第2讲 图形的初步认识（二）（题型精讲）（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

第2讲图形的初步认识（二）（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

题型一：角的概念

题型二：钟面角

题型三：方向角

题型四：角的单位与角度制

题型五：角的大小比较

题型六：角的运算

题型七：角平分线问题

题型八：余角和补角

题型九：相交线

题型十：垂线

题型十一：垂线段最短

题型十二：点到直线的距离

题型十三：对顶角

题型十四：邻补角

题型十五：平行线及其判断

角度1：平行线

角度2：平行公理及其推论

角度3：平行线的判断

题型十六：平行线的性质

角度1：平行线的性质

角度2：平行线的性质的应用

角度3：平行线直接的距离

第四部分：中考真题感悟

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：角的概念

(1)角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，

这两条射线是角的两条边.

(2)角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点

字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，

否则分不清这个字母究竟表示哪个角.角还可以用一个希腊字母(如m//、…)

表示，或用阿拉伯数字(Nl，Z2-)表示.

(3)平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终

边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角.

(4)角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1=60'，1分=60秒,

即1'=60".

(5)比较角的大小有两种方法:

①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大.

②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置.

知识点二：角的计算

8

(1)角的和差倍分/0

0A

①NAOB是Z4OC和NBOC的和，记作：ZAOB=ZAOC+ABOC.ZAOC是ZAOB

和N8OC的差，记作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射线。。是NAOB的三等分线,

则ZAOB=3ZBOC或NBOC=-ZAOB.

3

(2)度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加

减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60.

(3)度、分、秒的乘除运算.①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位.②除法:

度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除.

知识点三：余角与补角

（1）定义：

若Nl+N2=90，则N1与N2互为余角.其中N1是N2的余角，N2是N1的余角.

若Nl+N2=180，则N1与N2互为补角.其中N1是N2的补角，N2是N1的补角.

（2）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.

知识要点

①余角（或补角）是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）.

②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.

③只考虑数量关系，与位置无关.

④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.

知识点四：对顶角与邻补角

（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，

具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.

（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，

互为邻补角.

（3）对顶角的性质：对顶角相等.

（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°.

（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角

都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形

成的.

知识点五：平行：

（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义.从作图的角度说，它是“能但只能画出

一条”的意思.

（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直

线平行时应用.

知识点六：垂直：

（1）垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条

直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

（2）垂线的性质

在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.

（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

第二部分：课前自我评估测试

1.（2023秋•山东德州•七年级校考期末）如图，已知直线A3、C力相交于点O,平分NEOC,

ZEOC=110°,则的度数是（）

【答案】D

【详解】解：平分/EOC,ZEOC=110°,

ZAOC=-ZEOC=55°,

2

NBOD=ZAOC=55°,

故选D.

2.（2023・四川•九年级专题练习）如图，在。ABCD中，已知AB=12,AD=8,ZABC的平

分线BM交CD边于点M,则DM的长为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【详解】解：.••四边形ABCO是平行四边形，

CD^AB=12,BC=AD=8,AB//CD,

：.ZCMB,

•：BM是NA8C的平分线，

ZA8M=NCBM,

ZCBM=NCMB,

：.MC=BC=8,

DM=CD-MC=12-8=4,

故选:B.

3.（2023春•江苏•七年级专题练习）如图所示，直线OE〃尸G,射线AB分别交直线。E,FG

于点B,C,AOJ.AC于点A,若408=20。则NACG的度数为（）

【答案】C

【详解】解：A£>J>AC,

ZA=90°,

ZADB=20°,

ZDBC=ZA+ZD=900+20°=]\0°,

DE〃FG,

ZACG=ZD3C=110。.

故选：C.

【详解】解：在选项B、D中，N1与N2的两边都不互为反向延长线，A选项没有公共点,

所以不是对顶角，是对顶角的只有选项C.

故选：C.

5.（2023春•七年级单元测试）下列各图中，N1与N2是同位角的是（）

【详解】解：A.选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意;

B.选项中的两个角符合同位角的意义，符合题意；

C.选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；

D.选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；

故选：B.选项

6.（2023春•江苏•七年级专题练习）如图，ABCD,2A8Z）和NB0C的角平分线交于点

E,延长3E交C。于点尸，/2=32。，则/3=.

