云南省德宏州2025届高三数学上学期期末考试教学质量检测试题理含解析

PAGE23-云南省德宏州2025届高三数学上学期期末考试教学质量检测试题理（含解析）留意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并仔细核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得集合，再利用集合并集运算即可得到答案.【详解】又所以故选：B.2.若为虚数单位，，且，则复数的模等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先依据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C3.我国古代闻名的数学著作中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”.某校数学爱好小组为了解本校学生对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》阅读的状况，随机调查了100名学生，阅读状况统计如下表，书籍《周髀算经》《九章算术》《周髀算经》且《九章算术》《周髀算经》或《九章算术》阅读人数70？6090则该100名学生中阅读过《九章算术》的人数为（）A.60 B.70 C.80 D.90【答案】C【解析】【分析】依据统计表分析可得结果.【详解】依据统计表可知，只阅读过《周髀算经》没阅读过《九章算术》的人数为人，所以只阅读过《九章算术》没阅读过《周髀算经》的人数为人，所以阅读过《九章算术》的人数为人.故选：C【点睛】关键点点睛：理解并运用统计表给出的信息是解题关键.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式得,再利用二倍角公式化简，然后代值求解即可.【详解】，利用诱导公式可得，，故选：B.5.绽开式的系数为（）A.-10 B.10 C.-30 D.30【答案】A【解析】【分析】先求得的通项公式，然后再由求解.【详解】的通项公式为，因为。所以含的项为：，，绽开式的系数为-10，故选：A6.如下图所示，在正方体中，是平面的中心，、、分别是、、的中点，则下列说法正确的是（）A.，且与平行B.，且与平行C.，且与异面D.，且与异面【答案】D【解析】【分析】设正方体的棱长为2，利用正方体性质可求得，，知，再利用三角形中位线性质知，从而，又与相交，可知与异面，即可选出答案.【详解】设正方体的棱长为2，则作点在平面的投影点，即平面，连接，在直角中，，，则，所以，故解除A、C连接，由是平面的中心，得又分别是、的中点，所以又，所以，又，所以与异面故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及推断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理实力，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，若输入，的值分别是288，123，则输出的结果是（）A.42 B.39 C.13 D.3【答案】D【解析】【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的值，当时，满意条件，输出的值.【详解】执行程序框图，由，知由，知由，知由，知，即，输出，结束循环故选：D.8.设ΔABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则∠B=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得.【详解】由正弦定理可得：，.故选：D【点睛】此题考查依据正弦定理进行边角互化，依据三角恒等变换化简求解角的大小.9.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.的图象的一条对称轴为 B.在上单调递增C.在上的最大值为1 D.的一个零点为【答案】B【解析】【分析】对选项A，，即可推断A错误；对选项B，求出的单调区间即可推断B正确；对选项C，求出在的最大值即可推断C错误；对选项D，依据，即可推断D错误.【详解】，.对选项A，因为，故A错误；对选项B，因为，.解得，.当时，函数的增区间为，所以在上单调递增，故B正确；对选项C，因为，所以，所以，，，故错误；对选项D，，故D错误.故选：B10.设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点.若，则点到轴的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，设，，由双曲线定义知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面积法即可求得【详解】由题意，双曲线中，如图，设，，由双曲线定义知两边平方得：在中，由余弦定理可得：，即两式相减得：，即利用等面积法可知：，即解得故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟识焦点三角形的面积公式推导，也可以干脆记住结论：（1）设，分别为椭圆的左，右焦点，点为椭圆上的一点，且，则椭圆焦点三角形面积（2）设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点，且，则双曲线焦点三角形面积11.函数是定义在上的奇函数，对随意两个正数，都有，记，，，则大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，则函数单调递减，且，，，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.详解】构造函数，则函数单调递减，，，，，.故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.12.对于正数，定义函数：.若对函数，有恒成立，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数最大值，由函数的定义结合恒成立可知，由此可得出的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数，定义函数：，且恒成立，则.函数的定义域为，且.当时，，此时，函数单调递增；当时，，此时，函数单调递减.所以，，.因此，的最小值为.故选：B.【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式恒成立，从而将问题转化为求函数的最大值.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个考生都必需做答.第22题~第23题为选考题，考生依据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则_______________.【答案】5【解析】【分析】由向量坐标运算先写出向量的坐标，再求模即可.【详解】,,故答案为：5.14.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为：______________.【答案】【解析】【分析】如图作，，由抛物线定义知是等边三角形，再过焦点作，知为的中点，所以，即焦点到准线的距离是，即可求得抛物线方程.【详解】抛物线：，焦点，准线如图，，，，由抛物线定义知，故是等边三角形，过焦点作，交于，则为的中点，所以，即焦点到准线的距离是故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟识抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知，再利用知是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导实力，属于中档题.15.设点在曲线上，在直线上，则的最小值________.【答案】【解析】【分析】当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离，先依据导数的几何意义求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式进行求值.【详解】函数的定义域为，求导得，当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.