高中数学模拟练习

高三年级联考数学试题理科

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.若人={2,3,4},B=[x\x=n•m,in,n&A,m^n],则集合B的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知S“是等差数列{%}的前n项和，且S”=35+56,则S’的值为（）

A.117B.118C.119D.120

3.已知函数/（x）=（x—a）（x-3（其中a>b）的图象如下面右图所示,则函数g（x）=a*+b

A.B.C.D.

4.已知p:{xl|2x-3|>l},4：卜|/+尢一6>0},则一1P是一1g的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.由函数〃x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x-工）的图象，需要将/"（X）的图象（）

TF

A.向左平移2个单位B.向左平移2TT个单位

3

7T

C.向右平移。个单位D.向右平移々TT个单位

36

6.已知x>0,y>0,x+3y=],则'的最小值是

)

x3y

A.2V2B.2C.4D.2V3

在中,—■.►8—C►=3,M8C的_面积必叱引千川3，则口.—与夹—角►的取值范围是

7.

()

A.匕刍B.HC.r-,-]D.[工白

43646332

8.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口

的车流量由函数F(t)=50+4sin-(其中0WtW20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单

2

位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的()

A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]

9.函数y=lx—11+lx—21+…+lx—20111()

A.图象无对称轴，且在R上不单调

B.图象无对称轴，且在R上单调递增

C.图象有对称轴，且在对称轴右侧不单调

D.图象有对称轴，且在对称轴右侧单调递增

Ja,十%

10.记集合7={0,1,2,3,4,5,6},M=+eT,i=l,2,3,4卜，将M中的元

772

素按从大到小的顺序排列，则第2011个数是)

1011065

A.—I——H——4——B.7+7?+77+77

77273T

11001066

D.

++234

c.7v7r7777

填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

不等式<0的解集为.

11.(x+Dd)

12.已知两点P(4,-9),2(-2,3),则直线P。与y轴的交点分有向线段质的比为

1

13.已知｛〃〃｝是等比数列，a2=2,%=；，则。巴+%％"—+。〃。〃+1=―

14.对于函数/(%)=〃71瓦，存在一个正数6,使得了(%)的定义域和值域相同，则非零实

数a的值为.

15.若。£[0,句，夕£,2WR,且卜-引-cosa-24=0,

4夕+sin夕cos夕+4=0,则cos的值为=.

三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分10分)

已知于(x)=2cos2x+2V3sinxcosx+«,a为实常数。

(I)求/(%)的最小正周期;

jrjr

(II)若/(x)在［一2,2］上最大值与最小值之和为3,求。的值。

17.(本题满分12分)

AA8C中内角的对边分别为。力,c,

向量〃？=(2sinB,-y/3),n=(cos25,2cos2g一1)且〃?//〃

2

(I)求锐角5的大小，

(II)如果b=2,求AA6C的面积S^BC的最大值

18.(本题满分12分)

已知函数/(x)=ax+byll+x2(x＞0)，且函数/(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,

又/(6)=2-6送⑴=0.

(1)求f(x)的值域；

_I3

(2)是否存在实数加,使命题p"(〃?2——4)和＜7：g(一^)＞己满足复合命题

44

〃且q为真命题？若存在，求出加的范围；若不存在，说明理由.

19.（本题满分14分）

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1」升排量的Q型车、R型车的销量

引起市场的关注。已知2010年1月Q型车的销量为。辆，通过分析预测，若以2010年1

月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的

销售总量Tn大致满足关系式：7；,=228^（1.012n-l）.（“<24,〃eN*）

(1)求Q型车前n个月的销售总量S„的表达式；

(2)比较两款车前n个月的销售总量$„与Tn的大小关系：

(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%,并说明理由.

(参考数据一--*1.09她艺a8.66)

4.5828lgl.01

20.（本题满分13分）

已知函数f（x）=Ipg4（4,+1）+七（左GR）是偶函数•

（1）求》的值;

4

（2）设g（x）=log4（a2-§a）,若函数/（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a

的取值范围.