【答案】58°##58度

【详解】解：・「AB|；CO,

ZABD+^BDC=\8Q0,NABF=/3,

■：BE、DE平济/ABD、ZBDC

：.—1=ZABF=工NABD,N2=NFDE=gNBDC,

22

/ABF+NFDE=；(/ABD+NBDC)=巩)。,

：.N3+/2=90°,

N2=32°,

23=90°--2=58°.

故答案为：58°.

7.（2023秋•重庆渝中•七年级重庆巴蜀中学校考期末）请把下面证明过程补充完整.

如图，ADBE,Zl=Z3,Z2=ZB,求证：DE//AC.

证明：・：ADBE（已知）

■-Z2+=180°()

••Z2=ZB(已知)

•,ZB+NDCB=]80。()

­.AB()

•.Z3=()

,•Z1=Z3(已知)

Zl=(等量代换)

•.DE//AC（内错角相等，两直线平行）

E

【答案】NDCB；两自线平行，同旁内角互补：等量代换；CD-同旁内角互补，两宜.线平

行；Z4；两直线平行，内错角相等；Z4

【详解】证明：A。BE（己知）

Z2+ZZX?B=180°（两直线平行，同旁内角互补）

Z2=ZB（已知）

ZB+ZDCB=\80°（等量代换）

CD//AB（同旁内角互补，两直线平行）

/3=/4（两直线平行，内错角相等）

Z1=Z3（已知）

Z1=Z4（等量代换）

DE//AC（内错角相等，两直线平行）

第三部分：典型例题剖析

题型一：角的概念

典型例题

例题1.（2022秋•河北•七年级校联考期末）下列说法中正确的是（）

A.在所有连接两点的线中，直线最短B.NA08与N84。表示的是同一个角

C.同角（或等角）的余角相等D.若AB=BC,则点8是线段AC的中点

【答案】C

【详解】解：A、在所有连接两点的线中，线段最短，故原说法错误，故本选项不合题意；

B、与NBAO表示的不是同一个角，故原说法错误，故本选项不合题意；

C、同角（或等角）的余角相等，说法正确，故本选项符合题意；

D、若AB=BC,点A、B、C不一定在同•自线匕所以点B不一定是线段AC的中点，

故本选项不合题意；

故选：C.

例题2.（2023秋•吉林长春•七年级长春市实验中学校考期末）如图所示，下列关于角

的说法错误的是（）

c

/J^B

o

A.N1与NAO3表示同一个角

B.表示的是N6OC

C.图中共有三个角：ZAOB,ZAOC,NBOC

D.N4OC也可用NO来表示

【答案】D

【详解】解：A、N1与NAOB表示同一个角，本选项说法正确；

B、NB表示的是NBOC,本选项说法正确；

C、图中共有三个角：ZAOB,ZAOC,ZBOC,本选项说法正确；

D、NAOC不可用N0来表示，本选项说法错误；

故选：D.

例题3.(2022秋•浙江•七年级专题练习)如图，写出全部符合条件的角.

(1)能用一个大写字母表示的角；

(2)能用一个数字表示的角，并将这些角用字母表示出来；

(3)以D为顶点且小于平角的角；

(4)以A为顶点且小于平角的角.

【答案】(1)能用一个大写字母表示的角是N8

(2)能用一个数字表示的角是N1可用—ABD(/ABC，NABE,2B)表示；N2可用

表示

⑶以D为顶点且小于平角的角是ZAIX：和NADB

⑷以A为顶点且小于平角的角有/BAD,ZDAC(Z2)和/A4c

【详解】(1)能用一个大写字母表示的角是/8；

(2)能用一个数字表示的角是N1可用ZABC,4BE,NB)表示；N2可用NCW

表示；

(3)以£)为顶点旦小于平角的角是，ADC和NAQB；

(4)以A为顶点且小于平角的角有Z5W,NDAC(Z2)和ZB4C.

