分组分解法完整版本

分组分解法1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义．2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理的分组方案．3．能综合运用各种方法完成因式分解．一、学习目标本节的重点：运用分组分解法分解因式．

本节的难点：筛选合理的分组方案和综合

运用各种方法完成因式分解．

二、重点难点思考：怎样把

a2-ab+ac-bc分解因式整式乘法

(a+b)(m+n)

=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bnam+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)定义：这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法。注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。因式分解例１把a2-ab+ac-bc分解因式分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b

。解：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)——分组——组内提公因式——提公因式分组后提取公因式例

1解法二：

a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a+c)(a-b)还有其他分组的方法吗？【小结】(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性.(2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.(3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的括号时，括号内每项的符号都要改变.(4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的．例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。=(2ax-10ay)+(-bx+5by)

解法一：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y）

=(x-5y)(2a-b)例

2

解法二：

2ax-10ay+5by-bx=(2ax-bx)+(5by-10ay)=x(2a-b)-5y(2a-b)=(2a-b)(x-5y)还有其他分组的方法吗？

在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应项的次数成比例分组。(1)分组；(2)在各组内提公因式；(3)在各组之间进行因式分解；(4)直至完全分解。分组规律：分解步骤：挑战你我1:……分组;……提公因式;……提公因式;试一试:能把下列多项式分解因式吗?1

、把多项式分解因式．【解法一】＝＝＝＝＝＝【解法二】针对性练习(1)a2x＋a2y＋b2x＋b2y(2)mx＋mx2－n－nx

2、分解因式：【解】a2x＋a2y＋b2x＋b2y

＝(a2x＋a2y)＋(b2x＋b2y)

＝a2(x＋y)＋b2(x＋y)

＝(x＋y)(a2＋b2)【解】

mx＋mx2－n－nx

＝(mx＋mx2)－(n＋nx)

＝mx(1＋x)－n(1＋x)

＝(1＋x)(mx－n)思考：还可以怎样分组？【解法一】a3－a2b－ab2＋b3

＝(a3－a2b)－(ab2－b3)

＝a2(a－b)－b2(a－b)

＝(a－b)(a2－b2)

＝(a－b)2(a＋b)【解法二】a3－a2b－ab2＋b3

＝(a3－ab2)－(a2b－b3)

＝a(a2－b2)－b(a2－b2)

＝(a2－b2)(a－b)

＝(a－b)2(a＋b)3、分解因式a3－a2b－ab2＋b3．

注意，分解的结果中，如果有相同的因式，要写成乘方的形式．本题的结果不要写成(a－b)(a－b)(a＋b)．……分组;……用公式和提公因式;……提公因式;……去括号;分组后用公式和提公因式……分组;……用公式;……用公式;……去括号;分组后两次用公式例5．分解因式：

解：

分组后运用乘法公式例6、分解因式：解：分组后运用乘法公式挑战你我2:……分组;……用公式;……提公因式;……去括号;挑战你我3:……分组;……用公式;……用公式;……去括号;针对性练习思考：对于四项式什么情况下，采用二、二分组什么情况下，采用一、三分组分组后有公因式，则往往用“二二”分组；若分组后公式法分解才行时，往往用“一三”分组（或某三项为完全平方式或某三项提取“-”后是一个完全平方式）

练习1、把多项式分解因式．【分析】观察多项式，前两项有公因式，后三项符合完全平方公式．解：思考：五项以上的多项式怎样分组？练习2．分解因式：

解：

练习3.分解因式：

解：1、把下列各式因式分解:(1)ac+bc+2a+2b(2)3a-ax-3b+bx（3）5ax+6by+5ay+6bx（4）9m2-6m+2n-n2实战演练2、练习:把下列各式因式分解:(1)4a2-b2+6a-3b(2)x2-y2-z2+2yz(3)x2-4xy+4y2+2x-4y小结:1.利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法;2.分组分解法的特点:(1).分组后连续两次提公因式;(2).分组后用公式和提公因式;(3).