人教版B版（2019）高中数学必修第一册：第二章综合测试 （含答案与解析）

第二章综合测试

一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.二次三项式2/+区+。分解因式为2。-3）。+1）,则b,c的值分别为（）

A.3,1

B.—6,—2

C.—6,—4

D.-4,-6

2.不等式（x-l）g\/尤+220的解集是（）

A.{x\x>l}

B.{x\x^l}

C.{x|xNl§£x=-2}

D.{x|xW-2或x=l}

3.已知a、b、c是八45。的三条边，+bc=b2+ac,则AABC一定是（）

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

4.己知—1<。+6<3且2<4—/?<4,则2a+36的取值范围是（）

5.己知0<b<l+a,若关于x的不等式（x-02>（ar）2的解集中的整数恰有3个，贝U（）

A.-Ka<0

B.0caVI

C.Ka<3

D.3<a<6

6.在R上定义运算：x(8)y=x(l-y),若HxeR使得(x-a)(8)(x+a)>l成立，则实数。的取值范围是()

7.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为二天，且每

8

件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

()

A.60件

B.80件

C.100件

D.120件

8.若两个正实数满足工+3=1,且不等式尤+?〈根2-3;九有解，则实数加的取值范围是()

xy4

A.(-1,4)

B.(-oo,-l)U(4,+oo)

C.(M,l)

D.(-oo,0)U(3,+oo)

9.已知不等式d+fec+cK)的解集为{x|x>2或x<l},则不等式4+6%+IWO的解集为()

B.1-oo,g]u（l,+oo）

C.[-8,gU[l,+co)

D.-,1

2

二、多选题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求,

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

10.下列不等式推理正确的是()

A.若兀>y>z,则网>|yz|

ii

B.若上<±<0,则而>/0

ab

C.若d>b,c>d,贝!Jac>bd

D.若a2x>a2y,则x>y

E.若c>0,则

11.已知14，则()

AA—1>、—1

ab

B.ab<l

C.1

D.a2>b2

E.a1>ab

12.若正实数a为满足〃+b=l,则下列说法正确的是(

A.ab^-

4

B.+y/b

C.工+工。4

ab

D.a2+b2^-

2

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在题中横线上)

13.关于工的不等式会;-/?<0的解集是(l,+oo),则关于工的不等式(双+勿(％-3)>0的解集是

14.阅读理解：

(1)特例运算：①(％+l)(x+2)=

②(％+3)(%—1)=；

(2)归纳结论：(x+a)(x+b)=x2+()x+；

(3)尝试运用：直接写出计算结果(加+99)(m-100)=；

(4)解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：

①不2-5x+6=,

②d—3x-10=；

(5)拓展延伸：若f+px—8可分解为两个一次因式的积，则整数〃的所有可能值是.

15.某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求604W120)时，

每小时的油耗(所需要的汽油量)为号-k+胃)1,其中左为常数.当汽车以120km/h的速度行驶

时，每小时的油耗为1L5L,欲使每小时的油耗不超过9L,则速度x的取值范围为.

16.在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：

(1)对任意；

(2)对任意wO=a；

(3)对任意£R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(Z?*c)—5c.

则函数y=x*-(x>0)的最小值为.

X

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个

等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1可得等式：(a+26)(a+b)=/+3ab+262.

(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+6+c)的正方形，试用不同的形式

表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来；

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+6+c=U,ab+bc+ac=3S,^a2+b2+c2

的值；

(3)如图3,将两个边长分别为。和匕的正方形拼在一起，&C,G三点在同一直线上，连接班)和3户.这

两个正方形的边长满足。+匕=10,而=20,请求出阴影部分的面积.

18.(12分)解关于x的不等式—+(a-2)x-2a20.

19.(12分)已知不等式0?一3%+2<0的解集为A={x[l<x<6}..

(1)求的值；

Q

(2)求函数y=(2a+b)x-------------(xeA)的最小值.

(a-b)x

20.(12分)已知方程/+px+4=0的两个根是西,％2,那么%+々4毛=’,反过来，如果

+x

玉2=~P，xlx2=q,那么以占,々为两根的一元二次方程是％?+.+4=0.请根据以上结论，解决下列问

题：

(1)已知关于尤的方程/+如+“=()5♦())，求一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒

数；

(2)已知a、b满足/一15。-5=012一156-5=0,求@+令的值；

ba

(3)已知a、b、c均为实数，且a+〃+c=0,abc=16,求正数c的最小值.