同类题型归类练

1.（2022秋•七年级课时练习）下列四个图中，能用Nl、N。、NMON三种方法表示同一

个角的是（）

【详解】A、图中的NMON不能用N。表示，故本选项错误；

B、图中的N1和NO不是表示同一个角，故本选项错误；

C、图中的Nl、NO、NMON表示同•个角，故本选项正确；

D、图中Nl、NMON、N。不表示同一个角，故本选项错误；

故选：C.

2.（2022秋・浙江•七年级专题练习）如图，图中角的顶点是,边是.用三种不

同的表示方法表示这个角为.

A

【答案】。点和08/AOB,Na,NO

【详解】解：图中角的顶点是。点，边是。4和。B.用三种不同的表示方法表示这个角为

ZAOB,Na,NO.

故答案为：。点，OA^ttOB,NA（）B,/a,NO.

题型二：钟面角

典型例题

例题1.（2022秋•重庆江北•七年级字水中学校考期末）8点30分，时针与分针所夹的

小于平角的角为（）

A.55°B.75°C.60°D.80°

【答案】B

【详解】•••时钟上一大格是30。,

2x30°+-x30°=75°,

2

,8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为：75°,

故选：B.

例题2.（2022秋•广东惠州•九年级校考期末）如图，时钟的时针从上午的8时转动到

上午10时，时针旋转的旋转角为（）

A.30°B.60°C.80°D.100°

【答案】B

【详解】解：由题意可得，

360°+12x2=60°，

故选B.

例题3.（2022秋•全国•七年级专题练习）如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已

知三角形A3C是等边三角形，ZA=60°,当时针OP正对点A时恰好是12:00.若时针。户

与三角形A8C一边平行时，时针所指的时间不可能是（）

A.1：00B.3；00C.5：00D.8：00

【答案】D

【详解】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示:

当。尸AC时，如图2(2),此时对应的时间为5:00或11:00；

当OP〃BC时，如图2(3),此时对应的时间为3:00或9:00；

故选：D.

例题4.(2022秋•全国•七年级专题练习)你们知道时钟里面的数学知识吗？我们一起

来研究一下吧.

(1)分针走5分钟，旋转一度，那么分针的旋转速度是度/分钟；

(2)时针走1小时，旋转一度，那么时针的旋转速度是一度/小时；

(3)当时间是1点整的时刻，时针和分针的夹角是一度，你知道此时要经过多少分钟,

时针和分针将第一次重合？请你算算好吗？

(4)如果是10点整的时刻，那么要经过一分钟，时针和分针将第一次重合.

【答案】⑴30,6(2)30.30⑶30,经过号分钟⑷544

【详解】(1)根据圆周角是360度，分针旋转一圈需要60分钟，

・••分针的旋转速度是360+60=6(度/分钟)

分针走5分钟,旋转6x5=30度

故答案为：30,6

(2)根据圆周角是360度，时针旋转一圈需要12小时，

，时针的旋转速度是360+12=30(度/时)

.••时针走1小时，旋转30度，

故答案为：30.30

（3）当时间是1点整的时刻，时针在1的位置，分针在12的位置，

时针和分针的夹角是30度，

设1点x分时，分针与时针重合，则

0.5xx+30=6x,

解得X喈,

・•.经过号分钟，时针和分针将第一次重合.

故答案为：30,经过号分钟

（4）假设10点y分时，分针与时针重合，则

0.5xy+300=6y,

解得y=54《.

经过54白分钟，时针和分针将第一次重合.

故答案为：54—

同类题型归类练

1.（2022秋•重庆•七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（）

度

1:002:15

①②

A.20；15B.30；25C.3622.5D.22.5:15

【答案】C

【详解】解：图①钟面的角的度数为：m=30。；

2:00的时针与2:15时针之间间隔度数为30。、㈢=7.5。，

60

2:15时的时针与分针之间间隔度数为30。-7.5。=22.5。，

二图②钟面的角的度数为：22.5°.

故选：C.

2.（2022•安徽安庆,统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针

上有一点4且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米,

如图①.若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为18厘米，如图②.则钟面显

示3点50分时，A点距桌面的高度为（）厘米

图①图②

A.22-3百B.16+万C.22D.18+4百

【答案】C

【详解】解：如图，

•••当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米.

