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上节的问题是幂级数在其收敛域内以

f(x)为和函数.现在的问题是反过来,如果f(x)可以展开成幂级数1.那么函数

f(x)应当具有什么性质?8.4泰勒级数8.4.1泰勒级数2.幂级数的系数怎样计算?我们有

由于幂级数在其收敛域内无穷次可导,即有因此,f(x)必然在此区间内有任意阶导数.将x

=

x0代入上面各式,即得

任意阶的导数.定理8.16

如果函数

f(x)在

x0的某一邻域定理的结论称为幂级数展开式的唯一性.于是,就证明了如下定理.内可以展开成的幂级数,则则称幂级数如果函数

f(x)在点

x0处任意次可微,为

f(x)在点

x0处的泰勒级数.为函数

f(x)的麦克劳林级数.特别地,

当x0=0时,称幂级数记为

在

x0的某一邻域成立,如果点的泰勒展开式.

则称上式函数是

f(x)在

x0定理8.17

如果函数

f(x)在

x0的某一邻域内有任意阶的导数.则其中

介于x与x0之间.的充分必要条件是

证(1)是带拉格朗日余项的泰勒中值定理;

(2)是收敛级数的定义.

1.直接展开法求函数f(x)的麦克劳林级数的步骤:

(2)写出麦克劳林级数并求出收敛半径R;8.4.2函数展开成幂级数(3)验证是否有

验证的方法有两种:余项分析与和函数分析

(1)

求出f(x)的各阶导数与它们在处的值,然后代入从而判断是否有

和函数分析是求出和函数

余项分析是指,如果

则有

解其收敛半径为例1将展开成x的幂级数.于是余项其中

介于0与x之间.余项分析对任一确定的是收敛级数

的一般项.是确定的数,而所以在

上恒有于是或于是则且解微分方程

得和函数分析解因例2将展开成x的幂级数.故其收敛半径为故因所以其中

介于0与x之间.解因例3将展开成x的幂级数,其中不是自然数.又因因泰勒公式的余项比较复杂,现直接求它的和函数.令逐项求导,得上式两端同乘然后合并同类项.再注意到于是

的存在唯一性,即可证明f(x)=F(x).注意到f(x)满足上述方程,由线性微分方程解于是利用已知函数展开式,2.间接展开法根据展开的唯一性,等方法,求展开式.通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分的结果是一致的.它与直接展开法得到例4将展开成x的幂级数.例5将展开为x的幂级数.解设利用有例6将展开为x的幂级数.解而两边积分解例7将

展开为

的幂级数.f(x)=ln(1+x)在x

=1处连续,且在x=1处收敛.例8将解常用已知和函数的幂级数解练习将函数且即故于是解练习求数项级数

的和.例9计算积分解因8.4.3幂级数的应用1.近似计算由逐项积分公式得误差

取前三项,得2.微分方程的幂级数解法例10求微分方程满足解设则由可得于是从而的特解.代入方程,得即上式是恒等式,所以各项系数必全为零,因此

所求特解为3.欧拉公式其中

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