2024-2025学年新教材高中数学模块综合测评一含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE模块综合测评(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若向量a＝(1，0，z)与向量b＝(2，1，2)的夹角的余弦值为eq\f(2,3)，则z＝()A．0B．1C．－1D．2A[由题意可知cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2＋2z,\r(1＋z2)×\r(4＋1＋4))＝eq\f(2,3)，解得z＝0，故选A．]2．已知四面体ABCD的全部棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(BA,\s\up9(→))＝()A．1B．－1C．eq\r(3)D．－eq\r(3)B[如图所示，eq\o(EF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))，所以eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))·(－eq\o(AB,\s\up9(→)))＝－eq\f(1,2)×2×2×cos60°＝－1，故选B．]3．若A(－2，3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三点共线，则m的值为()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－2D．2A[由eq\f(－2－3,3－－2)＝eq\f(m＋2,\f(1,2)－3)，解得m＝eq\f(1,2)．]4．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0D[圆心C(1，0)，kPC＝eq\f(0－－1,1－2)＝－1，则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D．]5．双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A．eq\f(3,16)B．eq\f(3,8)C．eq\f(16,3)D．eq\f(8,3)A[抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，故双曲线的一个焦点是(1，0)，所以m＋n＝1，且eq\f(1,\r(m))＝2，解得m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(3,4)，故mn＝eq\f(3,16)．]6．阿基米德诞生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“靠近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的面积为8π，直线l过椭圆C的两个顶点，且椭圆的中心到直线l的距离为eq\f(4\r(34),17)，则椭圆C的方程为()A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,14)＝1C．eq\f(x2,64)＋y2＝1 D．eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,2)＝1D[依题意，8π＝ab·π，故ab＝8．①不妨设直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0，则椭圆的中心到直线l的距离为eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(4\r(34),17)，解得a2＋b2＝34，②联立①②，解得a＝4eq\r(2)，b＝eq\r(2)，故椭圆C的方程为eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,2)＝1．故选D．]7．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),6) D．eq\f(\r(2),3)A[∵B1B⊥平面ABCD，∴∠BCB1是B1C与底面所成角，∴∠BCB1＝60°．∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D与底面所成的角，∴∠CDC1＝45°．连接A1D，A1C1(图略)，则A1D∥B1C．∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角．不妨设BC＝1，则CB1＝DA1＝2，BB1＝CC1＝eq\r(3)＝CD，∴C1D＝eq\r(6)，A1C1＝2．在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝eq\f(\f(1,2)C1D,A1D)＝eq\f(\r(6),4)．]8．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A．eq\f(\r(6)a,6)B．eq\f(\r(3)a,6)C．eq\f(\r(3)a,4)D．eq\f(\r(6)a,3)A[建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(a,2)))，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，∴eq\o(DM,\s\up9(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(a,2)))，eq\o(DB,\s\up9(→))＝(a，a，0)，eq\o(DA1,\s\up9(→))＝(a，0，a)．设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(a,2)z＝0，,ax＋ay＝0，))令x＝1，则可得n＝(1，－1，－2)．∴d＝eq\f(|\o(DA1,\s\up9(→))·n|,|n|)＝eq\f(|a－2a|,\r(6))＝eq\f(\r(6),6)a．]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是()A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3B．若l1∥l2，则m＝3C．若l1⊥l2，则m＝－eq\f(1,2)D．若l1⊥l2，则m＝eq\f(1,2)BD[直线l1∥l2，则3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但m＝－1时，两直线方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0即x－y－1＝0，两直线重合，只有m＝3时两直线平行，A错，B正确；l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，m＝eq\f(1,2)，C错，D正确．故选BD．]10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0．若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是()A．1B．2C．3D．4AB[圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2，0)，半径r＝2．设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC＝eq\r(2)r＝2eq\r(2)，∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC，即eq\f(|2k－0＋k|,\r(k2＋1))≤2eq\r(2)，解得k2≤8，可得－2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2)，∴结合选项，实数k的取值可以是1，2．]11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A­BD­C，则下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．△ACD是等边三角形C．AB与平面BCD所成的角为90°D．