40=10厘米，

•••钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为18厘米，

•A'C=18厘米，

4O=A，O=8厘米，

则钟面显示3点50分时，则有N|04=30。，

FA"=4,

.A点距桌面的高度为:18+4=22厘米.

故选：C.

3.（2023秋•新疆•九年级统考期中）时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时,

时针旋转的旋转角是.

【答案】90"

【详解】解:••・时针从上午的8时到11时共旋转了3个格,每相邻两个格之间的夹角是30。，

•••时针旋转的旋转角=3033=90。.

4.（2022秋•山东烟台•九年级统考期中）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟

数字2的刻度在矩形A8CD的对角线8。上，时钟中心在矩形ABC。对角线的交点。上，

若BC=30乖）cm,则AB长为cm.

图1图2

【答案】30

【详解】如图：过。点作。ONVCD,垂足分别为M,N,

由题意知=2N7VOD,

VZMOD+ZNOD=90°,

：.2NOD=30。,

四边形ABCD是矩形，

ADBC,ZA=9O°,AD=BC,

：.ZADB=ZNOD=30°,

■BC=AD=30A/3,

A8n

tan300=—,B|JAB=fiOi30°24O>=—x/=,

AD3

故答案为：30.

题型三：方向角

典型例题

例题1.（2023•全国•九年级专题练习）如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从

营地A出发，沿北偏东53。方向走了1200m到达8点，然后再沿北偏西37。方向走了500nl

到达目的地C点，此时A,C两点之间的距离为（）

B.1100mC.1200mD.1300m

【答案】D

【详解】解：如图,

由题意得：AB=1200m,BC=500m,/CBD=37°,/BAf=53°,DE//AF<

：.ZABE=ZBAF=53°,

■.ZABC=180°-Z.CBD-ZABE=180°-37°-53°=90°,

AC=yjAB'+BC-=V12002+5002=1300（m）,

即A,C两点之间的距离为1300m,

故选：D.

例题2.（2023秋•重庆渝中•七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，小明从A处沿南偏

西653（/方向行走至点8处，又从点8处沿北偏西7230,方向行走至点E处，则乙4BE=

（）

北

A.11430,B.108C.137D.138

【答案】D

【详解】解：如图：

1•小明从A处沿南偏西6530'方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西7230,方向行走至点

E处

...Z2=N3=6530'，Z1=7230'

ZABE=41+Z2=138°.

故答案为D.

北

例题3.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，快艇从尸处向正北航行到A处时，向

右转60。航行到B处，再向左转90。继续航行，此时的航行方向为北偏西°.

4、

【答案】30

【详解】解：如图,

ZEBF=60°,

?DBE90?60?30?,

此时的航行方向为：北偏西30。；

故答案为：30.

例题4.（2023•浙江•九年级专题练习）如图，海岸线上有两座灯塔A,B,灯塔A位于

灯塔B的正东方向，与灯塔8相距8km.海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔8的北偏东

30°方向，与灯塔8相距的8km的C处；乙船位于灯塔A的北偏东15。方向，与灯塔A相

距6>/2km的D处.求：

(1)甲船与灯塔A之间的距离;

(2)两艘货船之间的距离.

【答案】(1)8km

(2)27iOkm

【详解】(1)解：如图，连接AC.

甲船位于灯塔B的北偏东30。方向

ZABC=60°

.AB=AC=S,ZABC=60°,

ABC为正三角形，

AC=A8=8km,

即甲船与灯塔A之间的距离为8km.

(2)解：过C作C//LAD于点”.

ZB4C=60°,

ZCAH=30°+\5°=45°,

-AC"为等腰直角三角形.

AC=8,

AH=CH=4正，

又；AD=6>f2,

DH=6近-4近=26，

CD=\ICH2+DH2=J(4何+(2&丫=2M.

两艘货船之间的距禽为2715km.

