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第二章一元二次方程*5一元二次方程的根与系数的关系数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01课前预习
－
p
q
数学九年级上册BS版02典例讲练
（1）已知关于
x
的一元二次方程
x2＋
x
－
a
＝0的一个根是2，则
另一个根是
.－3
【思路导航】把
x1＝2代入原方程，先求出
a
的值，再求另一个
根
x2.也可以直接根据根与系数的关系求出
x2.【解析】（方法一）把
x
＝2代入原方程，得4＋2－
a
＝0.解得
a
＝6.则原方程为
x2＋
x
－6＝0.因式分解，得（
x
－2）（
x
＋3）＝0.解得
x1＝2，
x2＝－3.故答案为－3.（方法二）设另一个根为
m
.由根与系数的关系，得
m
＋2＝－1.∴
m
＝－3.故答案为－3.【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，既可以用方
程的根的意义来解答，也可以用根与系数的关系来解答.一般
地，第二种方法更为简捷.（2）已知方程
x2－2
x
＋
m
＝0的两根分别为3和
n
，则
m
＋
n
的
值为
.【思路导航】根据根与系数的关系得到3＋
n
＝2，3
n
＝
m
，解
出
m
和
n
即可.【解析】由根与系数的关系，得3＋
n
＝2，3
n
＝
m
.解得
n
＝－1，
m
＝－3.则
m
＋
n
＝－4.故答案为－4.－4
1.若4和8是方程
x2＋
mx
＋
n
＝0的两个根，则
m
－
n
的值为
（
B
）A.－20B.－44C.20D.442.若关于
x
的方程2
x2＋
mx
－4＝0的一个根为1，则另一个根
为
.B－2
已知
x1，
x2是方程
x2－3
x
－2＝0的两个根，不解方程，求下列
代数式的值：
【思路导航】求与
x1，
x2有关的代数式的值，即将代数式变形
为关于
x1＋
x2和
x1
x2的代数式，或结合根的意义来求解.解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
x1＋
x2＝3，
x1
x2＝－2.
（2）（
x1－3）（
x2－3）＝
x1
x2－3
x1－3
x2＋9＝
x1
x2－3（
x1＋
x2）＋9＝－2－3×3＋9＝－2.【点拨】小题中
x1，
x2的地位是“对称的”，这样的式子一般
用一元二次方程的根与系数的关系就可以解决.
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得α＋β＝3，αβ＝－1.
（3）∵α方程是
x2－3
x
－1＝0的一个根，∴α2－3α－1＝0.∴α2＝3α＋1.∴α2－α＋2β＝3α＋1－α＋2β＝2（α＋β）＋1＝6＋1＝7.（3）α2－α＋2β.
已知关于
x
的一元二次方程
x2－6
x
＋2
m
－1＝0有
x1，
x2两个实
数根.（1）若
x1＝1，求
x2及
m
的值.
解：（1）根据题意，得Δ＝（－6）2－4（2
m
－1）≥0.解得
m
≤5.由根与系数的关系，得
x1＋
x2＝6，
x1
x2＝2
m
－1.∵
x1＝1，∴1＋
x2＝6，
x2＝2
m
－1.∴
x2＝5，
m
＝3.
【点拨】解决第（2）问需要注意的两个地方：①得到的关于
m
的方程是分式方程，需要检验是否有增根；②由于方程的系数
中有参数
m
，容易忽略由Δ≥0得出的参数的取值范围.
（2023·南充）已知关于
x
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