AB与CD所成的角为60°ABD[如图，取BD的中点O，连接AO，CO，AC，则AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，A正确；∵AC＝eq\r(2)AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B正确；易知AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C错误；∵eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))，不妨设AB＝1，则eq\o(AC2,\s\up9(→))＝(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→)))2＝eq\o(AB2,\s\up9(→))＋eq\o(BD2,\s\up9(→))＋eq\o(DC2,\s\up9(→))＋2eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BD,\s\up9(→))＋2eq\o(BD,\s\up9(→))·eq\o(DC,\s\up9(→))＋2eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(DC,\s\up9(→))，∴1＝1＋2＋1＋2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＋2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＋2cos〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(DC,\s\up9(→))〉，∴cos〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(DC,\s\up9(→))〉＝eq\f(1,2)，∴AB与CD所成的角为60°，D正确．故选ABD．]12．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq\r(3)，则()A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6xBCD[因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以FA＝FB，若∠ABD＝90°，可得FA＝AB，所以可得△ABF为等边三角形，所以B正确；过F作FC⊥AB交AB于C，则C为AB的中点，C的横坐标为eq\f(p,2)，B的横坐标为－eq\f(p,2)，所以A的横坐标为eq\f(3p,2)，代入抛物线可得y2＝3p2，|yA|＝eq\r(3)p，△ABF的面积为9eq\r(3)，即eq\f(1,2)(xA－xB)·|yA|＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)＋\f(p,2)))×eq\r(3)p＝9eq\r(3)，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，所以D正确；焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以焦点到准线的距离为eq\f(3,2)×2＝3，所以C正确；此时A点的横坐标为eq\f(9,2)，所以BF＝AF＝AB＝eq\f(9,2)＋eq\f(3,2)＝6，所以A不正确．]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．2x＋3y－2＝0[由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))得交点A(－2，2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－eq\f(2,3)，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－eq\f(2,3)(x＋2)，即2x＋3y－2＝0．]14．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．2π[(数形结合法)如图，圆x2＋y2－12y＋27＝0可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心坐标为(0，6)，半径为3．在Rt△OBC中可得∠OCB＝eq\f(π,3)，∴∠ACB＝eq\f(2π,3)，∴所求劣弧长为2π．]15．已知三棱锥A­BCD的全部棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC的中点，则直线PE与平面BCD所成角的正弦值为________，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为________________________________________________________________________________．(本题第一空2分，其次空3分)eq\f(\r(6),3)eq\f(2\r(2),3)[连接BE，AE，过A作AO⊥底面BCD，垂足为O，连接OD，则∠ADO是直线PE与平面BCD所成角(图略)，因三棱锥A­BCD的全部棱长均相等，设棱长为2，则DO＝BO＝eq\f(2,3)BE＝eq\f(2,3)eq\r(4－1)＝eq\f(2\r(3),3)，AO＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(6),3)，∴sin∠ADO＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(\f(2\r(6),3),2)＝eq\f(\r(6),3)．∴直线PE与平面BCD所成角的正弦值为eq\f(\r(6),3)．当Q与A重合时，直线QE与平面BCD所成角正弦值取最大值，此时直线QE与平面BCD所成角为∠AEO，AE＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为sin∠AEO＝eq\f(AO,AE)＝eq\f(\f(2\r(6),3),\r(3))＝eq\f(2\r(2),3)．]16．已知点F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝4，点Q(2，eq\r(2))在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则eq\o(PQ,\s\up9(→))·eq\o(PF1,\s\up9(→))的最大值为________．eq\f(9,2)[由题意可得c＝2，eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，可得F1(－2，0)，设P(x，y)，由eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，可得x2＝8－2y2，则eq\o(PQ,\s\up9(→))·eq\o(PF1,\s\up9(→))＝(2－x，eq\r(2)－y)(－2－x，－y)＝x2－4＋y2－eq\r(2)y＝－y2－eq\r(2)y＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)＋4，当且仅当y＝－eq\f(\r(2),2)∈[－2，2]时，eq\o(PQ,\s\up9(→))·eq\o(PF1,\s\up9(→))取得最大值为eq\f(9,2)．]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．[解](1)由题意可知，E为AB的中点，∴E(3，2)，且kCE＝－eq\f(1,kAB)＝1，∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,x－y－1＝0，))得C(4，3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AC|·|BC|＝2．18．(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2，3)，C(2，1)．(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长．