同类题型归类练

1.（2023•河北•九年级专题练习）如图，快艇从P处向正北航行到4处时，向左转50。航行

到B处，再向右转80。继续航行，此时的航行方向为（）

y北

'、物!_Lz-

p

A.北偏东30°B.北偏东80°C.北偏西30°D.北偏西50°

【答案】A

【详解】解：如图，

!c

1

1

"2f个/t4北东

1八

!P

APWBC,

：.Z2=Z1=50°,

「ZEBF=80°=Z2+Z3,

/.Z3=ZEBF-Z2=80°-50°=30°,

「•此时的航行方向为北偏东30°,

故选A.

2.（2023秋•吉林长春•七年级长春市实验中学校考期末）如图,OA的方向是北偏东15°,

OB的方向是北偏西40。，若NAOC=/AO3,则OC的方向是

【详解】解：如图，由题意可知

•••ZBOD=40°,ZAOD=15°,

ZAOC=ZAOB=ZAOD+BOD=55°,

ZCOD=ZAOC+ZAOD=15+55=70°,

故答案为：北偏东70。.

3.（2023春•全国•七年级专题练习）如图是AB,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°

方向，在8岛的北偏西30。方向，则=.

【详解】如图，作CE〃A£）,

DA//FB,

：.CE//BF.

ZDAC=ZACE=50°.

-：CE//BF,

/CBF=NBCE=30。.

ZACB=ZACE+ZBCE=50°+30°=80°.

故答案为:80°.

4.（2023•全国,九年级专题练习）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70。方向上，轮

船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50。方向匀速航行,1小时后到达码头B处,此时，

观测灯塔C位于北偏西25。方向上，则灯塔C与码头B的距离是多少海里？（结果精确到个

位，参考数据：应=1,4，6=1.7,n=2.4）

【答案】24海里.

【详解】解：过点8作如图所示

由图可知，ZDAB=60°ZCBA=75°

：.ZC=180°-75°-60o=45"

Z。54=90°-60°=30°

在RtAABD和RtABCD中

BD=^-AB,BC=yl2BD

又45=20x1=20（海里）

BD=106

，8C=&X1OG=1O#=24（海里）

答：灯塔C与码头B的距离约24海里.

题型四：角的单位与角度制

典型例题

例题1.（2022秋•七年级单元测试）如图所示，已知NAOC=NCO£）=N3O£>,若

ZCOD=14°34',则NAO3的度数是（）

幺-----B

A.28°68'B.42°102（C.43°2'D.43°42'

【答案】D

【详解】解：..ZAOC=NCO£>=N3OD,ZCO£>=14°34r,

ZA0B=32coD=14。34'x3=42。102'=43。42'.

故选：D.

例题2.（2022秋•河北邯郸♦七年级统考期末）用度、分、秒表示21.24。为（）

A.21°24'I4"B.2I034C.21°20'24"D.21°1424,

【答案】D

【详解】解：21.24°=21°+0.24x60,

=21°+14.4,

=21°+14+0.4x60'

=21°+14'+24"

=21°14'24"

故选：D.

例题3.（2022秋•七年级课时练习）将25.2°用度、分表示为.

【答案】25°12'

【详解】解：25.洋=25°12'.

故答案为:25°12,.

例题4.（2022秋•山东枣庄•七年级统考期末）计算：108。42'36"=°,

【答案】108.71

【详解】解:108°42'36"

=108°+42,+（36:60）'

=108。+（42.6+60）。

=108.71°.

故答案为：108.71.

同类题型归类练

1.（2022秋•北京怀柔•七年级统考期末）已知—A与—3互余，ZA=76。15',则NB=（）

A.14°45fB.103°45'C.104°45'D.13°45'

【答案】D

o,,

【详解】解：由题意,得：ZB=90-76°15=13045;

故选：D.

2.（2022秋•天津和平•七年级校考期末）下列各数中，正确的角度互化是（）

A.72.5°=72°50,B.24.25°=24°15'

C.18°18'18〃=18.33°D.23。12'36"=23.48°

【答案】B

【详解】解：A、72.5。=72。30',选项错误，不符合题意；

B、24.25。=24。15',选项正确，符合题意；

C、18°18'18"=18.305。,选项错误,不符合题意;

D、23。12'36"=23.21°,选项错误,不符合题意;

故选B.