21.(12分)问题情境：我们知道，若一个矩形的周长固定，当其相邻两边相等，即为正方形时，面积是最

大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？

用两条直角边边长分别为以人的四个全等的直角三角形可以拼成一个正方形.若可以拼成如图①

的正方形，从而得至即/+62>2"；若可以拼成如图②的正方形，从而得到

2

/+/=4/!而，即。2+■=2".于是我们可以得至1」结论：a、b为正数时，总有/+62三2"，且当a=b

2

时，代数式/+〃取得最小值2ab.

图①

另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论.

Q(a-8)2=°2_2a6+8,0,+Z?2》2a。.对于任意实数,总有/，且当a=6时，代数

式/+廿取得最小值2".

(1)探究方法：

仿照上面的方法，对于正数a/,试比较a+b和2j茄的大小关系;

(2)类比应用：

利用上面所得到的结论，完成填空：

(i)，代数式f+［有最值，为；

ao

(ii)当%>0时，％+—2，代数式X+—有最________值，为;

XX

(iii)当x>2时，x+2_,代表式了色—有最________值，为；

x—2x—2

(3)问题解决:

若一个矩形的面积固定为n,则它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若

没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？

22.(12分)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为

900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m,

三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽

的通道，如图.设矩形温室的室内长为x（单位：m）,三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：m2）.

（1）求S关于x的函数关系式;

（2）求S的最大值

第二章综合测试

答案解析

1.【答案】D

【解析】Q2(x-3)(x+1)=2x2-4x-6,b=-4,c=-6,故选C.

2.【答案】C

【解析】当x=-2时，0,0成立；当心>—2时，原不等式等价与x—1N0,即xNl....原不等式的解集为

{x\x^l或x=-2}.

3.【答案】A

【解析】等式变形为(。+》)(。-6)-。(。-6)=0,即(440。场6)力a-eQ/a-b=0，即a=〃，

•••△ABC为等腰三角形.故选A.

4.【答案】D

5

m-—,

m+n=2,一22

【解析】用特定系数法，设2a+3b=m(a-^-b)+n(a-b),则C解得所以

m-n=3,

n=~2"

2a+3b=-(a+b)--(a-b),因为一lVa+6<3,2<a-b<4,所以—9<D(a+b)(士，-2<--.

222222

95113

(a-b)<-l,所以一二〈9(°+加一一(a-b)<—.故选D.

2222

5.【答案】C

【解析】由(X—6)2>(ox)2,整理可得(1_。2卜2_2"+/>0,由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则

有1—/<0,此时/>1,而OVKl+a,故a>l,由不等式(/—1)/+2匕“劣解得

-2b-2ab<x<-2b+2ab即二且〈日上，而0<_也VI,要使该不等式的解集中的整数恰有3个,

2a2-1]2(«2-1)o-la+1a+1

那么—3W*V—2,由卫<一2得一。则有0<2+1,即。<2+1<1±且+1,解得4<3,

a-\a-\''222

由-3W*得3a-3三6>0,解得a>l,贝也<。<3.

a—1

6.【答案】A

[解析]由题知(%—。)区(％+〃)=(%—a)[1—(％+〃)]=-x2+x+a2

若去ER,使得不等式(JV—Q)㊈+成立，则需函数>=一(九一；1+。2一。+；的最大值大于1,即

111Q

%=—时，y=〃2一〃+—>1成立，解得——或a>—.故选A.

2422

7.【答案】B

【解析】若每批生产X件产品，则每件产品的生产准备费用是陋元，仓储费用是二元，总X的费用是

x8

晒+二22*性独第=20元，当且仅当期=二，即x=80时取等号。

x8Vx8x8

8.【答案】B

:不等式x+^<m2-3m有解,<m2-3m,Qx>0,y>0,且-+-=1

..”+?=[+（用+3]="+亳+2/2白/+2=4,当且仅当好=十，即x=2,y=8时取等号,

x+—=4,m2-3m>4即(zn+1)加-韦>i.解得m<-l或m>4,故实数加的取值范围是

4Jmin

(-oo,-l)U(4,+oo).

9.【答案】D

【解析】不等式f+fcc+cX)的解集为{幻">2或x<l},所以与之对应的二次方程/+云+。=。的两个根

为1,2,由根与系数的关系得〃=一3,c=2,所以不等式c?+区+1<0化为2——3%+反0,即

意-1)(2-蜀,解得gwxWl,所以所求不等式的解集为卜igwxWl，.

--、

10.【答案】DE

【解析1A中,例如1>—2>—3,此时11x(—2)1<1(—2)x(—3)，所以A不正确;B中,若一V」V0，则b<a<。,

ab

则/>ab,所以B不正确；C中，例如—1>—2,—3>—4,此时—1x(―3)V—2x(—4),所以C不正确；D中，

若［2元>〃2>，则。2(%一丁)>0,贝|jx-y>o,贝所以D正确；E中，根据不等式的可加性可知E正

确.故选DE.

n.【答案】DE

【解析】由1<攵|4，可知0W网<问，由不等式的性质可知同2〈问2,所以片>〃，故D正确；

QaV同，.二aV0,QaV6,「.a2>ab,故E正确.故选DE.