设，由导数的几何意义，可得，解得（舍去），故切点为，点到直线的距离所以的最小值为故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查利用导数的几何意义探讨曲线上某点的切线方程，须要留意：（1）已知切点求斜率，即求该点处的导数值：；（2）已知斜率，求切点，即解方程；（3）已知过某点(不是切点)的切线斜率为时，常需设出切点，利用＝求解.16.如下图所示，三棱锥外接球的半径为1，且过球心，围绕棱旋转后恰好与重合.若，则三棱锥的体积为_____________.【答案】【解析】【分析】作于，可证得平面，得，得等边三角形，利用是球的直径，得，然后计算出，再应用棱锥体积公式计算体积．【详解】∵围绕棱旋转后恰好与重合，∴，作于，连接，则，，∴．又过球心，∴，而，∴，同理，，，由，，，得平面，∴．故答案为：．【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作于，利用旋转重合，得平面，这样只要计算出的面积，即可得体积，这样作图可以得出，为旋转所形成的二面角的平面角，这里简单出错在误认为旋转，即为．旋转是旋转形成的二面角为．应用作出二面角的平面角．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.2024年年初，中共中心、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.为了解这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同，某高校一个社团在2024年末随机调查了100位该校在读高校生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到部分数据如下表：不相同相同合计男50女15合计100已知在100名学生中随机抽取1人认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的概率为0.75.（1）完成上表；（2）依据如上的列联表，有没有的把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关？附：（）.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246635【答案】（1）表格见解析；（2）有把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关.【解析】【分析】（1）由的概率计算出认为不相同的总人数，则可完成列联表；（2）计算后比较可得结论．【详解】解：（1）不相同相同合计男501060女251540合计7525100（2）.所以有的把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关.18.设数列的前项和为，且.（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若数列中，，，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；；（2）.【解析】【分析】（1）当时，由，可得，两式相减，可化为，结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由题知数列是等差数列，则，再利用分组求和法求数列的前项和.【详解】（1）证明：当时，，当时，①②由①－②得：，，即，故数列是以2为公比，首项为的等比数列，，得.（2）由题得：，故是以2为公差，2为首项的等差数列，..【点睛】方法点睛：本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.19.如图①，是由正三角形和正方形组成的平面图形，其中；将其沿折起，使得，如图②所示.（1）证明：图②中平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在点满意题意要求，.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，利用等腰三角形三线合一可得出，利用勾股定理可得出，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可得出结论.【详解】（1）取的中点，连接、，为正三角形且，，且，因为四边形为正方形，且，，，，则，又，平面.平面，平面平面；（2）平面，且四边形是正方形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，

平面，所以，面的一个法向量为，在线段上，设，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，，设二面角的平面角为，二面角的余弦值为，，整理得，，解得，，综上，存在点满意题意要求，此时.【点睛】体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）依据题目的已知条件进行综合分析和视察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，依据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．20.已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.【答案】（1）；（2）最大值点为..【解析】【分析】（1）依据在上存在单调递增区间，由在上有解求解.（2）由得，，依据，易得，，则在上的最大值点为，最小值为或，然后由，分，确定最小值进而求得a即可【详解】（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解，即在上成立，而的最大值为，∴，解得：.（2），∴，由得：，，则在，上单调递减，在上单调递增，又∵当时，，，∴在上的最大值点为，最小值为或，而，当，即时，，得，此时，最大值点；当，即时，，得（舍）.综上在上的最大值点为.【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内全部使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内全部使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最终比较即得；(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．21.在平面直角坐标系中，已知，直线：，点为平面内的动点，过点做直线的垂线，垂足为点，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设，过且与轴不重合的直线与曲线相交于不同的两点，.则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线的方程为，的内切圆的面积最大值为.【解析】【分析】（1）设点，依据得到模长关系，由此得到关于的等式即为轨迹方程；（2）利用内切圆的半径分析出的面积最大时，对应的内切圆半径最大从而内切圆面积最大，再根弦长公式以及点到直线的距离表示出，并利用导数计算出的最大值，从而内切圆半径最大值可求，则的内切圆的面积最大值可求.【详解】解：（1）设动点，则，由，则，，∵，∴，∴，化简得：.∴所求曲线的方程为.（2）设，，不妨令，，设的内切圆半径为，则的周长为，，由此可知，当的面积最大时，的内切圆面积最大，可设直线的方程为，联立，得：，∴，则，令，则，∴，令，则，当时，恒成立，则在上单调递增，∴，即的最小值为4.∴，即当时，的面积最大为3，此时，的内切圆的最大半径为，所以，的内切圆的面积取得最大值为.故直线的方程为，的内切圆的面积最大值为.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的思路：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积；（2）依据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的状况，将三角形的面积表示为或；（3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（为内切圆半径）.请考生在第22、23题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分.做