3.（2022秋・全国•七年级专题练习）用度、分、秒表示31.21。为（）

A.31°12'36"B.31°2rC.31°12'23"D.31°20'1”

【答案】A

【详解】解；31.21。=31。12,36”

故选：A

4.（2022秋•辽宁大连•七年级统考期末）比较大小：60°25（60.25°（填

或.

【答案】＞

【详解】解：60.25。=60。+0.25。=60。15',

.•.60°25'＞60.25°,

故答案为：＞

题型五：角的大小比较

典型例题

例题1.（2022秋•山东枣庄•七年级校考期末）已知夕=36。18。4=36.18。，？=36.3°,

下面结论正确的是（）

A.«</</?B.y>a=pC.a-y>PD.y<a</3

【答案】C

【详解】由0=36018'=36。+（18+60）。=36°+0.3°=36.3°,

又因为£=36.18°,7=36.3。,

所以a=y>/.

故选：C.

例题2.（2022秋•七年级课时练习）若/1=25。15',/2=25。13'30",N3=25.35。，则

（）

A.Z3>Z1>Z2B.Z2>Z1>Z3C.Z1>Z3>Z2D.Z1>Z2>Z3

【答案】A

【详解】Nl=25°15',Z2=25°13,30\N3=25.35°=25°21',

Z3>Z1>Z2.

故选A.

例题3.（2022秋•北京朝阳•七年级统考期末）比较大小：38°15'38.15°（选

填“>”，，<，，，，="）.

【答案】>

【详解】；0.15°=0.15x60,=9,,

38.15°=38°9',

/.38°15'>38°9',

即38°15'>38.：15°,

故答案为：>.

例题4.（2022•河北沧州•统考一模）量角器如图放置，点0、P、"在一条直线上，

点"在0。处，点N在60。处.

（1）NMPN60°（填“>”“<”或“=”）；

（2）已知量角器（看作半圆）的半径为4cm,点P到量角器中心。的距离为0.5cm,则

tanZMPN=.

【答案】>—##^V3

33

【详解】解：（1）如图，连接ON,

,点。、P、”在一条直线上，点M在0。处，点N在60。处,

/.NMON=60。，

■//MPN是..OPN的一个外角,且与内角NMON不相邻，

丁.4MpN>ZMON,

即/MPN>60。

故答案为：>

(2)如图，连接ON,过点N作N5_LQM交。”于点3,

「•AOBN和；PBN是直角三角形,

.NMON=60。，ON=4,OP=0.5,

八〃八"BN八,八、OB

smZMON=-----,cos乙MON=------,

ONON

即BN=ON.sin/MON=4xsin60°=4x—=26

2

OB=ON・cos/MON=4xcos60。=4xL2,

2

•.BP=BO-OP=2-().5=1.5,

・f/A/DZBN2百4百

••tanNMPN=----=------=------.

BP1.53

故答案为：殍

同类题型归类练

1.（2022秋・重庆合川•七年级重庆市合川中学校考期末）比较大小：30。10'30」。.（用

"="填空）

【答案】>

［详解］解：30.1°=30°6',且30。10'>30°6',

30。10'>30.1°,

故答案为：>,

2.（2022秋•陕西榆林•七年级统考期末）比较大小：52。15'52.15°.（填"或

"="）

【答案】>

【详解】5225°=52°+005x60'=52°99

52°15'>52°9',

52。15'>52.15。

故答案为>.

3.（2022秋•江苏七年级专题练习）比较大小，用">"或"V"填空：38°15f38.15°.

【答案】>

【详解】解:1•-38.15°=389',

38°15,>38.15°.

故答案为：〉.

4.（2022秋•七年级课时练习）若/4=20.25。，/8=20。18、则NANB.（填"

或"="）

【答案】<

【详解】解：；18'+60'=0.3°,

Z8=20°18'=20.3°>20.25°,

ZA<ZB,

故答案为：V.

题型六：角的运算

典型例题

例题1.（2023春•江苏•七年级专题练习）如图，直角三角板的直角顶点放在直线〃上,

且。〃"Nl=55。，则N2的度数为（）

【答案】A

【详解】解："4=55。，

Z3=Z1=55°,

N2=90°—N3=90°—55°=35°.

