦点位置)已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为()A.x29-y216=1 B.C.y29-x216=1 D.【解析】选C.由题意,c=5,2a=6,所以a=3,则b=c2双曲线的标准方程为y29-x3.(选择性必修第一册P120例1变条件)已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是 ()A.x216-y29=1 B.x2C.x29-y216=1 D.x2【解析】选D.由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C.又由题意可知c=5,a=3,所以b=c2-a2=4,故点M的轨迹方程为x294.(2021·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为 ()A.72 B.132 C.7 D【解析】选A.设|PF2|=m,则|PF1|=3m,|F1F2|=m2+9m2-2×3m×m×cos60°=7m,所以C的离心率e【巧记结论·速算】1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为2b4.与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a5.双曲线的离心率公式可表示为e=1+b【即时练】1.(2024·扬州模拟)双曲线x216-y2A.43 B.74 C.54 【解析】选C.由题意得a2=16,b2=9,所以e=ca=c2a2=a22.若双曲线x2a2-y2b2=1的焦点F(3,0)到其渐近线的距离为A.x24-y25=1 B.C.x23-y26=1 D.【解析】选A.因为焦点为F(3,0),所以c=3,根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b,得b=5,所以双曲线方程为x24-y【核心考点·分类突破】考点一双曲线的定义及应用[例1](1)(2024·潍坊模拟)已知动圆M与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆M的圆心轨迹是 ()A.双曲线 B.双曲线的一支C.抛物线 D.前三个答案都不对【解析】选B.题中两圆分别记为圆A:x2+y2=1以及圆B:(x-3)2+y2=2,设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则|MA于是|MB|-|MA|=2-1(<|AB|=3)为定值,因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支.(2)若F1,F2分别是双曲线x29-y①若双曲线上一点P到焦点F1的距离为7,求|PF2|;【解析】①由x29-y216=1,得a=3,b由于|PF1|=7<a+c=8,因此点P在双曲线的左支上,因此|PF2|-|PF1|=6,结合|PF1|=7可知|PF2|=13.(2)若F1,F2分别是双曲线x29-y②若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.【解析】②由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=64,所以S△F1PF2=12·|PF1||PF2|·sin∠F1PF2【解题技法】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.【对点训练】1.已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是 ()A.PF1-B.PF1-C.PF1-D.PF12【解析】选C.由题意,因为F1所以由双曲线的定义知,当0<PF动点P的轨迹为双曲线.2.(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别为双曲线x25-y24=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AFA.37+4 B.37-4C.37-25 D.37+25【解析】选C.因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-25,所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.如图,连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时,|AP|+|AF1|最小,最小值为|PF1|=3-(-3)故|AP|+|AF2|的最小值为37-25.【加练备选】1.(2024·渭南模拟)如果双曲线x24-y212=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的左焦点的距离是A.4 B.12C.4或12 D.不确定【解析】选C.设双曲线x24-y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=2,c=4+12=4;则|PF2|=8>6,由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4,即||PF1|-8|=4,所以|PF1|=4或|PF1|=12,由于c-a2.(2024·荆州模拟)已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P是C的右支上的一点(不是顶点),过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|【解析】如图所示,延长F2M交PF1于Q,由于PM是∠F1PF2的平分线,F2M⊥PM,所以△QPF2是等腰三角形,所以|PQ|=|PF2|,且M是QF2的中点.根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=8,即|QF1|=8,由于O是F1F2的中点,所以MO是△QF1F2的中位线,所以|MO|=12|QF1|=4答案:4

