高考数学压轴题大全

2019年高考数学压轴题大全

高考数学压轴题大全

1.（本小题满分14分）

如图，设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动，过P作抛物

线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.

⑴求4APB的重心G的轨迹方程.

⑵证明PFA=PFB.

解：（1）设切点A、B坐标分别为，

切线AP的方程为：

切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以4APB的重心G的坐标为，

所以，由点P在直线I上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

⑵方法1:因为

由于P点在抛物线外，则

同理有

AFP=PFB.

方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d1=d2,即得AFP二PFB.

②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

,同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1二d2,可得到

AFP=PFB.

2.(本小题满分12分)

设A、B是椭圆上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段AB

的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

(I)确定的取值范围，并求直线AB的方程；

(II)试推断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆

上？并说明理由.

(此题不要求在答题卡上画图)

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础学问以及

推理运算实力和综合解决问题的实力.

(1)解法1:依题意，可设直线AB的方程为，整理得①

设是方程①的两个不同的根，

且由N(1,3)是线段AB的中点，得

解得k=7,代入②得，的取值范围是(12,+).

于是，直线AB的方程为

解法2：设则有

依题意，

VN(1,3)是AB的中点，

又由N(1,3)在椭圆内，

的取值范围是(12,+).

直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.

（11）解法1:YCD垂直平分AB,直线CD的方程为y-3=x-1,即

x-y+2=0,

代入椭圆方程，整理得

又设CD的中点为是方程③的两根，

于是由弦长公式可得④

将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程得⑤

同理可得⑥

•・・当时，

假设存在12,使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径,

点M为圆心.

点M到直线AB的距离为⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.

（注：上述解法中最终一步可按如下解法获得：）

A、B、C、D共圆4ACD为直角三角形，A为直角|AN|2二|CN||DN|,

即⑧

由⑥式知，⑧式左边

由④和⑦知，⑧式右边

⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.

解法2：由（II）解法1及12,

〈CD垂直平分AB,直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得

将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程，整理得

解③和⑤式可得

不妨设

计算可得，A在以CD为直径的圆上.

又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.

(注：也可用勾股定理证明ACAD)

3.(本小题满分14分)

已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的

各项为正，且满意

(I)证明

(II)揣测数列是否有极限?假如有，写出极限的值(不必证明)；

(III)试确定一个正整数N,使得当时，对随意bO,都有

本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的

思想.

(I)证法1:二,当

即

于是有

全部不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n3时有，

证法2:设，首先利用数学归纳法证不等式

⑴当『3时，由

知不等式成立.

(ii)假设当n=k(k3)时,不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由⑴、(ii)知，

又由已知不等式得

(II)有极限，且

则有

故取N=1024,可使当nN时，都有

4.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1,F2在x轴上，

长轴A1A2的长为4,左准线I与x轴的交点为M,

|MA1|：|A1F1|=2：1.

(I)求椭圆的方程；

(II)若点P为I上的动点，求F1PF2最大值.

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基

础学问，考查解析几何的基本思想方法和综合解题实力.满分14

分.

解：(I)设椭圆方程为，半焦距为，则

5.已知函数和的图象关于原点对称，且.

(I)求函数的解析式；

(II)解不等式；

(III)若在上是增函数，求实数的取值范围.

本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的

应用等基础学问，以及综合运用所学学问分析和解决问题的实力.

满分14分.

解：(I)设函数的图象上随意一点关于原点的对称点为，则

•・•点在函数的图象上

(II)由

当时，，此时不等式无解.

当时，，解得.

因此，原不等式的解集为.

6.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2

小题满分6分，第3小题满分6分.

对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),

f(x)g(x)当xDf且xDg

规定：函数h(x)=f(x)当xDf且xDg

g(x)当xDf且xDg

若函数f(x)=,g(x)=x2,xR,写出函数h(x)的解析式；

求问题(1)中函数h(x)的值域；

⑶若g(x)(x+),其中是常数，且[0,],请设计一个定义域为R

的函数y=f(x),及一个的值，使得h(x)=cos4x,并予以证明.

[解](1)h(x)=x(-1)(1,+)

1X=1

(2)当x1时，h(x)==x-1++2,

若x1时，则h(x)4,其中等号当x=2时成立

若x1时，则h(x)0,其中等号当x=0时成立

函数h(x)的值域是(-,0]{1}[4,+)

⑶令f(x)=sin2x+cos2x,=

则g(x)=f(x+)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,

于是h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.

另解令f(x)=1+sin2x,=,

g(x)=f(x+)=1+sin2(x+)=1-sin2x,

于是h(x):f(x)f(x+)=(1+sin2x)(1-sin2x)=cos4x..(本题满

分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8

分，第3小题满分6分.

在直角坐标平面中，已知点P1(1,2),P2(2,22),,Pn(n,2n),其中n

是正整数.对平面上任一点AO,记A1为A0关于点P1的对称点，A2

为A1关于点P2的对称点，，AN为AN-1关于点PN的对称点.

(1)求向量的坐标；

(2)当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y二千(x)的图

象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x(0,3］时,f(x)=Igx.

求以曲线C为图象的函数在(1,4］上的解析式；

⑶对随意偶数n,用n表示向量的坐标.

［解］(1)设点A0(x,y),A0为P1关于点的对称点A0的坐标为

(2-x,4-y),

A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),

={2,4}.

(2)・・・={2,4},

f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得

到.

因此，曲线C是函数y=g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周

期函数，且当x(-2,1］时,g(x)=lg(x+2)-4.于是，当x(1,4］

时,g(x)=lg(xT)-4.

另解设点AO(x,y),A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,

若36,则0x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=Ig(x2-3).

当14时,则36,y+4=lg(x-1).

当x(1,4］时,g(x)=Ig(xT)-4.

⑶=,

由于，得

13分)

如图，已知双曲线C:的右准线与一条渐近线交于点M,F是双曲

线C的右焦点，0为坐标原点.

(I)求证：；

(II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；

(III)在(II)的条件下，直线过点A(0,1)与双曲线C右支交于不

同的两点P、Q且P在A、Q之间，满意，试推断的范围，并用代

数方法给出证明.

解：(I)右准线，渐近线

3分

(II)

双曲线C的方程为：7分

(III)由题意可得8分

证明：设，点

由得

与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

11分

,得

的取值范围是(0,1)13分

2.(本小题满分13分)

已知函数，

数列满意

(I)求数列的通项公式；

(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求;

(III)在集合，且中，是否存在正整数N,使得不等式对一切恒成

立？若存在，则这样的正整数N共有多少个?并求出满意条件的最

小的正整数N；若不存在，请说明理由.

(IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.

解：⑴

1分

将这n个式子相加，得

3分

(II)为始终角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的

长分别为，高为1

6分

(III)设满意条件的正整数N存在，则

又

均满意条件

它们构成首项为2019,公差为2的等差数列.

设共有m个满意条件的正整数N,则，解得

中满意条件的正整数N存在，共有495个，9分

(IV)it,即

则

明显，其极限存在，并且10分

注：(C为非零常数)，等都能使存在.

19.(本小题满分14分)

设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.

(I)求此双曲线的渐近线的方程；

(II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程,

并说明轨迹是什么曲线；

(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q