例题2.（2023春•七年级单元测试）如图，AB//CD,一副三角尺按如图所示放置,

ZAEG=2O°,则/印力的度数为（）

A.40°B.35°C.30°D.25°

【答案】B

【详解】解：AGE尸和是一幅三角尺，

NGEF=NGFE=45°,NE切=30°,

vZA£G=20°,

ZAEF=ZAEG+ZGEF=65°,

.AB//CD.

：.ZEFD=ZAEF=65°,

..ZHFD=ZEFD-ZEFH=35°,故B正确.

故选：B.

例题3.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，。〃6,把三角板的直角顶点放在直线

b上,若Nl=55。，则N2的度数为。

/3=90°-/1=35°,

a//b,

：.Z2=Z3=35°,

故答案为35.

例题4.（2023春•七年级单元测试）探究题

（2）若将NCOE绕点。旋转至图2的位置，射线。尸仍然平分NAOE,请写出/COf"与

NOOE之间的数量关系，并说明理由；

⑶若将NCOE绕点。旋转至图3的位置，射线。尸仍然平分/AOE,求2NCOR+4WE的

度数.

【答案】⑴36。，27°

(2)ZC0F=^ZD0E

(3)360°

【详解】(1)解：ZCOE=90°,/DOE=54。,

ZAOC=180°-90°-54°=36°

ZAOE=900+36°=126°

又射线。F平分ZAOE,

・•.ZFOE=-ZAOE=63°

2

ZCOF=90°-ZFOE=27°,

故答案为：36。，27°.

(2)解：0"平分NAOE,

:.ZAOF=-ZAOE

2f

/COE=90。,

.\ZAOC=90°-ZAOE,

・•.ZCOF=NAOC+NAOF=90°-ZAOE+-/AOE=90°--NAOE,

22

.ZAOE=180°-ZDOEr

ZCOF=90。一g(180。一/DOE)=；ZDOE

即/COF=；/DOE；

(3)解：ZCOE=90°,

ZAOE+/COD=180。—90。=90。，

OF平分NAOE,

・•.ZAOE=2ZEOF,

:.2/COF+/DOE

=2(NCOE+NEOF)+NCOE+Z.COD

=2/COE+2/EOF+ZCOE+ZCOD

=34coE+2/EOF+/COD

=3/COE+ZAOE+/COD

=3x90°+90°

=360°.

同类题型归类练

1.（2023春•七年级单元测试）将一副直角三角尺如图所示放置，已知AE〃3C,则NAfD

的度数是（）

【答案】B

【详解】解：由三角板的性质可知NEAO=45o,NC=3()o,N54C=NAr>E=90。.

AE//BC,

：.NE4C=NC=30。，

ZDAF=^EAD-ZEAC=45°-30°=15°.

.ZAFD=180°-ZADEADAF=180°-90°—15°=75°.

故选：B.

2.(2023春•七年级单元测试)如图，Zl=30°,』AOC=90。，点8,O,。在同一条直线

上，N2=()

【答案】A

【详解】解：N1=30。，ZAOC=9QP,

ZBOC=ZAOC-Z1=60°.

:点B,O,。在同一条直线上，

N2=180°—ZBOC=120°.

故选：A.

3.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，已知直线a〃b,将一块三角板的直角顶点放在

直线a上，如果4=42。，那么N2=度.

a1

b

【答案】48

【详解】解：:a//b,

：.N2=N3、

-：/l+/3=90。，Zl=42°,

Z3=90°-42°=48°

故答案为48.

b

4.（2023春•七年级单元测试）如图，AO1BO,CO1DO,ZAOD-4ZBOC,则NAOZ）=

【答案】144。##144度

【详解】解：「AOLBO,COLDO,

：.ZAQB=NCO£>=90°,

•，-ZAOD=4ZBOC,

设N3OC为x,则NAO£>=4x,

可得：90°+90°+x+4x=360°,

解得：x=36。，

ZAOD=144°.

故答案为：144。.

5.（2023春•七年级单元测试）如图，/AOC与—80C互为补角，/BOC与—8。。互为

⑴求28OC的度数：

(2)若0E平分/AOC,求ZBOE的度数.