考点二双曲线的标准方程[例2](1)(2024·武汉模拟)已知点F1(-4,0),F2(4,0),曲线上的动点P到F1,F2的距离之差为6,则曲线方程为 ()A.x29-y27=1(x>0) B.C.y29-x27=1(y>0) D.【解析】选A.由题意可得|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,由双曲线定义可知,所求曲线方程为双曲线的一支,且2a=6,2c=8,即a=3,c=4,所以b2=c2-a2=16-9=7.又因为焦点在x轴上,所以曲线方程为x29-y27(2)已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是 ()A.x=0 B.x22-y214=1(C.x22-y214=1 D.x2【解析】选D.动圆M与两圆C1,C2都相切,有四种情况:①动圆M与两圆都外切;②动圆M与两圆都内切;③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切;④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切.在①②情况下,动圆圆心M的轨迹方程为x=0.在③的情况下,设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+2,|MC2|=r-2.故得|MC1|-|MC2|=22.在④的情况下,同理得|MC2|-|MC1|=22.由③④得|MC1|-|MC2|=±22.已知|C1C2|=8,根据双曲线定义,可知点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,且a=2,c=4,b2=c2-a2=14,其方程为x22-y[例3](1)(2024·成都模拟)已知直线y=2x是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(23,23)在双曲线C上,则双曲线A.x23-y24=1 B.C.x26-y212=1 D.【解析】选C.由双曲线C:x2a2-y2b2=1,则其渐近线方程为y=±bax,由题意可得:ba将(23,23)代入双曲线方程可得12a2-122a2=1,解得a所以双曲线C的方程为x26-y(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和A.x24-y24=1 B.C.x24-y28=1 D.【解析】选B.由离心率为2,可知a=b,c=2a,所以F(-2a,0),由题意知kPF=4-00所以2a=4,解得a=22,所以双曲线的方程为x28-y【解题技法】求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:①c2=a2+b2;②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法一般步骤.【对点训练】1.(2021·北京高考)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,A.x2-y23=1 B.x23C.x2-3y23=1 D.3x【解析】选A.由e=ca=2,得c=2a,b=c2-a2=3a将点(2,3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2-33a2=1,解得a=1,故b=3,因此双曲线的标准方程为x2.在平面直角坐标系中,已知圆M:(x+2)2+y2=12,点N(2,0),Q是圆M上任意一点,线段NQ的垂直平分线与直线MQ相交于点P,设点P的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为____________.

【解析】因为P在线段NQ的垂直平分线上,所以|PQ|=|PN|,所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=r=23<|MN|=4,由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点,23为实轴长的双曲线,则c=2,a=3,得b=1,所以曲线E的方程为x23-y2答案:x23-y【加练备选】(2024·杭州模拟)已知等轴双曲线Γ经过点A(3,2),则Γ的标准方程为 ()A.x25-y25=1 B.C.y2-x2=1 D.x2-y2=1【解析】选A.设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),代入点A(3,2),得λ=9-4=5,故所求双曲线的方程为x2-y2=5,其标准方程为x25-y考点三双曲线的几何性质【考情提示】双曲线的离心率及渐近线方程是高考命题的热点,它们常与方程、不等式及向量等知识相结合,多以选择或填空题的形式出现.角度1双曲线的离心率[例4](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1【解析】方法一:依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,故cos∠F1AF2=|AF1||所以在△AF1F2中,cos∠F1AF2=16a2+4整理得5c2=9a2,故e=ca=3方法二:依题意,得F1(-c,0),F2(c,0),令A(x0,y0),B(0,t),因为F2A=-23F2B,所以(x0-c,y0)=-则x0=53c,y0=-23又F1A⊥F1B,所以F1A·F1B=(83c,-23t)(c,t)=83c2又点A在C上,则259c2整理得25c29a2-4所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),整理得25c4-50c2a2+9a4=0,则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,又e>1,所以e=355或e=55(舍去),故e答案:3(2)已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为A.(1,52) B.(5C.(1,5) D.(5,+∞)【解析】选B.双曲线的渐近线方程为y=±bax,由极限思想,设过F1且与一条渐近线平行的直线l的方程为y=ba(x+c),即bx-ay+bc=0.依题意,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则点F2到直线l的距离大于a,即d=2bca2+b2>a,所以2b>a,所以ba>12,e=ca=c2a2【解题技法】求双曲线离心率的方法(1)若可求得a,c,直接利用e=ca(2)若已知a,b,可直接利用e=1+(b(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且pqr≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.角度2双曲线的渐近线方程[例5](1)(2024·南京模拟)设F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1FA.3x±4y=0 B.4x±3y=0C.3x±5y=0 D.5x±4y=0【解析】选B.作F2Q⊥PF1于点Q,如图所示,因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点,由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a,所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,因为cos∠PF1F2=45,所以|F1Q||F即a+c2c=45,得3c=5a,所以3a2+故双曲线的渐近线方程为y=±43x,即4x±3y=0(2)(一题多法)(2022·北京高考)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m【解