[解](1)AC的中点E(0，2)即为圆心，半径r＝eq\f(1,2)|AC|＝eq\f(1,2)eq\r(42＋－22)＝eq\r(5)，所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5．(2)直线BC的斜率k＝eq\f(1－－2,2－－2)＝eq\f(3,4)，其方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－2)，即3x－4y－2＝0．点E到直线BC的距离为d＝eq\f(|－8－2|,5)＝2，所以BC截圆E所得的弦长为2eq\r(5－22)＝2．19．(本小题满分12分)在①(eq\o(DE,\s\up9(→))＋eq\o(CF,\s\up9(→)))⊥(eq\o(DE,\s\up9(→))－eq\o(CF,\s\up9(→)))，②|eq\o(DE,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(17),2)，③0<cos〈eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(DB,\s\up9(→))〉<1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz．已知点D1的坐标为(0，0，2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，________，试问是否存在点E，F满意eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝0？若存在，求eq\o(AE,\s\up9(→))·eq\o(BF,\s\up9(→))的值；若不存在，请说明理由．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解]由题意，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2．则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，设E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)，则eq\o(EF,\s\up9(→))＝(b，2－a，0)，eq\o(A1C,\s\up9(→))＝(－2，2，－2)，eq\o(AE,\s\up9(→))＝(－2，a，2)，eq\o(BF,\s\up9(→))＝(b－2，0，2)，所以eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝4－2(a＋b)，eq\o(AE,\s\up9(→))·eq\o(BF,\s\up9(→))＝8－2b．选择①，因为(eq\o(DE,\s\up9(→))＋eq\o(CF,\s\up9(→)))⊥(eq\o(DE,\s\up9(→))－eq\o(CF,\s\up9(→)))，所以(eq\o(DE,\s\up9(→))＋eq\o(CF,\s\up9(→)))·(eq\o(DE,\s\up9(→))－eq\o(CF,\s\up9(→)))＝eq\o(DE,\s\up9(→))2－eq\o(CF,\s\up9(→))2＝0，即eq\o(DE,\s\up9(→))2＝eq\o(CF,\s\up9(→))2，即0＋(a－0)2＋(2－0)2＝(b－0)2＋(2－2)2＋(2－0)2，所以a＝b．因为eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝4－2×(a＋b)＝0，所以a＝b＝1，故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)，满意eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝0，且eq\o(AE,\s\up9(→))·eq\o(BF,\s\up9(→))＝8－2b＝6．选择②，|eq\o(DE,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(17),2)，即eq\r(a2＋22)＝eq\f(\r(17),2)，a＝eq\f(1,2)，因为eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝4－2(a＋b)＝0，所以b＝eq\f(3,2)，故存在点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，2))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2，2))，满意eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝0，且eq\o(AE,\s\up9(→))·eq\o(BF,\s\up9(→))＝8－2b＝5．选择③，eq\o(EF,\s\up9(→))＝(b，2－a，0)，eq\o(DB,\s\up9(→))＝(2，2，0)，因为0＜cos〈eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(DB,\s\up9(→))〉<1，所以eq\o(EF,\s\up9(→))与eq\o(DB,\s\up9(→))不共线，所以b≠2－a，即a＋b≠2，则eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝4－2(a＋b)≠0，故不存在点E，F满意eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝0．20．(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，离心率是eq\f(\r(6),3)，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．[解](1)因为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，且c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1．(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝t，,\f(x2,3)＋y2＝1))得x＝±eq\r(31－t2)，所以圆P的半径为eq\r(31－t2)．当圆P与x轴相切时，|t|＝eq\r(31－t2)，解得t＝±eq\f(\r(3),2)．所以点P的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))．21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝eq\f(1,2)AD＝1，CD＝eq\r(3)．(1)求证：PQ⊥AB；(2)求二面角P­QB­M的余弦值．[解](1)证明：在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD．因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PQ⊥底面ABCD．又AB⊂平面ABCD，所以PQ⊥AB．(2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，Q为AD的中点，所以四边形BCDQ为平行四边形．因为AD⊥DC，所以AD⊥QB．由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz如图所示，则Q(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，eq\r(3))，C(－1，eq\r(3)，0)，B(0，eq\r(3)，0)，eq\o(QB,\s\up9(→))＝(0，eq\r(3)，0)．因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，所以AQ⊥平面PQB，即eq\o(QA,\s\up9(→))为平面PQB的一个法向量，且eq\o(QA,\s\up9(→))＝(1，0，0)．因为M是棱PC的中点，所以点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，所以eq\o(QM,\s\up9(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(\r