12.【答案】CD

【解析】QaX),b>0，且a+b=l，:A=a+b^2y[ab，ab^—，A错误；

4

(y/a+y/~炉)=a+a国—复/％+,「.&+扬W夜，「.B错误；—+—==J-^4,

v4ababab

二.C正确；tz2+Z?2=(«+/?)2—2ab=1-—2x—=—,二.D正确.故选CD.

42

—1、

13.【答案】(T3)

b_

【解析】由于不等式以-XX)的解集是(1,+oo),所以。<0且X=1,故a=wo.所求不等式可化为

a

(x+1)(%-3)<0,解得-l<x<3.

14.【答案】(1)①好+3彳+2@2X2+2X-3

(2)a+bab

(3)m2-m-9900

(4)®(x-2)(x-3)(g)(x-5)(x+2)

(5)-7,-2,2,7

【解析】(1)特例运算：®(x+l)(x+2)=x2+3x+2,

②(x+3)(x—1)=尤2+2x—3.

(2)归纳结论：(x+a)(x+b)=x1+{a+b)x+ab.

(3)尝试运用：直接写出计算结果(加+99)-(机-100)=机2—机一9900.

(4)解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：

①)公—5%+6=(x-2)(x-3),

(2)x2-3%-10=(x-5)(%+2).

(5)拓展延伸：若"2+/-8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是-7,-2,2,7.

15.【答案】[60,100]

【解析】解析因为“汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L”，所以

4120-左+型也］=11.5.解得上=100.故汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行使时，每小时的油耗

51120)

为[+空H-20.依题意号/[x+竺型]一20<9,解得45WxW100,因为60&W120,所以60^x^100,

所以欲使每小时的油耗不超过9L,速度x的取值范围为[60,100].

16.【答案】3

【解析】对任意R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+3*c)-5c,令c=0,

代入得(a*b)*0=0*(aZ?)+(a*0)+(Z?*0).

由a*b=b*a可得(a*b)蛆0Q©>*(h«*/,由a*0=a可得&aMa，所以

y=x*L=i+x+L,因为xX),由均值不等式可得y=l+x+L、3(当且仅当x=L,即X=1时，等号成

XXXX

立).所以y=x*』(x>0)的最小值为3.

X

四、

17.【咨](1)(a+Z?+c)?=a?+〃+/+2cib+2bc+2ac.

(2)Qa+/?+c=n,ab+bc+ac=3S,

.Q?+Z??++Z?+c)2—2(ab+ac+be)—121—76—45.

(3)Qa+b=10,ab=20,

**-S阴影=〃2+b12--(a+b)^--a2

=—a2+—Z?2--ab

222

17、237

——(zu+b)—cib

22

13

=-xl09-一一x20

22

=50-30

=20

18.【答案】+(a-2)x-2a>0可化为(x+a)(x—2)20.当一a=2,即。=一2时，。一2)2三0,止匕时xeR；

当一。>2,即。<一2时，解得xN—a或xW2；当一a<2,即a>-2时，解得xN2或xW—a.

综上所述，当心一2时，xe(-00,-a)u[2,+oo)；当。=一2时，xeR；当aV-2时，xe(^»,2]U[-a,+oo).

19.【答案】(1)：不等式依2_33+2<0的解集为人={%|1<%<6},

/.1和b是方程a?_3%+2=0的两根,

。一3+2=0

f。=]

<ab2-3Z?+2=0,解得<5

\b=2.

b>li

9,—93

(2)由(1)得y=4x+—N2^^=12,当且仅当4x=—,即1=—EA时，等号成立，.••函数y的最小值

xx2.

为12.

20.【答案】(1)设方程/+加元+〃=0(〃工0),的两个根分别是%1，%2，则%+%2=-m,xxx2=n,

-+—若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程

n

X2再入2

j^y2+—y+—=0,整理得ny1+my+1=0.

nn

(2)分两种情况讨论：①当iwZ?时，•；a、〃满足。2一15。一5=0,〃一15人一5=0,

a>b是无?一15%—5=0的两个根，.•.Q+〃=15,ab=-5,

,aba2-\-b2(a+Z?)2-2ab152-2x(-5)

・・—I—=---------=-------------------=------------------=—47.

baabab-5

②当a=〃时，-+-=2.

ba

(3)Va+b+c=G,abc=

716

/.a+。7=—c,ab——,

c

a>Z?是方程f