【答案】⑴72。

(2)126°

【详解】(1)解：•；NBOC与/50。互为余角，

,ZBOC+ABOD=90°.

4BOC=4ZBOD,

4

NBOC=—x90°=72°.

5

(2)•••NAOC与28OC互为补角，

ZAOC+ZBOC=\SO0.

：.ZAOC=180°-Z.BOC=180°-72°=108°.

.OE平分,AOC,

ZCOE=-ZAOC=-xl08°=54°,

22

ZBOE=ACOE+ZBOC=54°+72°=126°.

题型七：角平分线问题

典型例题

例题1.(2023秋•吉林长春•七年级校联考期末)如图，ABCD,ZFGB=155°,FG平

分NEFD,则尸的大小为()

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】D

【详解】解：AB//CD,ZFGB=155°,

：.ZBEF+ZEFD=ISO°,

ZGFD=180°-ZFGB=180°-l55°=25°,

FG平分NEFD,

NEFD=2/GFD=2x25°=50°,

ZBEF=180°-ZEFD=180°-50°=130°,

故选：D.

例题2.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，AB8,直线EF交AB于点E,交

CD于点F,EG平分ZBEF,交CD于点G,Zl=50°,则/2等于（)

C.65°D.90°

【答案】C

【详解】解:AB//CD,

.-.ZBEF+Zl=180o,

Zl=50°,

.-.ZBEF=130°,

■.EG平一分4EF,

:.NBEG=L/BEF=65。,

2

Z2=ZBEG=65°,

故选：C.

例题3.（2023春•江苏•七年级专题练习）已知AM〃CV,点6在直线AM、CN之间,

ZASC=88°.

图2图3

（1）如图L请直接写出-A和/C之间的数量关系:

（2）如图2,-A和/C满足怎样的数量关系？请说明理由.

⑶如图3,AE平分CH平■分4NCB,AE与CH交于点.G,则ZAGH的度数为

【答案】(1)ZA+ZC=88°

(2)ZC-ZA=92°,见解析

(3)46°

【详解】(1)解：过点B作座〃AM,如图,

图1

•.ZA=ZABE.

VBE//AM.AM//CN,

BE//AM//CN.

•.ZC=ZCBE.

•/ZABC=88°.

/.Z4+ZC=ZABE+ZCfiE=ZABC=88o.

故答案为：ZA+ZC=88°：

(2)解：/A和—C满足：ZC-ZA=92°.理由:

过点8作如图，

图2

.ZA=ZABE.

•,BE//AM,AM//CN,

•.BE//AM//CN.

..ZC+ZCBE=180°.

•.ZCBE=180°-ZC.

ZABC=88°.

•・ZABE+ZC^E=88°.

•・ZA+180°-ZC=88°.

NC-ZA=92。；

(3)解：设。”与A3交于点F,如图,

图3

AE平分AMAB,CH平分NNCB,

ZGAF=-NMAB,NBCF=-ZBCN,

22

•，-ZABC=88°,

.ZBFC=88°-ZBCF.

ZAFG=ZBFC,

.NAFG=880-NBCF.

-ZAGH=Z.GAF+ZAFG,

.NAGH=-(ZBCN-NMAB).

由(2)知：ZBCN-ZMAB=92°,

NAG"2x92。=46。.

2

故答案为：46°.

例题4.(2023春•全国•七年级专题练习)已知：直线〃6,点A,8在直线〃上，点C,

。在直线。上，连接AO,BC,8E平分/ABC,£>E平分NADC,。且8E,DE所在的

直线交于点E.

(1)如图1,当点B在点A的左侧时，若NABC=7O。，ZAZX?=60°,直接写出N8a的度

数；

⑵如图2,当点B在点A的右侧时，设NA£>C=x,ZABC=y,求NBED的度数(用含有

x,y的式子表示).

【答案】⑴65。

(2)180。—gy+gx

【详解】⑴解：过点E作所〃4B,如图1所示:

B

AB//CD,

:.EFCD,

.\ZFED=ZEDC,

:.NBEF+NFED=NEBA+NEDC,B[JZBED=^EBA+^EDCt

BE平分/AB