21.（本小题满分14分）

已知数列｛%｝满足卬=l,a2=3,且a“+2=(1+2cos—)ci+sin—,rieN,

2"2

（1）求心.#i*）；

⑵数列｛”｝他｝满足%=叫5仇=.%,且当〃22时

,2.111、

2=/（2+2+…+2）•

M力X,-1

bh1_

证明当2时，"+二一一彳=-

（n+l）nn万；

（3）在（2）的条件下，试比较（1+：＞（

1+),(1+)...(1+)与4的大小关系.

b

24bn

参考答案

1-5BCAAB6-10CBCDB

11.(-8,-l)U(0,l)

12.2

32

13.—(l-4-w)

14.a=-4-

15.乎

16.解：⑴/(x)=l+cos2x+百sin2x+a=2sin(2x+马+1+。

6

所以/(%)的最小正周期T=兀；..................5分

八八<7171、_7t71

(II)xe[----,—],贝ij2xd——Gz[-----,——]

63666

711

「・sin(2x+—)e,11

62

所以/(x)是最大值为3+Q,最小值为。

依题意有：3+2。=3,/.a=010分

B

17.解：(1)Vm//ii/.2sinB(2cos2——l)=-V3cos2B

2

sin2B=-V3cos2B即tan2B=-V3

又・,・B为锐角・•.2Bw(0㈤

2兀7T

：.IB=­：.B=-........6分

33

jra~+r2-h~

(2)・.•B=±、b=2,由余弦定理cos5=叽/一匕得

32ac

a2+c2—ac—4=0

又・.・a2+c222〃c代入上式得：ac<4(当且仅当〃=c=2时等号成立。)

1/o

S/KA/ir=—acsinB=-^ac<V3(当且仅当。=(?=2时等号成立。).....12分

18.(1)由/(6)=2_6,/(0)=1,得a=—l,b=l,

于是/(x)=Vl+x2-x(x>0)----------------------3分

由/")=丁上一，此函数在［0,+8)是单调减函数，

从而/(x)的值域为(0,1］。--------------------6分

771_13

(2)假定存在的实数〃7满足题设，即/(/-〃?)</(3阳—4)和g(-］—)>1都成立

T7£/3\31~~/3、21.3./加一1、/1\cV

又7V==57(5)=屋一(丁)>8(5)-----8%

由f(x)的值域为(0,1］,则g(x)的定义域为(0,1］

己证/(x)在［0,+8)上是减函数，则g(x)在(0,1］也是减函数,

由减函数的定义得

m2-m>3m-4>0

,4

解得，一W机<3且加¥2.

3

因此存在实数〃?使得命题：p且q为真命题,

4

且m的取值范围为［—,2)11(2,3).-——12分

19.解：(1)Q型车每月的销售量｛4｝足以首项ai=a,

公比q=l+l%=l.01的等比数列.....(2分)

前n个月的销售总量=的@--D=100«(1.0r'-l),(neN*,且〃<24)

"1.01-1

....(4分)

(2)v5„-7；,=100«(1.01n-1)-228a(l.012n-1)

32

=100«(1.01"-1)-228a(l.01"-1)(1.01"+1)=-228a(l.01n-1)-(1.01"+—)

32

又1.01"-1>0,1.01”+—>0,：.5,,<7；................(9分)

57

(3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为a“和a，则为="1.0广

当n'2时，2=(一7；1=228a(1.0『"—1)-228a(1.0产-2一])

=228ax(1.012-l)xl.012,!-2=4.5828a1.0产地..................(10分)

b,=4.5828a(或短然0.020la),20%xb,<a,

当n22时，若%<20%x4，axL01"T<-x4.5828ax1.012"-2

n"5

55

1.012(n-l)>

4.58284.5828

.•.n?10,即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.

.....(14分)

20.解：(1)由函数/(x)是偶函数可知：/(x)=/(-X)

log4(4*+1)+依=log4(4-"+1)一质..................2分

4'+1

log4——=—2kx即x=-2kx对一切xeR恒成立................4分

(2)函数/")与g(x)的图象有且只有一个公共点

14

v

即方程log4(4'+l)--x-log4(«-2--a)有且只有一个实根..............7分

14

化简得：方程2'+」-=a。有且只有一个实根

2'3

,4

令f=2'〉0,则方程（。一1）产一§必一1=0有且只有一个正根...........9分

3

①〃=1=>，=—,不合题意；..................10分

4

②△=（）=>〃=一或一3.....................................11分

4

311

若〃=—=>£=—，不合题意；若。=-3=>，=—.....................................12分

422

③一个正根与一个负根，即一——<0=>>1

CI-1

综上：实数〃的取值范围是{-3}5L+8）....................................13分

21.(1)设〃=2k-1,kN\

,“c(2k-1)夕、.Qk-l)p|

由4⑺=(1+2cos---)a2k.J+sin---=a2k.}+1

?a2k+1I=1,

・,・当如N,时，数列J为等差数列・

:・a2Hi=%+/-1)1=%•.......(4分)

(2)证:yti-a2n_x=〃当2时，

2/111、，曰2111

9

由bn-yn(—Q+-《+••・■!-----j-)，得—=-2+―2+•一----2

必为yn-\%